1.1 充分条件和必要条件（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦“充分条件和必要条件”核心知识点，以章导语中墨子逻辑学文化引入，结合电路情境激活命题经验，衔接义务教育阶段命题知识，为后续充要条件及数学证明学习搭建逻辑支架。 此资料特色在于采用情境问题法与反例教学法，通过电路开关与灯亮的双向推断，培养学生逻辑推理的数学思维，课堂双向检验活动与表格归纳规范数学语言表达，助力学生形成严谨逻辑意识，为教师提供清晰可操作的判断步骤与难点突破策略。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第一章 充要条件 1.1 充分条件和必要条件 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以义务教育阶段所学命题知识为基础，按照“命题的条件与结论、充分条件、逆命题、必要条件”的顺序展开，引导学生由识别命题的条件和结论，逐步过渡到辨析两个方向的逻辑关系。 本节深化命题知识，是学习常用逻辑用语的重要起点，并为后续学习充要条件、命题推理及数学证明奠定基础。 学情分析 学生已学习命题、整数、绝对值、三角函数和基本几何关系，能判断简单命题真假，但容易把“能推出”和“能推出”混为一谈，也常凭直觉判断而不会主动寻找反例。教学中应固定写出条件、结论和推断方向，借教材电路情境及正反例帮助学生形成方向意识。 教学目标 1. 理解充分条件、必要条件和逆命题的含义，能准确读写、。 2. 能依据原命题或逆命题的真假，判断一个条件是否为另一个结论的充分条件或必要条件，并能用反例否定错误推断。 3. 在双向检验和反例辨析中形成严谨表达意识，提升逻辑推理核心素养。 教学重难点 教学重点：充分条件、必要条件的概念及判断方向。 教学难点：始终明确“谁是谁的条件”，并用逆命题或反例判断必要性。 教学方法 情境问题法、讲练结合法、对比辨析法、反例教学法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 章导语 教师展示教材章首页墨子图片，简要说明中国是逻辑学的三大发源地之一，墨家创立的墨辩逻辑学是中国逻辑学理论的典型代表。学习常用的逻辑用语和简单的逻辑推理，有助于正确理解数学概念、合理论证数学结论和准确表达数学内容。 教师指出：本章将进一步学习命题的条件与结论之间的逻辑关系，体会逻辑语言表达的准确与简洁。 情境与问题（1） 节约资源是我国的一项基本国策，照明用电同我们每个人息息相关，每个人都应该养成随手关灯、节约用电的好习惯。图所示为最简的照明实验电路，电路中各元器件状态正常。 当开关A闭合时，灯B是否一定会亮呢？ 教师展示教材图，组织学生观察电路并独立作答。 【答案】会亮。电路元器件状态正常，开关A闭合后电路接通。 【解析】由“开关A闭合”可以推出“灯B亮”，据此引出充分条件。 教师归纳：把“开关A闭合”记为条件，把“灯B亮”记为结论。本节课研究命题的条件与结论之间有方向的逻辑关系。 借教材电路情境激活命题经验，在明确问题、答案和归纳的闭环中建立推断方向。 新知讲授 一、命题与充分条件 在义务教育阶段，我们学习过命题的有关概念。 能判断真假的陈述句称为命题。判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题。一般地，对于形如“如果，那么”的命题，我们称为命题的条件，简称条件；称为命题的结论，简称结论。 在“情境与问题（1）”中，当开关A闭合时，灯B会亮，因此“如果开关A闭合，那么灯B亮”就是可以判断真假的陈述句，且这是一个真命题，“开关A闭合”是条件，“灯B亮”是结论。 即时练习1　判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题：①3是12的约数；②；③请打开教材；④所有的平行四边形都是矩形。 【答案】①④是命题；②③不是命题。 【解析】①④都是能够判断真假的陈述句；②中未确定，不能判断真假；③是祈使句，不是陈述句。 即时练习2　指出下列命题的条件和结论：①如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角相等；②若一个整数能被6整除，则它能被3整除。 【答案】①：一个三角形是等边三角形；：它的三个内角相等。②：一个整数能被6整除；：它能被3整除。 【解析】在“如果，那么”或“若，则”形式的命题中，“如果”或“若”后面的内容是条件，“那么”或“则”后面的内容是结论。 一般地，若命题“如果，那么”是真命题，即由可以推出，则称是的充分条件，记作。 若命题“如果，那么”是假命题，即由不能推出，则称不是的充分条件，记作。 在“情境与问题（1）”中，：开关A闭合；：灯B亮。因为“如果，那么”是真命题，所以“开关A闭合”是“灯B亮”的充分条件。 例1 指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件。 （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果，那么； （3）如果一个角是第一象限角，那么这个角是锐角。 解 （1） 条件：是整数；结论：是有理数。因为当是整数时，一定是有理数，所以此命题是真命题，是的充分条件； （2） 条件：；结论：。因为当时，一定有，所以此命题是真命题，是的充分条件； （3） 条件p：一个角是第一象限角；结论q：这个角是锐角。因为第一象限角构成的集合为，其中的角不一定是锐角，所以此命题是假命题，p不是q的充分条件。 即时练习　若，则。条件是否为结论的充分条件？ 【答案】是。 【解析】由一定能推出。 即时练习　若，则。条件是否为结论的充分条件？ 【答案】不是。 【解析】取时，成立而不成立。 二、逆命题与必要条件 情境与问题（2） 在图所示的电路中，如果“灯B亮”，那么是否一定需要“开关A闭合”呢？ 【答案】一定需要。 【解析】由“灯B亮”可以推出“开关A闭合”，即原命题的逆命题为真。 将命题“如果，那么”中的条件和结论互换，变成“如果，那么”，称这个命题为原命题的逆命题。 如，命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”。 一般地，若命题“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是真命题，则称是的必要条件，记作。 若命题“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是假命题，则称不是的必要条件，记作。 在“情境与问题（2）”中，命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”是真命题，所以“开关A闭合”是“灯B亮”的必要条件，即如果“灯B亮”，一定需要“开关A闭合”。 例2 指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的必要条件。 （1）如果是偶数，那么、都是偶数； （2）如果； （3）如果，那么。 解 （1） 条件：是偶数；结论：、都是偶数。因为“如果是偶数，那么、都是偶数”的逆命题“如果、都是偶数，那么是偶数”是真命题，所以是的必要条件； （2） 条件p：；结论q：。因为“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是假命题，所以p不是q的必要条件； （3） 条件：；结论：。因为“如果，那么”的逆命题“如果，那么”是假命题，所以不是的必要条件。 即时练习　若，则。条件是否为结论的必要条件？ 【答案】不是。 【解析】从不能推出，因为也满足结论。 即时练习　若三角形是等边三角形，则三个内角相等。前一条件是否为后一结论的必要条件？ 【答案】是。 【解析】三个内角相等的三角形一定是等边三角形，即逆命题为真。 判断方法：判断充分条件，检验原命题；判断必要条件，检验逆命题。推断不成立时，给出一个使前件成立而后件不成立的反例即可否定。 按原命题、逆命题的依赖顺序形成两个概念，并用教材例题与反例突破方向混淆。 课堂背诵 合上教材，完成填空： 1．能判断____的陈述句称为命题。对于“如果，那么”的命题，是命题的____，是命题的____。 【答案】真假；条件；结论。 【解析】命题必须是能够判断真假的陈述句；“如果”后面陈述条件，“那么”后面陈述结论。 2．若由可以推出，则是的____条件；判断是否为的必要条件，要检验由____能否推出____。 【答案】充分；；。 【解析】分别对应原命题与逆命题的真假判断。 用挖空复述检查学生对命题概念、条件与结论以及充分和必要条件判断方向的掌握。 师生互动 双向检验活动 ：整数能被4整除；：整数是偶数。分别检验与。 学生先独立判断，再同桌互相说明理由。 【答案】成立；不成立。 【解析】4的倍数一定是偶数；偶数2不是4的倍数。 教师归纳：每次都要把箭头方向说完整。能推出只说明充分；判断必要必须另检验能否推出。 通过同一对象的双向检验促使学生规范表达，并诊断把两个推断方向混为一谈的问题。 课堂练习 完成下列6题，并写出判断方向： 1. ：；：。是否为的充分条件？ 【答案】是。 【解析】当时，必有，所以能推出。 2. ：；：α是第一象限角。是否为的充分条件？ 【答案】不是。 【解析】取第三象限角，有，但α不是第一象限角。 3. p：指数函数的底数；q：函数在上是增函数。p是否为q的充分条件？ 【答案】是。 【解析】底数时，该指数函数在上单调递增，所以p能推出q。 4. ：两个三角形全等；：两个三角形的面积相等。是否为的充分条件？ 【答案】是。 【解析】全等三角形的对应边和对应高分别相等，因此面积相等，所以能推出。 5. ：；：。是否为的必要条件？ 【答案】是。 【解析】若，则，所以能推出。 6. ：直线经过第二、三、四象限；：。说明是否为的必要条件。 【答案】不是的必要条件。 【解析】取，，则，但直线不经过第三象限，所以不能推出。 选用教材练习1.1中的六个题次，覆盖充分性、必要性和反例说明，检测课堂达标情况。 课堂小结 学生先完成小结填空： 判断充分条件看____命题，判断必要条件看____命题；推断不成立时可用____否定。 【答案】原；逆；反例。 【解析】判断充分条件要检验原命题，判断必要条件要检验逆命题；若相应推断不成立，可用反例否定。 教师归纳： 判断对象 检验方向 推断不成立时 充分条件 检验原命题 举反例说明 不能推出 必要条件 检验逆命题 举反例说明 不能推出 通过表格归纳概念、判断方向和反例方法，帮助学生形成清晰、可复用的判断步骤。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本节课时间分配总体合理，两个电路问题能够自然引出充分条件和必要条件，学生在写清条件、结论后，对推断方向的理解较为清晰。例题与即时练习的衔接有助于及时巩固，反例辨析对突破必要条件判断发挥了较好作用。后续教学可适当增加学生口头说明推理依据和互相纠错的机会，并根据课堂反馈灵活调整例题讲解与练习交流的节奏，使不同基础的学生都能形成稳定的双向检验习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $