第1章 直角三角形的边角关系概念清单速记表（知识清单）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“直角三角形的边角关系”单元内容，涵盖锐角三角函数（正切、正弦、余弦等）、解直角三角形（元素关系、求解方法）及三角函数应用（仰角、俯角、坡比等）三大知识范畴，搭建了从概念定义到特殊值计算再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过章节分类呈现完整知识体系，每个概念标注相关概念形成关联，如“坡度”链接正切与坡角培养几何直观。设计特殊角三角函数值速记、解直角三角形步骤提示等实用内容，“化斜为直”方法指导体现推理意识，助力学生高效复习，教师可据此精准设计教学，提升课堂实效。

第1章 直角三角形的边角关系清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1 锐角三角函数 正切 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切，记作，即。 对边、邻边、锐角、比值 tanA 的记法 是一个完整的符号，它表示∠A的正切。当用一个大写字母表示角时，记号里习惯省去角的符号“∠”，后面的，也是这样。 省略角的符号、完整符号 坡度（坡比） 正切也经常用来描述山坡的坡度。坡度等于铅直高度与水平距离的比，即坡度。 正切、铅直高度、水平距离、坡角 正弦 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比也随之确定，∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作，即。 对边、斜边、比值 余弦 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定，∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作，即。 邻边、斜边、比值 三角函数 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。 正弦、余弦、正切、锐角A 30°，45°，60°角的三角函数值 ，，；，，；，，。 特殊角、三角板、30°、45°、60° 用计算器求三角函数值 用科学计算器可以求出任意锐角的三角函数值。例如求、、等。用科学计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位。 科学计算器、精确度、万分位 用计算器求角的度数 已知锐角的三角函数值求角度，要用到、、键。显示结果以“度”为单位，也可显示以“度、分、秒”为单位的结果；如无特别说明，结果一般精确到。 已知三角函数值、求角度、度分秒 锐角三角函数值的变化规律 当锐角逐渐增大时，的值逐渐增大，的值逐渐增大，而的值逐渐减小。 增大、减小、规律 2 解直角三角形 三角形的元素 一般地，三角形的三个角∠A，∠B，∠C和它们的对边，，叫作三角形的元素。 三角形的角、对边、元素 直角三角形的元素关系 在Rt△ABC中，∠C为直角：（1）锐角之间的关系：；（2）三边之间的关系（勾股定理）：；（3）角与边之间的关系：，，。 锐角关系、勾股定理、边角关系 解直角三角形 由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。如果知道直角三角形中的两个元素（其中至少一个是边），就可以求出其他元素。 已知元素、未知元素、至少一个是边 已知两条边解直角三角形 已知直角三角形两条边时，可利用勾股定理求出第三条边，再利用三角函数（或三角函数值对应的角）求出锐角。 勾股定理、三角函数、求边、求角 已知一条边和一个锐角解直角三角形 已知直角三角形的一条边和一个锐角时，先利用求出另一个锐角，再利用三角函数关系求出另外的边。 锐角关系、三角函数、求边 化斜为直 解非直角三角形时，常通过作高把一般三角形（斜三角形）转化为直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解。 作高、构造直角三角形、转化 3 三角函数的应用 仰角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。 视线、水平线、高处目标 俯角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。 视线、水平线、低处目标 坡角与坡比 坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅直高度与水平距离的比称为坡比（坡度），坡比等于坡角的正切，即。 坡角、坡比、坡度、正切 用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 （1）审清题意，把实际问题中的数量关系归结为解直角三角形问题；（2）画出图形，构造（或找出）直角三角形；（3）选择适当的三角函数关系或勾股定理列出关系式；（4）求出未知量，并检验结果的合理性。 审题、画图、构造直角三角形、求解、检验 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $