第2章 二次函数概念清单速记表（知识清单）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

该初中数学二次函数章节知识清单系统梳理了全章内容，涵盖函数概念、二次函数定义、图象与性质、表达式确定、实际应用及与一元二次方程关系等核心范畴，搭建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以章节为单元分类呈现知识，通过“相关概念”列关联核心要点，确保知识体系的完整性与条理性。设计“函数表示方法对比”“图象绘制步骤”等实用性内容，如“抛物线形实际问题”指导建立坐标系转化问题，培养模型意识与几何直观，助力学生自主梳理知识，教师可据此精准教学提升效率。

第2章 二次函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1 对函数的再认识 函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。 自变量、因变量、唯一确定 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值。 自变量取值、对应值 函数的三种表示方法 函数的表示方法有解析式法（表达式法）、列表法和图象法三种。解析式法准确、便于计算，列表法直观明了，图象法直观形象地反映变化趋势。 解析式法、列表法、图象法 自变量的取值范围 函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义（如分母不为0、被开方数不小于0等）。在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义。 函数有意义、实际问题、取值范围 2 认识二次函数 二次函数 一般地，形如（，，是常数，）的函数叫作的二次函数。 、、常数、二次项系数 3 二次函数的图象与性质 抛物线 二次函数（）的图象是一条抛物线（parabola）。抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是原点。当时，开口向上，顶点是最低点；当时，开口向下，顶点是最高点。 对称轴、顶点、开口方向、最低点、最高点 二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象是顶点在原点、以轴为对称轴的抛物线。越大，抛物线的开口越小；越小，开口越大。时，，随的增大而增大；时，，随的增大而减小。 开口大小、、增减性、对称轴、顶点 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线，它与二次函数的图象形状相同，只是位置不同。将二次函数的图象上下平移就可以得到：当时，向上平移个单位长度；当时，向下平移个单位长度。抛物线的对称轴为轴，顶点坐标为。 上下平移、顶点坐标、对称轴、 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线，它的形状与二次函数的图象形状相同，只是位置不同。将函数的图象左右平移就可以得到：时向右平移个单位长度，时向左平移个单位长度。抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为。 左右平移、对称轴、顶点坐标、 二次函数的图象与性质 平移二次函数的图象就可以得到二次函数的图象，它是一条抛物线。当时开口向上，当时开口向下；对称轴是直线；顶点坐标是。 顶点式、开口方向、对称轴、顶点坐标、平移 画二次函数图象的步骤 画二次函数的图象一般按列表、描点、连线三步进行。在画二次函数的图象时，要用光滑的曲线顺次连接各点。 列表、描点、连线、光滑曲线 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线，可以利用配方法将其化为的形式。它的对称轴是直线，顶点坐标是。当时开口向上，有最小值；当时开口向下，有最大值。 配方法、对称轴、顶点坐标、一般式 4 确定二次函数的表达式 一般式确定二次函数 已知二次函数图象上（不共线的）三个点的坐标，把三点的坐标分别代入表达式，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组求出，，，即可确定二次函数的表达式。 三元一次方程组、三点坐标、一般式 顶点式确定二次函数 已知二次函数图象的顶点坐标时，可设表达式为，再把图象上另一个已知点的坐标代入求出，即可确定二次函数的表达式。 顶点坐标、顶点式、待定系数 抛物线形实际问题 抛物线形的物体（如拱桥、喷水池的水流、大棚棚顶等）可以建立适当的平面直角坐标系，把实际问题转化为二次函数问题，再利用二次函数的表达式和性质求解。 建立坐标系、抛物线、二次函数、求表达式 5 二次函数的应用 二次函数的最值 对于二次函数，当时，在顶点处取得最小值；当时，在顶点处取得最大值。此时。 最大值、最小值、顶点、 利用二次函数解决面积（利润）最大问题 解决实际问题中的最大（小）值问题时，先根据题意列出二次函数表达式，确定自变量的取值范围，再利用二次函数顶点处的纵坐标求最大（小）值。 列表达式、自变量范围、顶点、最大值 竖直上抛物体运动 竖直上抛物体运动的高度（单位：m）与运动的时间（单位：s）的关系可以近似地用公式表示，其中是物体被抛出时的高度，是物体被抛出时的速度。 、、二次函数、抛体运动 6 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根，此时判别式。 轴交点、方程的根、判别式 判别式与交点个数 当时，二次函数的图象与轴有两个交点；当时，有一个交点（顶点在轴上）；当时，图象与轴没有交点，一元二次方程无实数根。 、、、交点个数 用图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数的图象，找出图象与轴交点的横坐标，即可得到一元二次方程的近似根。用图象法求近似根时，结果只取到十分位。 图象法、近似根、十分位 两函数图象交点的横坐标 两个函数图象交点的横坐标，就是由两个函数表达式联立所得的方程（如与联立）的解。 交点坐标、联立方程、解方程 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $