2.3 单摆（重难点专练）物理教科版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦单摆模型建构与周期规律，通过题型分类实现从概念理解到等效应用的递进式突破，强化科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单摆模型及回复力|例1+3变式|模型理想化条件（摆线、摆球）、回复力来源（重力切向分力）及简谐运动条件（小摆角）|从实际装置抽象理想化模型，通过受力分析推导回复力特点，建立简谐运动判断依据| |单摆的周期|例2+3变式|周期公式应用、等效摆长（悬点到重心距离）与等效重力加速度（平衡位置张力/质量）分析|基于回复力推导周期公式，拓展摆长（含等效）和重力加速度（含等效）对周期的影响规律|

2.3单摆（题型突破） 题型01 单摆模型及单摆的回复力 题型02 单摆的周期 ▌题型01 单摆模型及单摆的回复力 1.单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 2、单摆的装置 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 3、单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小； （2）空气阻力可以忽略不计。 4、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略 4、单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 (1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用 (2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力 (3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复 【例1】关于单摆，以下说法不正确的是（　　） A．单摆装置是研究机械振动的物理模型 B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小 C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，这样单摆装置就架设完成了 D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动 【答案】C 【详解】A．单摆运动是机械振动，所以单摆装置是研究机械振动的物理模型，故A正确不符合题意； B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小，可以有效减小空气阻力的影响，故B正确不符合题意； C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，是错误的，这样会导致摆动过程中，摆长发生变化，故C错误符合题意； D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动，故D正确不符合题意。 故选C。 【变式训练1】．关于简谐运动的回复力的说法错误的是（     ） A．单摆的回复力就是小球所受的合外力 B．单摆的回复力是重力在运动方向的分力 C．放在光滑水平面上的弹簧振子回复力由弹簧弹力提供 D．弹簧振子经过平衡位置时回复力为零 【答案】A 【详解】简谐运动的回复力是使物体回到平衡位置的效果力，方向指向平衡位置。 A．单摆做小角度简谐运动时，合外力沿径向的分力提供圆周运动的向心力，仅沿切向（运动方向）的分力提供回复力，因此回复力不等于小球所受的合外力，故A错误； B．单摆做小角度简谐运动时，其重力沿切向（运动方向）的分力提供回复力，故B正确； C．光滑水平面上的弹簧振子，竖直方向重力与支持力平衡，水平方向仅受弹簧弹力，该弹力充当回复力，故C正确； D．弹簧振子经过平衡位置时弹簧形变量，由回复力公式可知，此时回复力为零，故D正确。 本题选错误的，故选A。 【变式训练2】关于单摆，下列说法正确的是（　　） A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆球受到的回复力是它所受的合力 D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 【答案】AB 【详解】A．回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A正确； B．摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B正确； C．摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，C错误； D．摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，D错误。 故选AB。 【变式训练3】多选）不可伸长的细线下端悬挂一个小球，让细线从偏离竖直一个角度从静止释放，小球在竖直平面内振动，则（　　） A．当小球达到最高位置时，速度最大，势能最小，绳上的拉力最大 B．当小球达到最高位置时，速度最小，势能最大，绳上的拉力最小 C．小球离开最低位置，使小球回复到最低位置的力，是重力沿圆弧切线的分力 D．小球离开最低位置，使小球回复到最低位置的力，是细线拉力、重力的合力 【答案】BC 【详解】AB． 在单摆振动过程中，当摆球到达最高点时，速度为0，即最小；因为是最高点所以重力势能最大，即势能最大；设绳子偏离竖直方向的角度为θ，如图： 根据牛顿第二定律： 得 θ越小，v越大则绳子拉力越大，而此时最高点，θ最大，v最小，故绳子拉力最小，故A错误B正确； CD． 单摆做简谐运动的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，或者说是合力沿着运动轨迹切向的分力；而合力的径向分量提供向心力；故C正确D错误。 故选BC。 ▌题型02 单摆的周期 公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 【例2】．下列有关单摆周期的说法正确的是（　　） A．只改变小球的质量不会改变单摆的周期 B．单摆的周期只与摆线长度有关 C．单摆在同步卫星中的周期与在地面时的相同 D．单摆的周期与摆线长度成正比 【答案】A 【详解】A．根据单摆的周期公式可知，单摆的周期与摆球的质量无关，故A正确； B．根据可知，单摆的周期不仅与摆线长度有关，还与重力加速度有关，故B错误。 C．在同步卫星中，单摆处于完全失重状态，单摆无法摆动（无回复力），周期与地面时不相同，故C错误。 D．根据可知，单摆的周期与摆线长度的平方根成正比，故D错误。 故选A。 【变式训练1】惠更斯利用单摆的等时性发明了摆钟，如图所示，旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，下列做法中正确的是（    ） A．圆盘的质量越大，摆钟走得越快 B．如果摆钟慢了，可以增大摆杆摆动的摆角 C．如果摆钟快了，应旋转螺母使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从佛山搬到北京，应旋转螺母使圆盘沿摆杆上移 【答案】C 【详解】AB．根据单摆周期公式可知，摆钟的周期与圆盘的质量、摆动的摆角无关，故AB错误； C．摆钟快了，说明单摆的周期变小了，由单摆的周期公式可知L偏短了，应适当增长一些，所以应使圆盘沿摆杆下移，故C正确； D．把摆钟从佛山搬到北京，是从低纬度地区移到了高纬度地区，重力加速度变大了，由单摆的周期公式可知周期变短，钟表变快了，为使钟表变得准确，由C选项的解答可知应使圆盘沿摆杆下移，故D错误。 故选C。 ． 【变式训练2】如图所示，用两根完全相同、不可伸长的轻绳对称地将小球吊在空中，两绳与水平方向夹角均为。轻推小球，测得其在垂直纸面方向摆动的周期为T，已知每根轻绳的长度为L，小球可视为质点，则当地重力加速度g的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知单摆的摆长为 由周期公式 解得当地重力加速度为 【变式训练3】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点的正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　　) A．2π　　　　　　B．π C．(＋1)π D．(＋1)π 【答案】D 【详解】以L为摆长的运动时间为t1＝×2π以L为摆长的运动的时间为t2＝×2π ，则这个摆的周期为T＝t1＋t2＝(＋1)π 。故A、B、C错误，D正确 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3单摆（题型突破） 题型01 单摆模型及单摆的回复力 题型02 单摆的周期 ▌题型01 单摆模型及单摆的回复力 1.单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 2、单摆的装置 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 3、单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小； （2）空气阻力可以忽略不计。 4、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略 4、单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 (1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用 (2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力 (3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复 【例1】关于单摆，以下说法不正确的是（　　） A．单摆装置是研究机械振动的物理模型 B．用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，体积较小 C．将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，这样单摆装置就架设完成了 D．单摆在摆角小于5°的情况，它的机械振动可以看作简谐振动 【变式训练1】．关于简谐运动的回复力的说法错误的是（     ） A．单摆的回复力就是小球所受的合外力 B．单摆的回复力是重力在运动方向的分力 C．放在光滑水平面上的弹簧振子回复力由弹簧弹力提供 D．弹簧振子经过平衡位置时回复力为零 【变式训练2】关于单摆，下列说法正确的是（　　） A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆球受到的回复力是它所受的合力 D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 【变式训练3】多选）不可伸长的细线下端悬挂一个小球，让细线从偏离竖直一个角度从静止释放，小球在竖直平面内振动，则（　　） A．当小球达到最高位置时，速度最大，势能最小，绳上的拉力最大 B．当小球达到最高位置时，速度最小，势能最大，绳上的拉力最小 C．小球离开最低位置，使小球回复到最低位置的力，是重力沿圆弧切线的分力 D．小球离开最低位置，使小球回复到最低位置的力，是细线拉力、重力的合力 ▌题型02 单摆的周期 公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 【例2】．下列有关单摆周期的说法正确的是（　　） A．只改变小球的质量不会改变单摆的周期 B．单摆的周期只与摆线长度有关 C．单摆在同步卫星中的周期与在地面时的相同 D．单摆的周期与摆线长度成正比 【变式训练1】惠更斯利用单摆的等时性发明了摆钟，如图所示，旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，下列做法中正确的是（    ） A．圆盘的质量越大，摆钟走得越快 B．如果摆钟慢了，可以增大摆杆摆动的摆角 C．如果摆钟快了，应旋转螺母使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从佛山搬到北京，应旋转螺母使圆盘沿摆杆上移 【变式训练2】如图所示，用两根完全相同、不可伸长的轻绳对称地将小球吊在空中，两绳与水平方向夹角均为。轻推小球，测得其在垂直纸面方向摆动的周期为T，已知每根轻绳的长度为L，小球可视为质点，则当地重力加速度g的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点的正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　　) A．2π　　　　　　B．π C．(＋1)π D．(＋1)π 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $