第四单元 比和比例（知识清单）数学苏教版六年级上册（新教材）

该小学数学“比和比例”单元知识清单系统梳理了比与比例的核心内容，涵盖比的意义、性质、化简与应用，比例的意义、基本性质、解比例与应用等知识范畴，搭建了从概念理解到性质运用再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过“知识点梳理+10类题型示例+分层练习”的结构呈现知识体系，如“比的意义”结合消毒液配比实例辨析比的含义，培养抽象能力；“比例的应用”通过大雁塔模型高度计算问题，强化模型意识与推理能力。特色设计“易混概念对比”和“实际情境应用题”，助力学生高效掌握要点，教师可直接用于教学，提升课堂实效。

第四单元 比和比例 单元知识清单讲义 知识点一：比 1、比的意义及各部分名称。 （1）比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 （2）“比”可以用比号“∶”来代替，也可以写成分数的形式，两种形式的比都读“几比几”。 （3）比值：比的前项除以后项所得的商。 求比值的方法：用比的前项除以后项。 （4）比、除法、分数之间的关系： 2、比的基本性质 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。这是比的基本性质。 3、化简比。 整数比最简单的整理比，化简比的结果是一个比，不是一个数。 4、比的应用。 （1）把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配问题的解题方法。 用整数乘、除法解决问题：①求出总份数；②求出每份是多少；③求出各部分的数量。 用分数乘法解决问题：①先根据比求出总份数；②再求出各部分量占总量的几分之几；③最后求出各部分的数量。 知识点二：比例 1、比例的意义。 （1）表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）根据比例的意义组比例。 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 2、比例的基本性质。 （1）组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 （2）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a：b=c：d，那么这个规律可以表示成：a×d=b×c。 3、解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。 4、用比例解决问题的关键是分析数量关系，根据比例的基本性质，列出比例，再解比例。 题型1：比的意义 【例1】下图是某消毒液使用说明，对此使用说明中的1∶52理解错误的是（    ）。 消毒液使用说明 衣物消毒 机洗、漂洗：在洗涤过程中按1∶52的比加入原液和水 A．水与原液的质量比是52∶1 B．1份原液配52份水 C．原液占稀释后液体总量的 【答案】C 【分析】1∶52表示原液和水的比为1∶52，根据比的意义判断各选项正误即可。 【详解】A．原液∶水＝1∶52，因此水与原液的质量比是52∶1，原说法正确，不符合题意； B．1份原液配52份水，原液与水的比为1∶52，原说法正确，不符合题意； C．稀释后液体总份数：，原液占稀释后液体总量的，不是，错误，符合题意。 【练1】如果a、b都是非0的自然数，且，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比的关系判断a和b成倍数关系，如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数，据此解答。 【详解】由a∶b＝2∶1可得a＝2b，可知a是b的2倍，两个非0自然数成倍数关系时，最小公倍数是其中较大的数a。 【练2】钟面上时针与分针转动速度的比是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】速度可以看相同时间转动的圈数，选取12小时作为统一时间，时针12小时只转1圈，分针1小时转1圈，12小时就能转12圈，用二者圈数之比就是速度比。 【详解】12小时时针转1圈，分针转12圈 速度比：1∶12 题型2：比的基本性质 【例2】把7∶13的前项乘3后，要保持比值不变，比的后项应该增加（ ）。 【答案】26 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。先用13乘3得到后来的后项，再减去原来的后项，即可得到比的后项应该增加多少。 【详解】13×3－13 ＝39－13 ＝26 【练3】8∶7的后项加上28，要使比值不变，比的前项应加上（ ）。 【答案】32 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，先算出后项加28后是扩大到原来的多少倍，再用前项乘相应的倍数减去原数即是需要加上的数。 【详解】后项扩大到原来的倍数： 前项需要加上的数： 【练4】在4∶6中，比的前项增加2，要使比值不变，后项应该乘（ ）。 【答案】1.5 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。 【详解】比的前项相当于乘： （4＋2）÷4 ＝6÷4 ＝1.5 要使比值不变，后项应该乘1.5。 题型3：比与分数、除法的关系 【例3】。 【答案】9；20；21；8 【分析】根据题意，根据除法与比的关系，分数与比的关系以及除法的运算，逐一分析解答。 【详解】已知，根据除法与比的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，被除数＝除数×商，即12×0.75＝9； 已知，根据除法与分数的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，除数＝被除数÷商，即15÷0.75＝20； 已知，根据除法与比的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，被除数＝除数×商，即28×0.75＝21； 已知，根据除法与比的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，除数＝被除数÷商，即6÷0.75＝8； 所以。 【练5】6∶10＝12∶（    ）＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 【答案】20；3；24；0.6 【分析】根据比的基本性质：6∶10的前项和后项都乘2就是12∶20；根据比与分数的关系，比的前项相当于分数的分子，后项相当于分母，比号对应分数线，即6∶10＝；根据分数的基本性质：的分子、分母同时除以2就是；根据比与除法的关系，‌比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除数，比号相当于除号，即6∶10＝6÷10；根据商不变的规律：除数10乘4，被除数6也乘4，就是24÷40；用比的前项除以后项求比值。 【详解】6∶10 ＝（6×2）∶（10×2） ＝12∶20 6∶10＝ ＝＝ 6∶10＝6÷10 6÷10 ＝（6×4）÷（10×4） ＝24÷40 6÷10＝0.6 所以6∶10＝12∶20＝＝24÷40＝0.6。 【练6】。 【答案】16；18；4 【分析】根据题意，先把题目中的0.75转化为分数​，再结合除法、分数、比的原始定义与推导关系进行计算： 对于12÷（ ）＝0.75，依据商＝被除数÷除数，当被除数与商已知时，除数＝被除数÷商，因此用被除数12÷商0.75即可求出除数。 对于​＝0.75，依据分数值＝分子÷分母，当分数值与分母已知时，分子＝分母×分数值，因此用分母24乘0.75即可求出分子。 对于3∶（ ）＝0.75，依据比值＝比的前项÷比的后项，当比的前项与比值已知时，比的后项＝比的前项÷比值，因此用比的前项3÷0.75即可求出比的后项，据此解答。 【详解】12÷（   ）＝0.75，12÷0.75＝16 ＝0.75，24×0.75＝18 ＝0.75，3÷0.75​＝4​ 综上所述可得， 题型4：求比值或化简比 【例4】求比值。 48∶40             1.2∶0.12              【答案】；； 【分析】求比值的依据是 “比值＝比的前项÷比的后项”（比值是前项除以后项的商，结果可以是整数、小数或分数）。算48∶40时，用48÷40同时除以8得1.2（或）；算1.2∶0.12时，1.2÷0.12同时乘100得120÷12＝10；算0.4∶时，先把转成0.6，再用0.4÷0.6得。 【详解】48∶40＝48÷40＝（48÷8）÷（40÷8）＝6÷5＝1.2（或） 1.2∶0.12＝1.2÷0.12＝（1.2×100）÷（0.12×100）＝120÷12＝10 0.4∶＝0.4÷＝0.4÷0.6＝4÷6＝ 【练7】化简比并求比值。 0.375∶             1.5小时∶45分钟 【答案】1∶2；； 2∶1；2 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此进行化简，有单位的先统一单位，再根据比的基本性质化简；求比值用比的前项除以后项即可。 【详解】0.375∶＝（0.375×）∶（×）＝1∶2 0.375∶＝0.375÷＝ 1.5小时∶45分钟 ＝90分钟∶45分钟 ＝90∶45 ＝（90÷45）∶（45÷45） ＝2∶1 1.5小时∶45分钟 ＝90分钟∶45分钟 ＝90∶45 ＝90÷45 ＝2 【练8】化简比并求比值。 1.8∶0.24    吨∶750千克     【答案】，； ，； ， 【分析】化简1.8∶0.24时，比的前项和后项同时除以0.12即可化简为整数比，用前项除以后项即可求出比值； 化简吨∶750千克时，根据1吨＝1000千克，用乘进率1000即可换算为千克，比的前项和后项同时除以250即可化简为整数比，用前项除以后项即可求出比值； 化简时，比的前项和后项同时乘6再除以1.4即可化简为整数比，用前项除以后项即可求出比值； 【详解】 （千克），； 。 题型5：比的应用 【例5】甲仓库的水泥袋数和乙仓库的比是2∶3，现在从乙仓库搬22袋去甲仓库。那么甲仓库与乙仓库的袋数比是5∶2，甲乙两仓库原来共有多少袋水泥？ 【答案】70袋 【分析】两仓库水泥总袋数不变，将总袋数看作单位“1”，根据原来甲、乙仓库水泥袋数比，算出总份数，得到原来甲仓库水泥占总袋数的；从乙仓库搬22袋水泥到甲仓库后，甲乙袋数比变为5∶2，算出此时的总份数，得到甲仓库水泥占总袋数的；对比前后分率可以发现，甲仓库占总袋数的分率增加了，增加的分率就是搬过来的22袋水泥对应的分率，用减去，通分计算得到分率差，也就是总袋数的正好是22袋，再根据“对应量÷对应分率＝单位1的量”，用22除以，计算得出甲乙两仓库原来一共有水泥的袋数。 【详解】原来甲乙总份数： 原来甲占总袋数的分率： 后来甲乙总份数： 后来甲占总袋数的分率： 22袋对应的分率： 总袋数：（袋） 答：甲乙两仓库原来共有70袋水泥。 【练9】为了保证住户的采光通风需要，一般普通住宅小区中南北朝向的前后楼房之间的距离与前楼高度比要达到或超过1.2∶1。小明家所在楼房与前楼之间的距离是35米，前楼共11层，每层楼高按3米计算，请计算分析两楼之间的距离是否达到要求。 【答案】没有 【分析】楼间距与前楼高度的比要达到或超过，即楼间距至少要达到前楼高度的1.2倍。先算出前楼总高度，再乘1.2得到达标所需的最小楼间距，最后与实际楼间距比较即可判断。 【详解】 （米） 答：两楼之间的距离没有达到要求。 【练10】一个养殖场有鸡和鸭共2400只，其中鸡与鸭的只数比是8∶7，卖掉一些鸡后，鸡与鸭的只数比是1∶2，卖掉了多少只鸡？ 【答案】720只 【分析】将比的前后项看成份数，卖掉一些鸡后，鸭的只数没变，原来鸡和鸭的总只数÷原来总份数＝原来一份数，原来一份数×鸭的对应份数＝鸭的只数；鸭的只数÷现在对应份数＝现在一份数，现在一份数×总份数＝现在鸡和鸭的总只数，原来鸡和鸭的总只数－现在鸡和鸭的总只数＝卖掉的鸡的只数。 【详解】2400÷（8＋7）×7 ＝2400÷15×7 ＝1120（只） 1120÷2×（1＋2） ＝560×3 ＝1680（只） 2400－1680＝720（只） 答：卖掉了720只鸡。 【点睛】关键是理解比的意义，明确鸭的只数不变，通过鸭的只数求出卖掉一些鸡后的总只数。 题型6：按比分配问题 【例6】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ 【答案】9克 【分析】用水的质量除以它占的份数，求出一份的质量，再乘蜂蜜质量占的份数即可。 【详解】60÷20×3 ＝3×3 ＝9（克） 答：用了9克蜂蜜。 【练11】为满足人们对美好生活的需求，我国又成功研制了加长版“复兴号”动车组。某列加长版“复兴号”设置了一等座和二等座共1161个座位，数量比是1∶8，这列加长版“复兴号”设置的一等座有多少个座位？ 【答案】129个 【分析】根据按比分配的方法，先求出一等座占总座位数的分率，再用总座位数乘该分率计算一等座数量。 【详解】 （个） 答：这列加长版“复兴号”设置的一等座有129个座位。 【练12】一个等腰三角形的周长是70厘米，一条腰与底的长度比是3∶1，这个三角形的一条腰和底的长分别是多少厘米？ 【答案】这个三角形的一条腰和底的长分别是30、10厘米。 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，确定三边的长度比，再用按比例分配的方法计算腰和底的长度。 【详解】由等腰三角形两腰相等，得三边长度比为。 总份数： 每份长度：（厘米） 腰长：（厘米） 底长：（厘米） 答：这个三角形的一条腰和底的长分别是30、10厘米。 题型7：比例的意义 【例7】下面能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．15∶40 B．0.2∶0.5 C．8∶3 D．6∶11 【答案】A 【分析】比值相等的两个比可以组成比例。先求出3∶8的比值，再分别计算每个选项的比值，根据比例的意义判断两个比是否能组成比例。 【详解】 A．，比值相等，能组成比例； B．，比值不相等，不能组成比例； C．，比值不相等，不能组成比例； D．，比值不相等，不能组成比例。 【练13】下面各组中的两个比，可以组成比例的是（    ）。 A．7∶9和9∶7 B．6∶12和1∶6 C．9∶6和1.5∶1 D．8∶13和2∶3 【答案】C 【详解】比例的意义，表示两个比相等的式子，叫作比例；比值＝前项÷后项，据此计算出各选项比的比值，找出相同的一组。 【解答】A．7∶9＝7÷9＝，9∶7＝9÷7＝，≠，所以7∶9和9∶7不可以组成比例。 B．6∶12＝6÷12＝，1∶6＝1÷6＝，≠，所以6∶12和1∶6不可以组成比例。 C．9∶6＝9÷6＝，1.5∶1＝1.5÷1＝，所以9∶6和1.5∶1可以组成比例。 D．8∶13＝8÷13＝，2∶3＝2÷3＝，≠，所以8∶13和2∶3不可以组成比例。 【练14】从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是（ ）。 【答案】1∶5＝6∶30 【分析】先找出30的所有因数，将30写成两个自然数的乘积。比值是，就是前项除以后项等于。在这些数中，找出所有符合比值是的比，从这些比里选出两组，用等号连起来。 【详解】根据分析，解答如下： 30＝1×30＝＝＝5×6，我们可以选取1，5，6，30组成比例，1∶5＝6∶30。 即从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是1∶5＝6∶30。 （答案不唯一） 题型8：比的基本性质 【例8】一个比例里，两个内项的积是2，其中一个外项是0.4，另一个外项是（    ）。 A．0.5 B．5 C．8 D．10. 【答案】B 【分析】比例中两个外项的积等于两个内项的积，用两个内项的积除以已知的外项，就能得到另一个外项。 【详解】 另一个外项是5。 【练15】在一个比例中，两外项之积是最小的合数，且其中一个内项是8，则另一个内项是（ ）。 【答案】/0.5 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数，最小的合数是4。根据比例的基本性质：比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 所以两个内项的积也等于4。 【详解】已知一个内项是8，求另一个内项：。 【练16】一个比例的两个内项分别是1.2和3.5，那么这个比例的两个外项的积是（ ）。 【答案】4.2 【分析】依据比例的基本性质：在一个比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 【详解】1.2×3.5＝4.2 故这个比例的两个外项的积是4.2。 题型9：解比例 【例9】解方程。                          【答案】；； 【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 （2）先根据等式的性质1，方程两边同时加上1.5；再根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 （3）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3.6求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【练17】解方程或比例。                      【答案】x＝7；x＝1；x＝0.6 【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质1，方程两边同时加上8；最后根据等式的性质2，方程两边同时除以1.4求解。 （2）先根据等式的性质2，方程两边同时除以5；再根据等式的性质1，方程两边同时减去3求解。 （3）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程6x＝3×1.2；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6求解。 【详解】（1）1.4x－1.6×5＝1.8 解：1.4x－8＝1.8 1.4x－8＋8＝1.8＋8 1.4x＝9.8 1.4x÷1.4＝9.8÷1.4 x＝7 （2）5（x＋3）＝20 解：5（x＋3）÷5＝20÷5 x＋3＝4 x＋3－3＝4－3 x＝1 （3）3∶x＝6∶1.2 解：6x＝3×1.2 6x＝3.6 6x÷6＝3.6÷6 x＝0.6 【练18】解方程。                 【答案】x＝；x＝20 【分析】（1）先根据比例的基本性质，将比例转化为方程7x＝4×；再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以7求解。 （2）先化简方程，再根据等式的性质1，方程两边同时减去12，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.4求解。 【详解】（1）＝∶7 解：x∶4＝∶7 7x＝4× 7x＝ 7x÷7＝÷7 x＝× x＝ （2）8×1.5＋0.4x＝20 解：12＋0.4x＝20 12＋0.4x－12＝20－12 0.4x＝8 0.4x÷0.4＝8÷0.4 x＝20 题型10：比例的应用 【例10】一种饺子馅是由牛肉和葱花均匀混合后调制而成的。若按照牛肉和葱花的质量比调制饺子馅，奶奶用了2.4千克牛肉，用了多少千克葱花？（用比例解） 【答案】0.9千克 【分析】牛肉和葱花的质量比固定，可据此列比例式，利用比例的基本性质，内项积等于外项积求解。 【详解】解：设用了千克葱花。 答：用了0.9千克葱花。 【练19】大雁塔是西安标志性建筑之一，不仅是一座宏伟的佛塔，更是承载着深厚历史文化的瑰宝，总高64米。某展馆设计制作了大雁塔的模型，模型高度与实际高度的比是1∶50。这个大雁塔模型的高度是多少？（用比例解） 【答案】1.28米 【分析】根据模型高度与实际高度的比为1∶50，结合已知的实际高度，设模型高度为未知数，列比例式后利用比例的基本性质求解。 【详解】解：设这个大雁塔模型的高度是x米。 x∶64＝1∶50 50x＝64×1 x＝64÷50 x＝1.28 答：这个大雁塔模型的高度是1.28米。 【练20】笑笑和爸爸、妈妈去看兵马俑，买回一个仿制的小型版陶制将军俑，高是18.5cm。这个将军俑的正常身高是多少米？（用比例解答） 【答案】1.85米 【分析】根据题意，小型版将军俑身高与正常将军俑身高的比是1∶10，买回来的小型版陶制将军俑，高18.5厘米，即18.5厘米∶正常将军俑身高＝1∶10，设这个将军俑的正常身高是厘米。据此列比例式解答，再将单位化成“米”。 【详解】解：设这个将军俑的正常身高是厘米。 185厘米＝1.85米 答：这个将军俑的正常身高是1.85米。 一、选择题 1．已知（、均不为0），则与化简后的最简比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，据此写出这个比例式，再化简为最简整数比即可。 【详解】根据比例的基本性质可得：， ， 即。 2．甲种纸2张3元，乙种纸3张2元，甲、乙两种纸的单价比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出甲、乙两种纸的单价，再计算两者的单价比，并化成最简整数比即可。 【详解】甲种纸单价：（元/张），乙种纸单价：（元/张）， 单价比：。 3．不能与5、3.2和0.8这三个数组成比例的是（    ）。 A．6 B．1.25 C．0.512 D．20 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，设第四个数为，计算能与已知三个数组成比例的第四个数，对比选项即可判断。 【详解】解：设能和这三个数组成比例的第四个数为，分三种情况计算： 1. 若与同为内项或外项： 2. 若与同为内项或外项： 3. 若与同为内项或外项： 综上所述，没有6，因此不能与5、3.2和0.8这三个数组成比例的是6。 4．如果给9∶5的前项加上18，要使比值不变，可以给后项（    ）。 A．加上18 B．加上5 C．乘2 D．乘3 【答案】D 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。先计算前项变化后扩大到原来的几倍，后项做相同变化即可。 【详解】9＋18＝27 27÷9＝3 要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，即乘3。 5．一种混凝土由水泥、沙子和石子按2∶3∶5的比例混合而成，要配制1200千克这种混凝土，需要沙子（    ）。 A．240千克 B．360千克 C．600千克 D．480千克 【答案】B 【分析】按比例分配问题，先求出总份数，再用总质量除以总份数求出每份的质量，最后乘沙子对应的份数即可求出沙子的质量。 【详解】总份数：2＋3＋5＝10（份） 每份质量：1200÷10＝120（千克） 沙子质量：120×3＝360（千克） 6．等腰三角形周长56厘米，两条边长比2∶3，该三角形腰长是（    ）厘米。 A．16 B．21 C．16或21 D．14或24 【答案】C 【分析】等腰三角形两腰长度相等，已知三角形两条边长比2∶3，则三角形的三边的边长比有两种情况：①三角形的三边长比为2∶2∶3；②三角形的三边长比为2∶3∶3，根据按比分配计算出三角形的腰长，同时要验证是否满足三角形两边之和大于第三边的要求。 【详解】①三边长的比为2∶2∶3，2＋2＞3，满足三角形两边之和大于第三边的要求； 三角形的腰长：    ＝16（厘米） ②三边长的比为2∶3∶3，2＋3＞3，满足三角形两边之和大于第三边的要求；       ＝21（厘米） 所以该三角形腰长是16或21厘米。 二、填空题 7．从甲地到乙地，甲车要5小时，乙车要7小时，甲、乙两车的速度比是（ ）。 【答案】7∶5 【分析】把甲地到乙地的总路程看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”，甲车速度是1÷5＝ ，乙车速度是1÷7＝。求甲、乙两车的速度比就是求∶，根据比的基本性质，用比的前项和后项同时乘35（5和7的最小公倍数）化简，得到最简整数比。 【详解】∶ ＝（×35）∶（×35） ＝7∶5 8．40∶（    ）＝＝0.625。 【答案】64；15 【分析】0.625是一个三位小数，先转化为分母是1000的分数，即，再利用分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。即可以得出最简分数； 再利用分数的基本性质将分数的分母乘3得出为24，则分子也要乘3； 将分数与比的关系转化为5∶8，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，比的前项乘8，则后项也要乘8。 【详解】 则 9．甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的，这批玩具共有120个，丙生产了（ ）个。 【答案】50 【分析】先根据“甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的”求出甲生产的个数与乙、丙两人生产的个数之和的比，根据总数按比分配求出甲生产的个数；同理根据“乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的”求出乙生产的个数。最后用总个数减去甲和乙生产的个数求出丙生产的个数。 【详解】甲生产的个数∶乙、丙两人生产的个数之和＝∶1＝1∶2 甲生产的个数： 120÷（1＋2） ＝120÷3 ＝40（个） 乙生产的个数∶甲、丙两人生产的个数之和＝∶1＝1∶3 乙生产的个数： 120÷（1＋3） ＝120÷4 ＝30（个） 丙生产的个数：120－40－30＝50（个） 10．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，已知一个外项是，另一个外项是（ ）。 【答案】8 【分析】先确定最小的质数是2，再依据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，已知内项积，用内项积÷其中一个外项，求出另一个外项。 【详解】最小的质数是2，所以两个内项乘积为2。 根据比例基本性质，两个外项乘积也为2， 2÷＝2×4＝8 11．9的所有因数有（ ），其中（ ）既不是质数也不是合数，请你再配上一个数，把它们组成一个比例是（ ）。 【答案】1、3、9 1 1∶3＝9∶27 【分析】根据乘积关系写出所有的因数，包括1和它本身。写比例时可以运用比例的基本性质写。这里关键是1即不是质数也不是合数，有学生可能和奇数偶数混淆。 【详解】9的因数有1，3，9；其中1既不是质数也不是合数，按照比例基本性质，比值相同，13＝，再添加一个数，被9除，也等于，比例成立，所以比例是1∶3＝9∶27。 12．“墨子号”开展量子通信实验，在太空中展开太阳能板后，长与宽的比是5∶2，已知长为15米，那么宽是（ ）米。 【答案】6 【分析】设宽为x米，已知长与宽的比是5∶2，可列出比例式为15∶x＝5∶2，根据比例的基本性质将其转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设宽为x米。 15∶x＝5∶2 5x＝15×2 5x＝30 5x÷5＝30÷5 x＝6 所以宽是6米。 三、计算题 13．将下面各比化为最简整数比。 144∶72    0.65∶0.5        0.05km∶200m 【答案】2∶1；13∶10；6∶7；1∶4 【分析】对于整数比，因为要消去两项的最大公因数，所以先求前项和后项的最大公约数，再同时除以该数得到最简整数比。 对于小数比，如果要将小数转化为整数，那么先把两项同时扩大到原来的100倍，消去小数点得到整数比，再按整数比化简方法处理。 对于分数比，因为要消去分母，所以先找两个分母的最小公倍数，两项同时乘以最小公倍数得到整数比，再按整数比化简方法处理。 对于带不同单位的比，因为单位不统一无法直接化简，所以先将两项换算为相同单位，再按对应类型的比化简方法处理。 【详解】144∶72＝ 0.65∶0.5＝ 0.05km∶200m 14．解方程（比例）。              【答案】x＝64；x＝10 【分析】先计算左边，再根据等式的性质2，两边同时除以求解即可； 先根据比例的性质转化成方程，再根据等式的性质2，两边同时除以0.8求解即可。 【详解】 解： 解：0.8x＝3.2×2.5 0.8x＝8 x＝8÷0.8 x＝10 四、解答题 15．甲、乙两地相距378千米，一辆货车行完全程4.5小时，一辆小轿车与这辆货车的速度比是5∶4。这辆小轿车从甲地到乙地需要多少小时？ 【答案】小时 【分析】已知总路程和货车行完全程的时间，先求出货车的速度；再根据小轿车与货车的速度比算出小轿车的速度；最后用总路程除以小轿车的速度，得到小轿车从甲地到乙地的行驶时间。 【详解】 （小时） 答：这辆小轿车从甲地到乙地需要小时。 16．2025年4月23日是第30个世界读书日，今年联合国教科文组织确定的主题为：“阅读，通往未来的桥梁”。读书日前夕，学校图书室补充科普类、文学类和艺术类三类读物共2500本，已知这三类读物本数的比是3∶5∶2，科普类、文学类和艺术类读物各补充了多少本？ 【答案】科普类750本，文学类1250本，艺术类500本。 【分析】将各部分的比例数相加，得到总份数；用总数除以总份数，得到每份代表的具体数量，用每份的数量分别乘各部分的份数，得到各部分的具体数值。 【详解】（份） （本） （本） （本） （本） 答：科普类读物补充了750本，文学类读物补充了1250本，艺术类读物补充了500本。 17．研究发现，小学生一天的活动与睡眠时间按照5∶3安排是比较合理的。根据这一比例，小学生一天的睡眠时间应达到几小时？ 【答案】9小时 【分析】已知一天24小时，小学生一天的活动与睡眠时间按照5∶3安排是比较合理的，即一天的活动时间占5份，睡眠时间占3份，一共（5＋3）份；用一天的时间除以总份数，求出一份数，再用一份数乘睡眠时间占的份数，即可求出小学生一天的睡眠时间。 【详解】24÷（5＋3） ＝24÷8 ＝3（小时） 3×3＝9（小时） 答：小学生一天的睡眠时间应达到9小时。 18．为更好地体验“公园大渡口”的宜人环境，某小学六年级举行“citywalk”大滨路徒步活动。第一批到场的学生是全年级人数的，第二批到达了70人，此时已经到达和没到达的学生人数比为，这个小学六年级共多少人参加活动？ 【答案】175人 【分析】因为已经到达和没到达的学生人数之比是4∶1，已经到达的人数占总人数的比例为＝；又已知第一批到场的学生是全年级人数的，第二批到达的人数占总人数的比例是－＝；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，把全年级人数看作单位“1”，用第二批到达的人数除以第二批到达的人数占总人数的得出总人数。据此解答。 【详解】70÷（－） ＝70÷（－） ＝70÷ ＝70× ＝175（人） 答：这个小学六年级共175人参加活动。 19．当人工智能deepseep问世后，工程师每天整理文件的速度提高了不少，工程师小王以前每天能整理3.2G文件，现在每天能整理4G文件，现在12天整理的文件，以前要整理多少天？（用比例解答） 【答案】15天 【分析】整理文件的总容量不变，每天整理的容量与所需天数的乘积相等，即成反比例，据此列比例方程求解。 【详解】解：设以前要整理天。 答：以前要整理15天。 20．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 【答案】240人 【分析】根据甲车间人数占两个车间人数的，把两个车间人数看成8份，甲车间人数占5份，则乙车间人数占8－5＝3份。设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人，根据数量关系式：（甲车间原来人数－90）∶乙车间原来人数＝2∶3，列出方程。 【详解】8－5＝3（份） 解：设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人。 （5x－90）∶3x＝2∶3 6x＝3×（5x－90） 6x＝15x－270 15x－6x＝270 9x＝270 x＝270÷9 x＝30 5×30＝150（人） 3×30＝90（人） 150＋90＝240（人） 答：原来两个车间一共有240人。 21．在社区废品回收活动中，8号楼和9号楼共回收饮料瓶560个，8号楼回收瓶数的与9号楼瓶数的正好相等。8，9号楼各回收饮料瓶多少个？ 【答案】8号楼回收饮料瓶240个，9号楼回收饮料瓶320个。 【分析】根据分数乘法的意义可知，8号楼回收的瓶数9号楼回收的瓶数，根据比例的基本性质得出：8号楼回收的瓶数∶9号楼回收的瓶数3∶4。把8号楼和9号楼共回收饮料瓶的个数平均分成（3＋4）份，先用除法求出1份的个数，再用乘法分别求出3份（8号楼回收）、4份（9号楼回收）的个数。 【详解】8号楼回收的瓶数9号楼回收的瓶数， 所以，8号楼回收的瓶数∶9号楼回收的瓶数3∶4； 560÷（3＋4） ＝560÷7 ＝80（个） 80×3＝240（个） 80×4＝320（个） 答：8号楼回收饮料瓶240个，9号楼回收饮料瓶320个。 22．一般认为，如果一个人肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比是0.618∶1（黄金分割比），那么这个人才协调好看。如图所示，小红准备参加空姐选拔活动，她肚脐以上的高度是65厘米，肚脐以下的高度是95厘米，那么她应该穿多少厘米高的鞋子才能符合黄金分割比？（为方便计算，黄金分割比按上身∶下身＝5∶8计算） 【答案】9厘米 【分析】分析题目，设小红应该穿x厘米高的鞋子才能符合黄金分割比，再根据小红的上身高度∶（下身高度＋高跟鞋的高度）＝5∶8列出方程65：（95＋x）＝5∶8，再进一步根据比例的基本性质和等式的基本性质解出方程即可。 【详解】解：设小红应该穿x厘米高的鞋子才能符合黄金分割比。 65：（95＋x）＝5∶8 5（95＋x）＝65×8 475＋5x＝520 5x＝520－475 5x＝45 5x÷5＝45÷5 x＝9 答：她应该穿9厘米高的鞋子才能符合黄金分割比。 23．五一节期间，王老师一家出去旅游，他们上午8：00从东莞出发，以90千米/时的平均速度行驶了1小时40分钟到达惠州。在总面积3.2平方千米的惠州西湖风景名胜区游览了4小时，当晚入住惠州。第二天王老师一家继续出发，中午到达了梅州市。已知东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3。当汽车到达惠州时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。 （1）求东莞途经惠州市到梅州市的路程。 （2）王老师能否用剩下的油开到梅州市？请用你喜欢的方式说明。 【答案】（1）375千米 （2）能 【分析】（1）先求东莞到惠州的路程。速度90千米每时，时间1小时40分钟，换算成小时为小时，即小时。路程＝速度×时间。东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3，东莞到惠州路程占2份，惠州到梅州占3份。用东莞到惠州路程除以2求出一份，再乘总份数5份，得到总路程。 （2）满箱油到惠州剩下箱，说明东莞到惠州用掉1减等于箱油。箱油行驶的路程是东莞到惠州的路程。惠州到梅州的路程占东莞到惠州的倍。惠州到梅州需要的油是箱的。 【详解】（1）1小时40分钟＝小时＝小时 东莞到惠州路程：90×＝150（千米） 一份：150÷2＝75（千米） 总路程： 75×（2＋3） ＝75×5 ＝375（千米） 答：东莞途经惠州到梅州的路程是375千米。 （2）东莞到惠州用油：1－＝（箱），惠州到梅州路程是东莞到惠州的，用油：＝（箱） 剩下油箱，＞。 答：能开到梅州市。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例 单元知识清单讲义 知识点一：比 1、比的意义及各部分名称。 （1）比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 （2）“比”可以用比号“∶”来代替，也可以写成分数的形式，两种形式的比都读“几比几”。 （3）比值：比的前项除以后项所得的商。 求比值的方法：用比的前项除以后项。 （4）比、除法、分数之间的关系： 2、比的基本性质 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。这是比的基本性质。 3、化简比。 整数比最简单的整理比，化简比的结果是一个比，不是一个数。 4、比的应用。 （1）把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配问题的解题方法。 用整数乘、除法解决问题：①求出总份数；②求出每份是多少；③求出各部分的数量。 用分数乘法解决问题：①先根据比求出总份数；②再求出各部分量占总量的几分之几；③最后求出各部分的数量。 知识点二：比例 1、比例的意义。 （1）表示两个比相等的式子叫作比例。 （2）根据比例的意义组比例。 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 2、比例的基本性质。 （1）组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 （2）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a：b=c：d，那么这个规律可以表示成：a×d=b×c。 3、解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。 4、用比例解决问题的关键是分析数量关系，根据比例的基本性质，列出比例，再解比例。 题型1：比的意义 【例1】下图是某消毒液使用说明，对此使用说明中的1∶52理解错误的是（    ）。 消毒液使用说明 衣物消毒 机洗、漂洗：在洗涤过程中按1∶52的比加入原液和水 A．水与原液的质量比是52∶1 B．1份原液配52份水 C．原液占稀释后液体总量的 【练1】如果a、b都是非0的自然数，且，那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．无法确定 【练2】钟面上时针与分针转动速度的比是（    ）。 A． B． C． 题型2：比的基本性质 【例2】把7∶13的前项乘3后，要保持比值不变，比的后项应该增加（ ）。 【练3】8∶7的后项加上28，要使比值不变，比的前项应加上（ ）。 【练4】在4∶6中，比的前项增加2，要使比值不变，后项应该乘（ ）。 题型3：比与分数、除法的关系 【例3】。 【练5】6∶10＝12∶（    ）＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 【练6】。 题型4：求比值或化简比 【例4】求比值。 48∶40             1.2∶0.12              【练7】化简比并求比值。 0.375∶             1.5小时∶45分钟 【练8】化简比并求比值。 1.8∶0.24    吨∶750千克     题型5：比的应用 【例5】甲仓库的水泥袋数和乙仓库的比是2∶3，现在从乙仓库搬22袋去甲仓库。那么甲仓库与乙仓库的袋数比是5∶2，甲乙两仓库原来共有多少袋水泥？ 【练9】为了保证住户的采光通风需要，一般普通住宅小区中南北朝向的前后楼房之间的距离与前楼高度比要达到或超过1.2∶1。小明家所在楼房与前楼之间的距离是35米，前楼共11层，每层楼高按3米计算，请计算分析两楼之间的距离是否达到要求。 【练10】一个养殖场有鸡和鸭共2400只，其中鸡与鸭的只数比是8∶7，卖掉一些鸡后，鸡与鸭的只数比是1∶2，卖掉了多少只鸡？ 题型6：按比分配问题 【例6】王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3∶20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ 【练11】为满足人们对美好生活的需求，我国又成功研制了加长版“复兴号”动车组。某列加长版“复兴号”设置了一等座和二等座共1161个座位，数量比是1∶8，这列加长版“复兴号”设置的一等座有多少个座位？ 【练12】一个等腰三角形的周长是70厘米，一条腰与底的长度比是3∶1，这个三角形的一条腰和底的长分别是多少厘米？ 题型7：比例的意义 【例7】下面能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．15∶40 B．0.2∶0.5 C．8∶3 D．6∶11 【练13】下面各组中的两个比，可以组成比例的是（    ）。 A．7∶9和9∶7 B．6∶12和1∶6 C．9∶6和1.5∶1 D．8∶13和2∶3 【练14】从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是（ ）。 题型8：比的基本性质 【例8】一个比例里，两个内项的积是2，其中一个外项是0.4，另一个外项是（    ）。 A．0.5 B．5 C．8 D．10. 【练15】在一个比例中，两外项之积是最小的合数，且其中一个内项是8，则另一个内项是（ ）。 【练16】一个比例的两个内项分别是1.2和3.5，那么这个比例的两个外项的积是（ ）。 题型9：解比例 【例9】解方程。                          【练17】解方程或比例。                      【练18】解方程。                 题型10：比例的应用 【例10】一种饺子馅是由牛肉和葱花均匀混合后调制而成的。若按照牛肉和葱花的质量比调制饺子馅，奶奶用了2.4千克牛肉，用了多少千克葱花？（用比例解） 【练19】大雁塔是西安标志性建筑之一，不仅是一座宏伟的佛塔，更是承载着深厚历史文化的瑰宝，总高64米。某展馆设计制作了大雁塔的模型，模型高度与实际高度的比是1∶50。这个大雁塔模型的高度是多少？（用比例解） 【练20】笑笑和爸爸、妈妈去看兵马俑，买回一个仿制的小型版陶制将军俑，高是18.5cm。这个将军俑的正常身高是多少米？（用比例解答） 一、选择题 1．已知（、均不为0），则与化简后的最简比是（    ）。 A． B． C． D． 2．甲种纸2张3元，乙种纸3张2元，甲、乙两种纸的单价比是（    ）。 A． B． C． D． 3．不能与5、3.2和0.8这三个数组成比例的是（    ）。 A．6 B．1.25 C．0.512 D．20 4．如果给9∶5的前项加上18，要使比值不变，可以给后项（    ）。 A．加上18 B．加上5 C．乘2 D．乘3 5．一种混凝土由水泥、沙子和石子按2∶3∶5的比例混合而成，要配制1200千克这种混凝土，需要沙子（    ）。 A．240千克 B．360千克 C．600千克 D．480千克 6．等腰三角形周长56厘米，两条边长比2∶3，该三角形腰长是（    ）厘米。 A．16 B．21 C．16或21 D．14或24 二、填空题 7．从甲地到乙地，甲车要5小时，乙车要7小时，甲、乙两车的速度比是（ ）。 8．40∶（    ）＝＝0.625。 9．甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的，这批玩具共有120个，丙生产了（ ）个。 10．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，已知一个外项是，另一个外项是（ ）。 11．9的所有因数有（ ），其中（ ）既不是质数也不是合数，请你再配上一个数，把它们组成一个比例是（ ）。 12．“墨子号”开展量子通信实验，在太空中展开太阳能板后，长与宽的比是5∶2，已知长为15米，那么宽是（ ）米。 三、计算题 13．将下面各比化为最简整数比。 144∶72    0.65∶0.5        0.05km∶200m 14．解方程（比例）。              四、解答题 15．甲、乙两地相距378千米，一辆货车行完全程4.5小时，一辆小轿车与这辆货车的速度比是5∶4。这辆小轿车从甲地到乙地需要多少小时？ 16．2025年4月23日是第30个世界读书日，今年联合国教科文组织确定的主题为：“阅读，通往未来的桥梁”。读书日前夕，学校图书室补充科普类、文学类和艺术类三类读物共2500本，已知这三类读物本数的比是3∶5∶2，科普类、文学类和艺术类读物各补充了多少本？ 17．研究发现，小学生一天的活动与睡眠时间按照5∶3安排是比较合理的。根据这一比例，小学生一天的睡眠时间应达到几小时？ 18．为更好地体验“公园大渡口”的宜人环境，某小学六年级举行“citywalk”大滨路徒步活动。第一批到场的学生是全年级人数的，第二批到达了70人，此时已经到达和没到达的学生人数比为，这个小学六年级共多少人参加活动？ 19．当人工智能deepseep问世后，工程师每天整理文件的速度提高了不少，工程师小王以前每天能整理3.2G文件，现在每天能整理4G文件，现在12天整理的文件，以前要整理多少天？（用比例解答） 20．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 21．在社区废品回收活动中，8号楼和9号楼共回收饮料瓶560个，8号楼回收瓶数的与9号楼瓶数的正好相等。8，9号楼各回收饮料瓶多少个？ 22．一般认为，如果一个人肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比是0.618∶1（黄金分割比），那么这个人才协调好看。如图所示，小红准备参加空姐选拔活动，她肚脐以上的高度是65厘米，肚脐以下的高度是95厘米，那么她应该穿多少厘米高的鞋子才能符合黄金分割比？（为方便计算，黄金分割比按上身∶下身＝5∶8计算） 23．五一节期间，王老师一家出去旅游，他们上午8：00从东莞出发，以90千米/时的平均速度行驶了1小时40分钟到达惠州。在总面积3.2平方千米的惠州西湖风景名胜区游览了4小时，当晚入住惠州。第二天王老师一家继续出发，中午到达了梅州市。已知东莞到惠州与惠州到梅州的路程比是2∶3。当汽车到达惠州时，油箱里的油由原来的满箱到剩下箱。 （1）求东莞途经惠州市到梅州市的路程。 （2）王老师能否用剩下的油开到梅州市？请用你喜欢的方式说明。 2 / 2 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