4.3 直线与圆的位置关系（第4课时切线长及切线长定理）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长及切线长定理”，先回顾切线判定与性质定理，通过过圆外一点作切线的尺规作图引入切线长概念，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生理解切线与切线长的区别。 其亮点在于通过动手作图、折叠猜想、推理证明的探究过程，发展学生几何直观与推理能力，结合典例分离基本模型，渗透数形结合思想。采用“观察-发现-概括-应用”教学方法，帮助学生提升综合解题能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.3直线与圆的位置关系 第4课时 切线长及切线长定理 学 习 目 标 1 2 3  理解切线长的概念，区分切线与切线长的不同。 掌握切线长定理。过动手画图、折叠、猜想、证明，经历切线长定理的探索过程，提升观察、推理与归纳能力。 能够运用切线长定理进行简单的计算与证明。  学会从复杂图形中分离出切线长定理的基本模型。学会结合圆的切线性质、直角三角形、勾股定理解决综合问题，体会数形结合思想。 你能说出直线与圆相切判定定理及性质定理吗？ 思考 切线的判定定理： 经过圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. ∵OA为⊙O的半径，l⊥OA于点A, ∴l为⊙O的切线。 知识回顾 过圆上一点,能作且只能作一条圆的切线。 怎么过圆上一点P画出已知⊙O的切线？过点P有几条切线？ P O 过圆外一点作圆的切线,怎样作？能作几条呢? 导入新课 已知点P为☉O外一点,如何过点P作☉O的切线呢? P 作法: ① 连接PO; ② 作线段OP的中点A; ③以点A为圆心,以PA为半径作☉A, 与☉O交于Q,R两点; ④ 连接PQ,PR。 则直线PQ,PR就是☉O的切线。 O R Q A ∵PO是☉A的直径 ， P O R Q A 连接OQ,OR。 ∴∠OQP=∠ORP=90°。 ∴OQ⊥PQ , OR⊥PR. ∵OQ与OR都是☉O的半径 ， ∴直线PQ,PR就是☉O的切线。 你能说出上面作图的道理吗?即为什么直线PQ,PR就是☉O的切线？ 由作图可知，过圆外一点可以作圆的两条切线。 P O R Q 切线长的定义： 过圆外一点可以作圆的两条切线,这一点与其中一个切点之间的线段的长, 叫作这一点到圆的切线长． 如图PQ, PR 是☉O 的两条切线, Q,R 是切点，则PQ与PR都是的切线长。 P O R Q 切线长与切线的有什么区别？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． (1)在图中,PQ,PR 是☉O 的两条切线,Q,R 是切点。 点Q,R 关于直线PO对称吗? 由此能得出哪些结论? P O R Q 连接OQ,OR。 点Q与R关于直线PO对称, PQ=PR, OQ=OR, PQ=PR, OQ=OR, ( ( ( ( (2)如何证明切线长PQ=PR? P R Q O 已知:如图PQ,PR 是☉O 的两条切线,Q,R 是切点。 求证:PQ=PR。 解析：本题已知条件是圆的切线，所以可以应用切线的性质定理。因为PQ,PR分别与☉O相切于Q,R两点，“有切线，连半径,得垂直”，可证两直角三角形全等得结论。 P O R Q 连接OQ,OR。 证明: ∵PQ,PR 分别与☉O 相切于点Q,R, ∴∠PQO=∠PRO=90°。 在Rt△PQO 和Rt△PRO 中, OP=OP,QO=RO, ∴Rt△PQO≌Rt△PRO。 ∴PQ=PR。 由此还能得出哪些结论? 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等（并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）． ∵ PA、PB是☉O的切线, ∴PA=PB ，∠APO=∠BPO . 切线长定理为证明线段相等， 角相等提供了新的依据。 B P O A 切线长定理： 切线长定理拓展归纳 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D （1）图中有3个垂直： OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC 切线长定理背后还是圆的对称性在支撑，所以可以发现本章许多结论都可以从圆的对称性的角度去理解；同时本页的许多结论对于后续的综合题目都是常用的，需要深刻理解和熟练掌握 B P O A C E D （3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB. （4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （5）图中所有的等腰三角形: △ABP ，△AOB。 切线长定理背后还是圆的对称性在支撑，所以可以发现本章许多结论都可以从圆的对称性的角度去理解；同时本页的许多结论对于后续的综合题目都是常用的，需要深刻理解和熟练掌握 例1、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD与⊙O的相切与E点，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是 ． O P A B C D E 解析：本题主要考查切线长定理。 