2027届高考物理人教版一轮复习-重难突破3 曲线运动及抛体运动

该高中物理高考复习讲义围绕曲线运动与抛体运动专题，涵盖曲线运动条件与特征、运动合成与分解、小船渡河模型、平抛及斜抛运动规律等核心考点，按概念-方法-模型的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破运动分解、轨迹判断等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出科学思维与模型建构，如平抛运动中通过“速度反向延长线过水平位移中点”推论培养推理能力，设计曲线运动轨迹分析、关联速度分解等专项突破活动。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合考向真题演练，能在有限时间内强化学生解题技能，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难突破3 曲线运动和抛体运动 1. 学会辨析曲线运动的条件和特征 2. 会运用“运动的合成与分解”综合且独立的看到分运动与合运动的关系 3. 掌握平抛运动的规律与推论 【思维导图】 考点一　曲线运动 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 4．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 考点二　运动的合成与分解 1.合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 2.合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动同时开始，同时进行，同时结束 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 考点三 小船渡河模型 1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种相关速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3．两种渡河方式 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 考点四 平抛运动 1．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 2．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 3．重要推论 （1）做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 （2）做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 4. 常考模型 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 考点五 斜抛运动 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 考向1 曲线运动 1．（2026·合肥皖智高级中学·最后一卷）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·合肥六中·月考）电影《飞驰人生3》的票房一路领跑春节档。该系列的赛车题材速度与激情的氛围感拉满，为观众带来沉浸式视听震撼。若有一段赛道如图1所示，将赛车视为质点，依次经过赛道上的四个位置，如图2所示，其中D位置位于直道段，则图2中关于速度方向与加速度方向可能正确的是（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 3．（2026·辽宁辽南协作校·一模）2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 4．（2026·镇江中学&镇江一中·四校联考）如图所示，固定粗糙斜面上有一小滑块，初始时，小滑块具有一水平方向的初速度，小滑块在斜面上运动时留下的轨迹形状不可能是（　　） A． B． C． D． 考向2 关联速度 1．（2026·山海关一中·一模）如图所示，物体（和动滑轮）通过跨过位于固定平台上的两个定滑轮的轻绳与物体连接，物体与动滑轮连接，绳的水平部分平行于地面，当绳的倾斜部分与水平方向夹角为时，物体的速度大小为，此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·南乐一中·模拟）如图所示，物体、放在等高的水平桌面上，用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，重球用一小段轻绳拴接后系于水平绳的点，将重球由静止释放，发现重球竖直向下加速运动，某一时刻左侧轻绳与水平方向的夹角为，右侧轻绳与水平方向的夹角为。此时物体A、B的速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西靖边中学·模拟）如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．某自动化生产线的物料托盘升降机构可简化为如图所示的联动装置，连杆OB、BC通过铰链（视为质点）连接于B点，连杆BC、滑块A（物料承载托盘）通过铰链（视为质点）连接于C点，连杆OB在竖直面内绕O点做圆周运动，可以使滑块A沿固定的竖直杆上下运动。已知连杆OB长为R，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，设连杆BC与竖直方向的夹角为α时，BC杆与OB杆的夹角为β，则（　　） A．若连杆OB的长度不变，BC杆越长，滑块A上下运动的范围越大 B．当B点转到最低点时，滑块A的速度取最大值 C．当时，则滑块A的速度大小为ωR D．当时，则滑块A速度大小为ωR 5．（25-26高三下·楚雄东兴中学·333考试）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，质量的物块（可视为质点）用轻质细绳跨过光滑的定滑轮和水平地面上质量的小车相连。初始时小车尾端在滑轮正下方距滑轮处，时刻小车开始以恒定的功率启动，并带动物块沿斜面向上运动，时小车运动到位置，此时细绳与水平方向的夹角，已知整个过程中小车克服地面阻力做功为，忽略空气阻力，重力加速度取，求： (1)在位置时，物块的速度大小； (2)内细绳对物块做的功。 考向3 小船渡河模型 1．（2026·湘潭凤凰中学·二模）如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 2．（2026·北京东城区·一模）某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 3．（2026·九师联盟·模拟）如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 4．（2026·辽宁抚顺·模拟）某人在河边发现一名落水者。他奋不顾身地快速游到落水者身边，并拖动落水者以的恒定速率游向岸边，若当时河水流速恒为，落水点距河岸的垂直距离为60m，则某人和落水者最快到达岸边所需要的时间约为（　　） A．75s B．120s C．100s D．200s 考向4 抛体运动 1．（2026·河北·适应性考试）某同学发现水从水平放置的水管竖直向下稳定流出后，空中的水柱从上往下越来越细。忽略空气阻力，在空中水柱稳定后，离管口高度为处和处的水柱的横截面面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·南宁三中·收网题）如图所示为运动员投篮训练时的场景及篮球轨迹的示意图。完全相同的篮球甲、乙的运动轨迹分别对应图中虚线1、2，运动员两次跳起投篮时投球点和篮筐正好在同一水平直线上。不计空气阻力和篮球自转，篮球从投出到进筐的过程中，下列说法正确的是（     ） A．甲球在空中运动的时间小于乙球在空中运动的时间 B．甲球在空中运动的时间等于乙球在空中运动的时间 C．甲球在空中运动的时间大于乙球在空中运动的时间 D．不能确定甲、乙两球在空中运动时间的大小关系 3．（25-26高三上·陕西安康·二调）跑酷是一项时下风靡全球的时尚极限运动，图示为一跑酷爱好者从一平台上水平飞出，落到围墙外地面上的运动轨迹。已知平台高H=3.2m，围墙高h=1.95m。围墙到平台边沿的水平距离。重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，围墙是由泡沫材料制成的，水平地面由足够厚范围足够大的海绵制成，跑酷者在空中运动时可看作质点。 (1)若跑酷者能落到围墙外水平地面上，求其从平台上水平飞出的最小速度； (2)若跑酷者在围墙外的落点到围墙边沿的距离x=2.8m。求其落地时的速度大小。 4．（25-26高三上·句容高级中学·学情调研）如图所示，一倾角为足够长的固定斜面OC，斜面上一点B，B点正上方处有一点A，在A点以的速率抛出一小球，抛出的方向不定。运动轨迹在OAB所在的平面内。（不计空气阻力，g取，） (1)求小球落回斜面的最长时间； (2)若从A点竖直上抛，同时受到水平方向的恒定风力作用，风力大小是重力的倍。经过一段时间，小球到达与抛出点A等高的C点，求从A点到C点过程中最小速度v的大小。 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·一模）打铁花是一种流传于我国豫晋地区的民间传统焰火表演艺术，也是国家级非物质文化遗产。图（a）为打铁花的一种表现形式：将熔化的铁水用柳木勺或其他工具舀起后，向空中抛去，从而产生大量火星，形成极为壮观的场景。若某次抛出铁水简化为图（b）所示，产生的火星以相同的速率v0=从与水平方向成30°~60°夹角范围同时斜向上抛出，可视为从同一点抛出，抛出点离地面的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．所有火星落地时速度相同 B．所有火星从抛出到落地过程中，速度的变化量相同 C．所有火星落地之前任意时刻在空中形成一条美丽的圆弧曲线 D．经过时间，所有火星刚好全部落到地面 2．如图所示，某工厂两根相同的排污管甲和乙水平放置，正持续向外排出大量污水。甲、乙两管离水面高度之比为，落点和离排污口的水平距离之比为，忽略空气阻力，则甲、乙两管排出的污水（　　） A．在空中的运动时间之比为 B．水平速度之比为 C．流量（单位时间排出的污水体积）之比为 D．在空中的体积之比为 3．（2026·荆州中学·四模）如图所示，甲、乙两小球在距离地面足够高的某位置同时以相同大小的速度斜向上和斜向下抛出，速度与水平方向的夹角均为。已知，不计空气阻力。当两球距离为时，两球的水平位移为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·靖远一中·考前学情自测）扔沙包是小朋友分组进行投掷、躲避或接沙包的传统集体游戏，能锻炼敏捷性与协调性，还能培养团队合作意识。如图所示，一个小朋友抬手将沙包以的速度抛出后落到水平地面上，抛出时的速度与水平方向的夹角为37°，抛出点距地面的高度为1.5m。忽略空气阻力，重力加速度g取，，。关于沙包从抛出到落地的过程，下列说法正确的是（　　） A．运动的时间为0.6s B．速度变化量的大小约为9.24m/s C．单位时间内的速度变化量先减小后增大 D．速度变化量的方向与竖直方向的夹角的正切值为 5．（2026·大连育明高级中学·学情自测）某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为倾角为的着陆坡，运动员到达起跳点时，以的速度起跳，方向与水平成，落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．运动员由到过程的最小速度为 B．运动员离坡面的最大距离为 C．运动员由到的运动时间为 D．运动员落在点前瞬间重力的功率为 6．（2026·河北衡水武邑中学·预测三）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，则点到点的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东德州·学情自测）2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·浙江绍兴·二模）在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·重庆八中·一模）甲为一种称为“魔盘”的娱乐设施，小孩随着“魔盘”绕竖直中心轴沿逆时针方向匀速转动，其运动轨迹的俯视图可简化为如图乙， 点为转盘圆心。突然“魔盘” 停止转动， 此时小孩简化为图乙中的黑点， 则小孩的速度及所受摩擦力的方向为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·包头三十三中·考前适应卷）“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声”是杜甫《春夜喜雨》中描绘春雨的诗句。假设一雨滴从静止开始自由下落一段时间后进入风力稳定的斜风区，继续下落一段时间，随后进入无风区直至落地。若雨滴运动过程中空气阻力可忽略不计，则下列四幅图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）苏-57战机在2024年11月12日珠海航展中表演了“落叶飘”动作，其运动轨迹如图所示。在轨迹上、、和点的速度方向标注正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江&吉林·高考）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 二、多选题 13．（2026·凤台一中·最后一卷）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 14．（2026·广东广州·适应性训练二）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 15．（2026·荆州中学·模拟）速端曲线是英国数学家哈密顿于1835年提出的，从同一个原点画出质点在各个时刻的速度矢量，速度矢量的端点连成的曲线，叫作质点运动的速端曲线。它能直观地反映出质点速度大小和方向的变化情况，其本质是对速度矢量的几何抽象，在空气动力学、流体力学及天体物理学中有着广泛的应用。下列对速端曲线的描述可能正确的是（　　） A．图1中质点静止 B．图2中质点做匀变速直线运动 C．图3中质点做匀速直线运动 D．图4中质点做匀速圆周运动 三、解答题 16．（2026·厦门第一中学·适应性练习）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图，在一个直径的圆柱形竖直方向固定的风洞中，有一质量为的小球从风洞左侧壁上的点以的速度沿其直径方向水平进入风洞。小球在风洞中运动过程中，风对小球的作用力竖直向上，其大小可在间调节，不计水平方向的空气作用力。小球可视作质点，与侧壁碰壁后不反弹，取重力加速度，风洞在竖直方向上长度足够。 (1)当时，求小球即将撞击右侧壁时的速度大小； (2)仅调节的大小，求小球撞击右侧壁区域在竖直方向的最大长度。 17．（2026·山东多校·命题趋势预测（三））如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点，斜坡上点为点在竖直方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，求： (1)运动员从点运动到点的时间； (2)点到点的距离和点到点的距离。 18．（2026·海南·模拟）一“抛石子”游戏装置由倾角为θ=37°的固定倾斜直轨道MN和水平地面上的圆孔C组成，其竖直截面如图所示。N端离地面高为h=2.75m，圆孔C离N的水平距离为x=2m。游戏时，让小石子从轨道MN上的某处由静止滑下，从N抛出刚好落入圆孔C中，游戏成功。已知小石子与MN间的动摩擦因数为，不计空气阻力，圆孔C的深度和半径均可忽略，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。游戏成功时，求： (1)小石子落入圆孔C时的速度大小v； (2)小石子释放点离水平地面的高度H。 19．（25-26高三下·山西·学情检测）2026年2月8日，在米兰冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，我国参赛的选手苏翊鸣获得铜牌，这是我国体育代表团在本届冬奥会获得的首枚奖牌。雪上跳台项目可以看成在斜面上的抛体运动，如图所示，假设斜面倾角为，苏翊鸣从点以初速度沿与斜面夹角起跳，落在斜面上的点，忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)苏翊鸣离斜面的最大距离； (2)苏翊鸣从点运动到点的时间。 20．（2026·内蒙古包头·二模）如图，2026年春节联欢晚会上机器人的跑跳翻越动作引爆全场，某同学观看后，对机器人的“弹射”运动产生了浓厚的兴趣。他设计了一个弹射装置，并用小球代替机器人进行测试试验。弹射装置上表面为距离地面的平台，小球以水平初速度运动到平台上时，弹射装置立即启动。小球向上弹起时，从平台上的P点斜向上抛出，小球在空中上升的最大高度距离地面0.8m，落地点与P点的水平距离。小球可视为质点，空气阻力不计，重力加速度g取。求： (1)小球从离开弹射装置到达最高点经历的时间； (2)小球位于最高点时速度的大小； (3)小球从P点离开到落地点速度变化量的大小和方向。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破3 曲线运动和抛体运动 1. 学会辨析曲线运动的条件和特征 2. 会运用“运动的合成与分解”综合且独立的看到分运动与合运动的关系 3. 掌握平抛运动的规律与推论 【思维导图】 考点一　曲线运动 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 4．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 考点二　运动的合成与分解 1.合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 2.合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动同时开始，同时进行，同时结束 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 考点三 小船渡河模型 1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种相关速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3．两种渡河方式 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 考点四 平抛运动 1．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 2．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 3．重要推论 （1）做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 （2）做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 4. 常考模型 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 考点五 斜抛运动 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 考向1 曲线运动 1．（2026·合肥皖智高级中学·最后一卷）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线运动的合力方向一定指向轨迹的凹侧，汽车沿圆弧从M向N行驶，轨迹凹侧在左侧，汽车减速行驶，说明合外力对汽车做负功，合外力与速度方向的夹角为钝角。 故选B 。 2．（25-26高一下·合肥六中·月考）电影《飞驰人生3》的票房一路领跑春节档。该系列的赛车题材速度与激情的氛围感拉满，为观众带来沉浸式视听震撼。若有一段赛道如图1所示，将赛车视为质点，依次经过赛道上的四个位置，如图2所示，其中D位置位于直道段，则图2中关于速度方向与加速度方向可能正确的是（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 【答案】B 【详解】曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向；曲线运动的加速度（合外力）一定指向轨迹的凹侧；直线（直道）运动中，加速度与速度一定共线。 故选B。 3．（2026·辽宁辽南协作校·一模）2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 【答案】D 【详解】A．两架飞机在飞行过程中做曲线运动，速度方向时刻发生变化，所以速度一定发生变化，故A错误； B．根据曲线运动加速度方向位于轨迹的凹侧，由图中轨迹可知，加速度方向不可能不变，则加速度一定发生变化，故B错误； C．两架飞机沿不同轨迹到达b点，在b点的速度沿各自轨迹的切线方向，方向一定不同，因此速度不可能相同，故C错误； D．路程是运动轨迹的长度，两架飞机飞行的路程可能相同，故D正确。 故选D。 4．（2026·镇江中学&镇江一中·四校联考）如图所示，固定粗糙斜面上有一小滑块，初始时，小滑块具有一水平方向的初速度，小滑块在斜面上运动时留下的轨迹形状不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．若小滑块在斜面上运动时最终以直线沿斜面斜向下运行，滑块受到的摩擦力及重力下滑分量不在一条直线上，故小滑块最终不可能以直线沿斜面斜向下运行，故A错误，符合题意； BD．小滑块在斜面上做曲线运动，若摩擦力较大，则可能停于斜面上；若摩擦力较小，则小滑块可以滑离斜面，故BD正确，不符合题意； C．若小滑块在斜面上运动时最终以直线平行于斜面侧边向下运行，滑块受到的摩擦力及重力下滑分量共线，故小滑块可能沿直线向下运行，故C正确，不符合题意。 故选A。 考向2 关联速度 1．（2026·山海关一中·一模）如图所示，物体（和动滑轮）通过跨过位于固定平台上的两个定滑轮的轻绳与物体连接，物体与动滑轮连接，绳的水平部分平行于地面，当绳的倾斜部分与水平方向夹角为时，物体的速度大小为，此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】物体B向下移动的位移由两部分引起：一是细绳水平部分的缩短；二是细绳倾斜部分长度的缩短，根据总绳长不变，可得物体B下降位移满足，解得 故选C。 2．（2026·南乐一中·模拟）如图所示，物体、放在等高的水平桌面上，用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，重球用一小段轻绳拴接后系于水平绳的点，将重球由静止释放，发现重球竖直向下加速运动，某一时刻左侧轻绳与水平方向的夹角为，右侧轻绳与水平方向的夹角为。此时物体A、B的速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】绳与水平方向夹角为，O点竖直向下的速度沿左绳方向的分速度满足 同理，右绳与水平方向夹角为，得 计算比值 因此A、B速度大小之比为，故C正确。 故选C。 3．（2026·陕西靖边中学·模拟）如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 设斜面体的速度为v，将斜面体的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 由于小球和斜面体没有分离，所以垂直斜面方向的速度大小相等，也就是 整理有 解得 故选A。 4．某自动化生产线的物料托盘升降机构可简化为如图所示的联动装置，连杆OB、BC通过铰链（视为质点）连接于B点，连杆BC、滑块A（物料承载托盘）通过铰链（视为质点）连接于C点，连杆OB在竖直面内绕O点做圆周运动，可以使滑块A沿固定的竖直杆上下运动。已知连杆OB长为R，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，设连杆BC与竖直方向的夹角为α时，BC杆与OB杆的夹角为β，则（　　） A．若连杆OB的长度不变，BC杆越长，滑块A上下运动的范围越大 B．当B点转到最低点时，滑块A的速度取最大值 C．当时，则滑块A的速度大小为ωR D．当时，则滑块A速度大小为ωR 【答案】C 【详解】A．杆OB转到最低点时，滑块A到O点的距离为；杆OB转到最高点时，滑块A到O点的距离为，故滑块A上下移动的范围为，与BC杆长无关，故A错误； B．当B点转到最低点时，速度水平向右，与杆夹角为， 有，则滑块A的速度，故B错误； C．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故C正确； D．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故D错误。 故选C。 5．（25-26高三下·楚雄东兴中学·333考试）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，质量的物块（可视为质点）用轻质细绳跨过光滑的定滑轮和水平地面上质量的小车相连。初始时小车尾端在滑轮正下方距滑轮处，时刻小车开始以恒定的功率启动，并带动物块沿斜面向上运动，时小车运动到位置，此时细绳与水平方向的夹角，已知整个过程中小车克服地面阻力做功为，忽略空气阻力，重力加速度取，求： (1)在位置时，物块的速度大小； (2)内细绳对物块做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在A位置时，根据关联速度规律有 解得 小车运动到A 位置时，物块上升位移 根据能量守恒定律有 结合上述解得小车运动到A位置时的速度大小为， （2）0~10s内，对物块进行分析，根据动能定理有      结合上述解得 考向3 小船渡河模型 1．（2026·湘潭凤凰中学·二模）如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小船渡河时间为，故A错误； BC．经过一段时间正好到达正对岸的B处，则河中水流速度大小为，故B错误，C正确； D．以河岸为参考系，小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 2．（2026·北京东城区·一模）某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 【答案】B 【详解】A．最短渡河时间 ，故A错误； B．垂直河岸方向满足，因此离河岸距离与时间成正比，水流速度随的变化等价于随的变化； 沿河岸位移等于图像的面积，为三角形，面积，故B正确； C．前50s随线性增大，后50s随线性减小，加速度，大小始终恒定，故C错误； D．船速是水流速度和船静水速度的合速度，两个方向垂直，最大合速度出现在最大时：，故D错误。 故选B。 3．（2026·九师联盟·模拟）如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 【答案】D 【详解】AB．把、分别沿着河岸和垂直河岸分解，则在垂直河岸方向有 沿着河岸方向有 联立解得，，故AB错误； CD．小船渡河位移大小为 渡河时间为，故C错误，D正确。 故选D。 4．（2026·辽宁抚顺·模拟）某人在河边发现一名落水者。他奋不顾身地快速游到落水者身边，并拖动落水者以的恒定速率游向岸边，若当时河水流速恒为，落水点距河岸的垂直距离为60m，则某人和落水者最快到达岸边所需要的时间约为（　　） A．75s B．120s C．100s D．200s 【答案】D 【详解】根据运动的独立性原理，要最短时间到达岸边，需使人游动的速率垂直河岸方向，得最短时间 故选D。 考向4 抛体运动 1．（2026·河北·适应性考试）某同学发现水从水平放置的水管竖直向下稳定流出后，空中的水柱从上往下越来越细。忽略空气阻力，在空中水柱稳定后，离管口高度为处和处的水柱的横截面面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水柱稳定时，单位时间内流过任意横截面的水的体积（流量）相等，满足流量公式（为横截面积，为水流速度） 因此与成反比，即 水流运动过程中仅受重力，做自由落体运动，得（为水柱下落的高度） 即 离管口高度为处的水柱的速度 离管口高度为处的水柱的速度 因此 则 故选A。 2．（2026·南宁三中·收网题）如图所示为运动员投篮训练时的场景及篮球轨迹的示意图。完全相同的篮球甲、乙的运动轨迹分别对应图中虚线1、2，运动员两次跳起投篮时投球点和篮筐正好在同一水平直线上。不计空气阻力和篮球自转，篮球从投出到进筐的过程中，下列说法正确的是（     ） A．甲球在空中运动的时间小于乙球在空中运动的时间 B．甲球在空中运动的时间等于乙球在空中运动的时间 C．甲球在空中运动的时间大于乙球在空中运动的时间 D．不能确定甲、乙两球在空中运动时间的大小关系 【答案】A 【详解】将斜抛运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向竖直上抛运动，由，得竖直初速度 总运动时间 故 故选A。 3．（25-26高三上·陕西安康·二调）跑酷是一项时下风靡全球的时尚极限运动，图示为一跑酷爱好者从一平台上水平飞出，落到围墙外地面上的运动轨迹。已知平台高H=3.2m，围墙高h=1.95m。围墙到平台边沿的水平距离。重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，围墙是由泡沫材料制成的，水平地面由足够厚范围足够大的海绵制成，跑酷者在空中运动时可看作质点。 (1)若跑酷者能落到围墙外水平地面上，求其从平台上水平飞出的最小速度； (2)若跑酷者在围墙外的落点到围墙边沿的距离x=2.8m。求其落地时的速度大小。 【答案】(1)4 m/s (2)10m/s 【详解】（1）设跑酷者恰好能越过围墙，跑酷者做平抛运动，则有，，解得跑酷者从平台边沿飞出时的最小速度。 （2）若跑酷者落点到围墙边沿的距离，则其在空中运动的水平距离。 跑酷者做平抛运动，水平方向上有，竖直方向上有，， 其落地时的速度 ，解得。 4．（25-26高三上·句容高级中学·学情调研）如图所示，一倾角为足够长的固定斜面OC，斜面上一点B，B点正上方处有一点A，在A点以的速率抛出一小球，抛出的方向不定。运动轨迹在OAB所在的平面内。（不计空气阻力，g取，） (1)求小球落回斜面的最长时间； (2)若从A点竖直上抛，同时受到水平方向的恒定风力作用，风力大小是重力的倍。经过一段时间，小球到达与抛出点A等高的C点，求从A点到C点过程中最小速度v的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A点到斜面的垂直距离为 垂直斜面的加速度 方向垂直于斜面向下；取垂直斜面向上为正方向，当小球垂直斜面向上抛出时时间最长为，有 整理得 解得 （2）对小球受力分析，F为合力，则 方向与竖直方向成角，有 将初速度沿F所在直线方向和垂直F方向分解，可知在沿F所在直线方向上先做匀减速运动后做匀加速运动，在垂直F方向上做匀速运动，故沿F所在直线方向上速度为0时速度最小，计算得 【点睛】 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·一模）打铁花是一种流传于我国豫晋地区的民间传统焰火表演艺术，也是国家级非物质文化遗产。图（a）为打铁花的一种表现形式：将熔化的铁水用柳木勺或其他工具舀起后，向空中抛去，从而产生大量火星，形成极为壮观的场景。若某次抛出铁水简化为图（b）所示，产生的火星以相同的速率v0=从与水平方向成30°~60°夹角范围同时斜向上抛出，可视为从同一点抛出，抛出点离地面的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．所有火星落地时速度相同 B．所有火星从抛出到落地过程中，速度的变化量相同 C．所有火星落地之前任意时刻在空中形成一条美丽的圆弧曲线 D．经过时间，所有火星刚好全部落到地面 【答案】C 【详解】A．速度是矢量，不仅有大小还有方向。不同抛射角抛出的火星，落地时速度方向不同，因此速度不同，A错误； B．斜抛运动加速度恒为重力加速度，速度变化量。不同抛射角的火星运动时间不同，因此速度变化量不同，B错误； C．我们选取以抛出点为初始位置，做自由落体运动的参考系来分析： 所有火星相对这个自由落体参考系的加速度为0，即所有火星在该参考系中都做匀速直线运动 所有火星到该参考系原点（自由落体的那个点）的距离都是，因此所有火星在该参考系中都分布在半径为的圆上，C正确； D．火星落地时竖直方向满足 代入，计算抛射角最小 可得落地时间 ，说明时，仍有火星未落地，D错误。 故选 C。 2．如图所示，某工厂两根相同的排污管甲和乙水平放置，正持续向外排出大量污水。甲、乙两管离水面高度之比为，落点和离排污口的水平距离之比为，忽略空气阻力，则甲、乙两管排出的污水（　　） A．在空中的运动时间之比为 B．水平速度之比为 C．流量（单位时间排出的污水体积）之比为 D．在空中的体积之比为 【答案】C 【详解】A．由题为平抛运动，由竖直方向得 则，故A错误； B．由水平方向得 则，故B错误； C．管子相同，截面积相同，故流量 则，故C正确； D．污水连续稳定流动，空中水柱总体积等于流量乘以水在空中停留的时间，即 则，故D错误； 故选C。 3．（2026·荆州中学·四模）如图所示，甲、乙两小球在距离地面足够高的某位置同时以相同大小的速度斜向上和斜向下抛出，速度与水平方向的夹角均为。已知，不计空气阻力。当两球距离为时，两球的水平位移为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取抛出点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向。 水平速度 竖直速度，甲球，乙球 甲运动方程， 乙运动方程， 二者水平位移相等，它们之间的距离即为高度差，则 解得 水平位移 故选C。 4．（25-26高三下·靖远一中·考前学情自测）扔沙包是小朋友分组进行投掷、躲避或接沙包的传统集体游戏，能锻炼敏捷性与协调性，还能培养团队合作意识。如图所示，一个小朋友抬手将沙包以的速度抛出后落到水平地面上，抛出时的速度与水平方向的夹角为37°，抛出点距地面的高度为1.5m。忽略空气阻力，重力加速度g取，，。关于沙包从抛出到落地的过程，下列说法正确的是（　　） A．运动的时间为0.6s B．速度变化量的大小约为9.24m/s C．单位时间内的速度变化量先减小后增大 D．速度变化量的方向与竖直方向的夹角的正切值为 【答案】B 【详解】A．沙包拋出时竖直分速度 上升到最高点的时间 抛出点到最高点的高度 从最高点落到地面的过程有 解得 所以沙包从抛出到落地的过程运动的时间为，A项错误； BCD．抛出后的沙包只受到重力的作用，加速度为重力加速度，由可知，单位时间内的速度变化量为不变。沙包从抛出到落地的过程，速度变化量的大小 方向竖直向下，B项正确，CD项错误。 故选B。 5．（2026·大连育明高级中学·学情自测）某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为倾角为的着陆坡，运动员到达起跳点时，以的速度起跳，方向与水平成，落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．运动员由到过程的最小速度为 B．运动员离坡面的最大距离为 C．运动员由到的运动时间为 D．运动员落在点前瞬间重力的功率为 【答案】D 【详解】A．运动员在空中做斜抛运动，在最高点时的竖直分速度为0，此时速度最小，则运动员在空中运行的最小速度为，故A错误； B．将运动员在空中的运动分解为沿斜坡OB和垂直斜坡两个分运动，当垂直斜坡OB分速度减为0时，运动员离开着陆坡面的距离最大，则有，故B错误； C．运动员由到的运动时间为，故C错误； D．运动员落在点前瞬间竖直方向速度 则运动员落在点前瞬间重力的功率为，故D正确。 故选D。 6．（2026·河北衡水武邑中学·预测三）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，则点到点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】运动到点时离斜坡最远,故点的速度方向沿斜面向下，将初速度和重力加速度分别沿垂直于斜面和沿斜面向下分解，沿斜面向下做匀加速直线运动，垂直于斜面向上做类竖直上抛运动 沿斜面向下的分速度和分加速度分别为， 垂直斜面向上的分速度和垂直斜面向下分加速度分别为， 点到c点时间 沿斜面向下做匀加速直线运动，则点到点的距离为 故选B。 7．（2026·山东德州·学情自测）2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】模块做斜抛运动，要求恰好越过储存舱，即轨迹经过储存舱的左上角和右上角两个等高点（高度均为，水平间距为）。斜抛运动水平方向匀速，竖直方向加速度为月球重力加速度。 设水平分速度为，模块到达左上角时竖直分速度为。从左上角到右上角，竖直位移为，由运动学公式 得运动时间 这段时间水平位移为，因此 整理得： 对模块从出发点到左上角过程，由机械能守恒： 整理得 由基本不等式 （等号成立条件） 代入得： 因此初速度最小值，故D正确。 故选D 。 8．（2026·浙江绍兴·二模）在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设炸弹的初速度为，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，则有 可得 设炸弹在空中运动时间为，则有， 可得炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为 故选A。 9．（2026·重庆八中·一模）甲为一种称为“魔盘”的娱乐设施，小孩随着“魔盘”绕竖直中心轴沿逆时针方向匀速转动，其运动轨迹的俯视图可简化为如图乙， 点为转盘圆心。突然“魔盘” 停止转动， 此时小孩简化为图乙中的黑点， 则小孩的速度及所受摩擦力的方向为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】速度方向沿圆周的切线方向，若突然“魔盘” 停止转动，则由于惯性，小孩有沿切线方向向前运动的趋势，可知此时受摩擦力方向向后，与速度方向相反。 故选Ａ。 10．（2026·包头三十三中·考前适应卷）“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声”是杜甫《春夜喜雨》中描绘春雨的诗句。假设一雨滴从静止开始自由下落一段时间后进入风力稳定的斜风区，继续下落一段时间，随后进入无风区直至落地。若雨滴运动过程中空气阻力可忽略不计，则下列四幅图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】雨滴在斜风区受风力与重力，两个力的合力与速度方向不共线，根据曲线运动条件，雨滴在此区域内做曲线运动，且风力与重力合力的方向应该指向运动轨迹曲线内侧，即轨迹向左弯曲；在无风区重力方向与速度方向也不共线，此时雨滴运动轨迹是向下弯曲的曲线。 故选A。 11．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）苏-57战机在2024年11月12日珠海航展中表演了“落叶飘”动作，其运动轨迹如图所示。在轨迹上、、和点的速度方向标注正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线运动的瞬时速度方向沿轨迹的切线方向，图中只有点的方向正确。 故选C。 12．（2025·黑龙江&吉林·高考）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。 故选A 。 二、多选题 13．（2026·凤台一中·最后一卷）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 【答案】AC 【详解】A．前后两次小球下落的高度相同，则时间相同，根据，可知下落过程中小球的速度变化量相等，A正确； BC．根据平抛运动的规律，末速度的反向延长线经过水平位移的中点，可知从C点弹出的小球在点的速度沿方向，若设D点在OB上的投影点为E点，则由几何关系可知CO=OE=0.5R，则AC=0.5R，B错误，C正确； D．水平方向根据可知小球两次落在点的水平位移之比为3:2，则水平速度大小之比为，竖直速度相等，根据可知小球两次落在点的速度大小之比不等于，D错误。 故选AC。 14．（2026·广东广州·适应性训练二）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．由题意可知网球与墙壁碰撞前瞬间竖直分速度为0，根据逆向思维，竖直方向有 可得网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为，故A正确； B．根据题意可知，网球斜向上飞出，设竖直方向上分速度为，水平分速度为，如图所示 竖直分速度大小为 则有 可知网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为，故B错误； CD．设网球水平分速度垂直墙面速度分量大小为，平行墙面的速度分量为，如图所示 则有 其中垂直墙面速度分量大小为 可得 网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为 由于网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，则碰后垂直墙面速度分量大小为 网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为，故CD正确。 故选ACD。 15．（2026·荆州中学·模拟）速端曲线是英国数学家哈密顿于1835年提出的，从同一个原点画出质点在各个时刻的速度矢量，速度矢量的端点连成的曲线，叫作质点运动的速端曲线。它能直观地反映出质点速度大小和方向的变化情况，其本质是对速度矢量的几何抽象，在空气动力学、流体力学及天体物理学中有着广泛的应用。下列对速端曲线的描述可能正确的是（　　） A．图1中质点静止 B．图2中质点做匀变速直线运动 C．图3中质点做匀速直线运动 D．图4中质点做匀速圆周运动 【答案】BD 【详解】A．由图1可知，和保持不变，物体做匀速直线运动，故A错误； B．由图2可知，初速度为零，和保持均匀增大，速度方向不变，则加速度不变，则物体做匀变速直线运动，故B正确； C．由图3可知，保持不变且不为零，增大，则加速度与速度不在一条直线上，物体做曲线运动，故C错误； D．由图4可知，为一定值，即合速度大小不变，但方向均匀变化，即物体做匀速圆周运动，故D正确。 故选BD。 三、解答题 16．（2026·厦门第一中学·适应性练习）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图，在一个直径的圆柱形竖直方向固定的风洞中，有一质量为的小球从风洞左侧壁上的点以的速度沿其直径方向水平进入风洞。小球在风洞中运动过程中，风对小球的作用力竖直向上，其大小可在间调节，不计水平方向的空气作用力。小球可视作质点，与侧壁碰壁后不反弹，取重力加速度，风洞在竖直方向上长度足够。 (1)当时，求小球即将撞击右侧壁时的速度大小； (2)仅调节的大小，求小球撞击右侧壁区域在竖直方向的最大长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，小球做平抛运动 水平方向 竖直方向 合速度 解得 （2）当时，小球做平抛运动，向下位移最大 当时，小球向上做类平抛运动，向上位移最大 满足牛顿第二定律 小球撞击右侧壁的区域长度 解得 17．（2026·山东多校·命题趋势预测（三））如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点，斜坡上点为点在竖直方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，求： (1)运动员从点运动到点的时间； (2)点到点的距离和点到点的距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）运动员运动到c点时离斜坡最远，此时运动员的速度方向与斜坡平行，运动员做平抛运动，有 且竖直方向上有 所以 （2）沿着斜面与垂直斜面建立直角坐标系，如图所示 将运动分解，运动员沿两坐标轴的初速度大小分别为， 沿两坐标轴的加速度大小分别为， 所以运动到c点时沿y轴方向的速度刚好减为0，根据运动学公式有 沿x轴方向上， 18．（2026·海南·模拟）一“抛石子”游戏装置由倾角为θ=37°的固定倾斜直轨道MN和水平地面上的圆孔C组成，其竖直截面如图所示。N端离地面高为h=2.75m，圆孔C离N的水平距离为x=2m。游戏时，让小石子从轨道MN上的某处由静止滑下，从N抛出刚好落入圆孔C中，游戏成功。已知小石子与MN间的动摩擦因数为，不计空气阻力，圆孔C的深度和半径均可忽略，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。游戏成功时，求： (1)小石子落入圆孔C时的速度大小v； (2)小石子释放点离水平地面的高度H。 【答案】(1) (2)4.25m 【详解】（1）设小石子在N点时速度大小为v0，从N到C，水平方向，有 竖直方向，有 联立解得， 小石子落入圆孔C时的水平速度大小为 竖直速度大小为 所以小石子落入圆孔C时的速度大小 （2）小石子沿直轨道下滑过程，根据牛顿第二定律可得 根据速度位移关系可得 联立解得 19．（25-26高三下·山西·学情检测）2026年2月8日，在米兰冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，我国参赛的选手苏翊鸣获得铜牌，这是我国体育代表团在本届冬奥会获得的首枚奖牌。雪上跳台项目可以看成在斜面上的抛体运动，如图所示，假设斜面倾角为，苏翊鸣从点以初速度沿与斜面夹角起跳，落在斜面上的点，忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)苏翊鸣离斜面的最大距离； (2)苏翊鸣从点运动到点的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在垂直于斜面方向，离斜面距离最大时，垂直于斜面方向的末速度为0。在垂直于斜面方向的初速度为     垂直于斜面方向的加速度为     离斜面的最大距离为     解得 （2）当苏翊鸣再次回到斜面共用时间     解得 20．（2026·内蒙古包头·二模）如图，2026年春节联欢晚会上机器人的跑跳翻越动作引爆全场，某同学观看后，对机器人的“弹射”运动产生了浓厚的兴趣。他设计了一个弹射装置，并用小球代替机器人进行测试试验。弹射装置上表面为距离地面的平台，小球以水平初速度运动到平台上时，弹射装置立即启动。小球向上弹起时，从平台上的P点斜向上抛出，小球在空中上升的最大高度距离地面0.8m，落地点与P点的水平距离。小球可视为质点，空气阻力不计，重力加速度g取。求： (1)小球从离开弹射装置到达最高点经历的时间； (2)小球位于最高点时速度的大小； (3)小球从P点离开到落地点速度变化量的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，竖直向下 【详解】（1）小球从离开弹射装置到上升到最高点，在竖直方向上运动的距离为 根据公式 可解得 （2）小球运动到最高点后继续做平抛运动，从最高点到落至地面所用的时间为，则有 解得 小球在水平方向上做匀速运动，有 小球位于最高点时的速度即为小球的水平方向分速度，可解得 （3）小球从P点离开时的竖直方向分速度的方向是竖直向上的，大小为 小球落至地面时的竖直方向分速度方向竖直向下，大小为 所以竖直方向上速度变化量的方向竖直向下，大小为 2 学科网（北京）股份有限公司 $