因为PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，根据切线长定理，得PA=PB=10。因为CD是⊙O的切线，切点为E，且CA、CE都是从点C引⊙O的切线，所以CA=CE。同理得DB=DE。△PCD的周长为PC+CD+PD= PC+(CE+DE)+PD=2PA=20。 20 典例讲解 1.如图PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则BP= ,OP= . （2）若∠BPA=60 °,则OP= ,PA=PB= . B P O A 4 5 6 3 跟踪练习 例2、如图,P 为☉O 外一点,PA,PB 是☉O 的两条切 线, A,B 是切点,BC 是☉O 的直径。 (1)求证:AC∥OP; (2)若∠APB=50°,求∠ACB。 O P A B C D 分析:(1)利用切线长定理得OP⊥ AB，直径得∠ BAC=90°，垂直于同一直线两直线平行，证AC∥OP。 (2)切线长定理平分∠ APB，切线性质构造直角三角形求出圆心角，再用圆周角定理求出∠ACB。 典例讲解 O P A B C D 证明:(1)连接OA,AB,AB 交PO 于点D。 ∵PA,PB 分别切☉O 于点A,B, ∴PA=PB。 ∵OA=OB, ∴PD⊥AB。 ∴∠PDA=90°。 ∵BC 是☉O 的直径, ∴∠CAB=90°。 ∴AC∥OP。 典例讲解 O P A B C D (2)在四边形PAOB 中,∠APB=50°， ∠PAO=∠PBO=90°。 ∴∠AOB=130°。 ∴∠ACB=∠AOB=65°。 典例讲解 2.如图,P 是☉O 外一点,OP 交☉O 于点C,PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,连接AB,PA=4,PC=4。求△ABP 的周长。 解:连接OA，则OA⊥PA。设☉O的半径为r， 在Rt△OAP中,由勾股定理,得 r2+(4)2=(r+4)2,解得r=4 ∴OP=8,则 sin∠OPA==, ∴∠OPA=30° 跟踪练习 ∵PA,PB是☉O线， ∴PA=PB,∠APB=2∠OPA=60°. ∴△ABP是等边三角形。 ∴△ABP的周长为4×3=12。 跟踪练习 例3、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． O 分析：欲求半径，取圆的圆心为O，圆与三角板相切与点B,连OA、OB,OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． B 典例讲解 O B 解：设铁环的圆心为O，圆与三角板相切与点B,连OA、OB,OP， ∵AP，AB为⊙O的切线，∠PAB＝120° ∴∠OPA=90°,AO为∠PAB的平分线， 即∠PAO＝∠BAO=60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠PAO＝60°， ∵tan∠PAO＝tan60°=， ∴OP＝5， ∴铁环的半径为5cm. 典例讲解 3.如图,在平面直角坐标系中,☉M 与x轴,y轴分别相切于点A,B,点B 的坐标为(0,3)。求点M 的坐标及点M 到弦AB 的距离。 解:连接MB,MA，过点M作MN⊥AB于点N。 ∵☉M与x轴,y轴分别相切于点A,B, ∴∠MBO=∠MAO=90°. 又∵∠BOA=90°,MB= MA ∴四边形AOBM是正方形， N 跟踪练习 ∵∠MBA=45°, ∴MA = MB = OB = 3, ∴点M的坐标是(-3,3)。 N ∴点M到弦AB的距离为： MN=BM·sin45°=3×=. 跟踪练习 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 当堂检测 2.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(　　) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1 D 当堂检测 3.如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，求∠P的度数． O . P A B C 解析：∵PA是切线，∴PA⊥AC，即∠PAC=90°. ∵∠BAC=35°，∴∠PAB=∠PAC-∠BAC=55°. ∵PA，PB是圆O的切线，∴PA=PB. ∴∠PBA=∠PAB=55°. ∴∠P=180°-∠PBA-∠PAB= 180°-55°-55°=70° ． 当堂检测 尺规作图作切线 切线长定理 作用 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长 切线长 证线段和角相等的新方法 定理内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等（并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。 过圆外一点作圆的切线 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $