微专题10 二次函数的图象信息题&微专题11 二次函数与几何的综合运用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

6.B7.D8.B .四边形APBQ为菱形 微专题10二次函数的图象信息题 '.∠BAQ=∠DAO=45° 1.B2.D3.D。4.A5.A ../PAQ=90° 微专题11二次函数与几何的综合运用 .四边形APBQ为正方形 1.(1),抛物线y=x2+bx十c经过点A(-1,0)和点C(0,-4), ∴.P(1,2),Q(1,-2). {1-+c=0:(b=-3 此时抛物线的平移方式为先将抛 1c=-4, 1c=-4. 物线向左平移2个单位长度，再向 下平移2个单位长度， “抛物线的表达式为y=2-3x-4-(红-是)°-空 ,y=-x2+2x+3=-(x-1)2 +4, “顶点D的坐标为（号，一约） ,抛物线L'的表达式为y=一 (x一1+2)2+4-2 -(x+1)2+2. (2)点A(一1,0)，对称轴为直线x 5.(1)y=x2-2x-3 (2)在y=x2-2x-3中，令x=0,则y=-3,令y=x2 .点B(4,0) 2x一3=0，解得x=3或x=一1， B4,0,D(号，-） .B(3,0),C(0,-3)..OB=OC=3. ../OBC=45°. BD长为定值. 如图所示，当点P在点C上方时， 作点B关于原点的对称点B',则B(一4,0)，连接B'D交 ,∠PBC=15°， y轴于点M,则B'M=BM, ∴.∠OBP=∠OBC-∠PBC=30° .DM+BM=DM+B'M=DB',此时△BDM的周长最 小，设直线DB的表达式为y=kx十n, :OP-OB=3. 3 25 一4k十n=0, k=一 .点P的坐标为(0，一√3)： 221 )号k十n=一5解得 当点P在点C下方时，则∠P'BO=60°， 50 n=- 11 ∴.OP'=√3OB=33. :直线DB的表达式为y=一222- 25 50 点P的坐标为(0，一3√3). 综上所述，点P的坐标为(0，一√3)或(0，一3√3) 令x=0,则y=一点M的坐标为(0，一) 50 .50 6.(1)y=(x-2)2-1或y=x2-4x十3 (2)由题意可得抛物线的对称轴L为直线 2.(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c, :B(3,0),A(1,0).易得C(0,3), C M 得食26，=0解得么二12 1c=-2. ∴.AB=2,BC=W32十32=3W2,AC= 所以二次函数的表达式为y=x2+x一2. √32+1=√10,0C=0B. D (2)设P(m,n),.点P在第二象限，.m<0,n>0. ,.∠OCB=∠OBC=45° 设对称轴与x轴相交于点E,点M的坐标是(2，m), 依题意，得Am=2,即 BD·n 2 拉 .AE=BE=3-2=1,DE=1, S△CDB 2BD·C =2,心00=2. .BD=√DE+BE=√2，∠EDB=45. 当△BDM与△ABC相似时，点D与点B是对应点， .C0=2,.n=2C0=4. 由m2十m-2=4,解得m=-3,m2=2(舍去). ①当BD与AB是对应边时，兴-肥即O-号 3√2 2, 所以点P的坐标为（一3,4）. 3.由A(-1,0),C(0,4)易得a=-1,b=3, 解得DM=3.∴点M的坐标是(2,2)； y=-2+3x十4=-(x-)}'+空对称轴为x= ②当BD与BC是对应边时，X器即DM-=3 23√2 是设点M(号m而点A(-1,0,C0,4), 解得DM= 号点M的坐标是(2，-号)片 则A=(号+1)°+m-空+m,CF=(受-0)°+ 综上所述，点M的坐标是(2,2)或(2，-）： (m-402=(m-40+号，AC=(-1-0)+(0-40=17, 阶段测评7(4.3~4.5) 1.A2.B3.C4.A5.D6.C7.2.6 ①当AM是斜边时，空+=(m-402+号+17，解得m 8.y=2x2-4x-69.k<1且k≠0 12.10 29 10.w=-60x2+1080x+1680011.35 3 Γ8 13.设二次函数表达式为y=ax2+bz十c,依题意，得 ②当CM是斜边时，(m-4)+号-2华+m+17,解得m a-b十c=0, a=1, 4 9a十3b十c=0,解得b=-2, c=-3, (c=-3. 则y=x2-2x-3. ③当AC是斜边时，25+m2+(m一4)2+9=17，解得m 14.(1)证明：对于方程x2一mx十m一1=0， A △=（-m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2≥0. =号或m=号 .方程x2-m.x十m-1=0总有实数根， .二次函数y=x2一mx十m一1的图象与x轴总有交点. (2)把(2,4)代入y=x2-mx+m-1中，得4=22-2m+ 综上，点M的坐标为（是，器）或（是，-8）或（号，号） m一1，解得m=一1. 15.(1)设y与x的函数表达式为y=kx十b, 或() 把x=12,y=56;x=20,y=40代入，得 4.(1)y=-x2十2x十3 8+66:解得{合802 (2)存在以A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是以AB为 ∴.y与x的函数表达式为y=一2x十80. 对角线的菱形 (2)设日销售利润为元，根据题意，得 .点A(-1,0),点B(3,0),·AB=4. w=(x-10)·y=-2(x一25)2+450. 如图，当四边形APBQ为菱形时，.OA=OD=1, .当x=25时，w有最大值，最大值为450 .∠DAO=45° ∴.糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最 22 一探究在线·九年 大利润是450元. (3)设日销售利润为元，根据题意，得 “拱桥的抛物线表达式为y=一75x(x一60)，开口向下， 0=(x-10-m)y=(x-10-m)×(-2x+80)=-2x2+ ,.当x=30时，所需的那根钢材支柱最短， (100+2m)x-800-80m. ,糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴.y= 7方×30×(30-60)=12，则20-12=8（米） .:4X(-2)(-800-80m)-(100+2m)2 =392. .所需的最短的那根钢材支柱长8米 4×(-2) 任务2：设拱桥的抛物线表达式为y=ax(x一60)(a≠0)， 化简，得m2一60m+116=0. :根据河面宽60米，钢材支柱将跨径6等分，则需要5根 解得m1=2,m2=58. 钢材支柱， 当m=58时，x=54, ∴.钢材支柱的位置分别为x=10,x=20,x=30,x=40,x 则每盒的利润为54一10一58=一14<0，舍去. =50,又岸边水泥柱高20米， ·m的值为2. .[20-10a(10-60)]+[20-20a(20-60)]+[20 单元综合复习（四）二次函数 30a(30-60)]+[20-40a(40-60)]+[20-50a(50 热门考点突破 1.D2.B3.C4.A5.B 60)门=30，整理，得100+3500a=30,解得a=-50 6.y=2(x一3)2一1（答案不唯一） 7.(1)将点A(-3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c,得 ∴拱桥的抛物线表达式为y=一0x(x一60)， 月+800解得23.y=2+2x-3. 任务3：由抛物线过点(0,0)，抛物线过点(60,0)，设拱桥的 11+b十c=0, 抛物线表达式为y=a'x(x-60)(a≠0)， (2)y=-(x-1)2+4或y=-x2+2x+3 ·钢材支柱将桥面DE和CF各3等分，且相邻两支柱间 8.x1=-1,x2=39.0≤k<4且k≠310.C 的距离为5米， 11.(1)利润Q(元)与售价a(元)的函数表达式为Q=[60 .DE=CF=15,.E(15,20),F(45,20) 2(a-30)](a-20)=-2a2+160a-2400(30a60). 将E(15,20)代入抛物线的表达式，得20=15a'×(15-60), (2)由(1)知，Q=-2a2+160a-2400, 4 135x(x-60). 4 即Q=-2(a一40)2+800， 解得a=一135小抛物线的表达式为y= 当a=40时，Q有最大值，最大值为800， 当x=5,y=一意×5X(6一60)-器，阑材支柱的长度 4 即定价40元时，最大利润是800元， 当a=40时，60-2(a-30)=40(件)， ∴.每天购进该商品40件较好. 为20-0罗（米）. 27 12.(1):篱笆长80m,.AB+BC+CD=80. 当x=10,y=一 35X10×10-60)= 400 .AB=CD=x,BC=y,.x+y+x=80..y=80-2x. 27 ,钢材支柱的长 .墙长42m,.0<80-2x≤42. 解得19≤x<40,.y=80-2x(19≤x<40). 度为20-400=149（米）， 27 27 ∴.矩形面积S=BC·AB=y·x=(80一2x)x -2x2+80x. 当x=50,y=一13×50×(50-60)-9，锅材支柱的长 (2)令S=750,则-2x2+80x=750, 解得x1=25,x2=15. 度为20-9=140（米）， 27 27 .19≤x<40,.x=25. .当x=25时，围成的矩形花圃面积能为750m2. 当x=55,y= 135X55×(55-60)=220 27 钢材支柱的长 (3)S=-2x2+80x= -2(x-20)2+800. ,一2<0，.S有最大值. 度为20 220-320(米)， 2727 又19x<40, ∴.当x=20时，S取得最大值，此时S=800, :需要的锅材支柱的长度为受+罗+罗+罗罗米)。 27 27 ∴.围成的矩形花圃面积存在最大值，且最大值为800， 此时x的值为20m. 第1章学情评估 核心素养提升 1.C2.C3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.A 13.4 8」 10.D11.912.分cm13.是14.315.W5-1) 综合与实践 设计抛物线形拱桥 1.C 16.2号 17.√/1318.2 2.(1)结合图象可知，抛物线的对称轴是y轴，与x轴的交点 19.AB∥CD,.∠B=∠D. 坐标是（一140,0），(140,0)，且经过点(70,42).设抛物线 又AB=2CD,BE=2DF 的表达式为y=ax2十c, 402a十c=0解得a=350 "B器=-2 AABEACDP. 1702a+c=42 20.(1)如图，△A1B1C1为所作. c=56. (2)如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（一4，一6）. ∴.y= 350x2+56. (2)当x=0时，y=56. 设存在一根系杆的长度是OC的一半，则这根系杆的长度 是28米， A 当-350x2+56=28时，x=士70v2. ,相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上， -2 ∴.每根系杆上的点的横坐标均为整数. 24 而x=土70W2与实际不符. 分 .不存在一根系杆的长度恰好是O℃长度的一半 1 21.(1)a:b:c=3:4:5, 3.任务1：“拱桥的抛物线表达式为y=一75x(x一60)， 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， 且以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系， a+b-3k+4骏==2 令y=0,则0=一7方x(x-60), c-a 5k-3k 2k 2 (2),abc=3:4:5, 解得x1=0,x2=60,.AB=60. 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， ,钢材支柱将跨径4等分，则60÷4=15（米）， 又2b-c=9,∴.2X4k-5k=9, ∴.钢材支柱的位置分别为x=15,x=2×15=30,x=3× ∴，k=3,∴.a=3k=9,b=4k=12,c=5k=15 15=45, ∴.a十2b-3c=9+2×12-3×15=-12. 级数学（上）·XJ一微专题10二次函数的图象信息题 堡型①根据函数性质判断函数图象 4.(中考·齐齐哈尔)如图，在等腰直角三角形 1.如果一次函数y1=mx-6(m≠0)，y2=nx一2 ABC中，∠BAC=90°，AB=12,动点E,F同 (n≠0)的图象都经过点C(1,一3)，那么函数y 时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的 =y1·y2的大致图象是 ( ) 方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止 2 12 运动时，点F也随之停止运动，连接EF,以 0 EF为边向下作正方形EFGH,设点E运动的 1) 路程为x(0<x<12),正方形EFGH和等腰 直角三角形ABC重合部分的面积为y,下列 2.直线y=a.x十b与抛物线y=ax2+bx十b在同 图象能反映y与x之间函数关系的是() 一平面直角坐标系里的大致图象正确的是 H 32 A 类型②根据具体情境判断函数图象 3.如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm,∠A 12 =60°，垂直于AD的直线EF(直线EF与菱 32 形ABCD的两边分别交于点E,F,且点E在 点F的上方)从点A出发，沿AD方向以每秒 0 1cm的速度向右平移.若△AEF的面积为 12x 04 12x ycm,直线EF的运动时间为xs(0≤x≤4)， 类型3 根据函数图象获取信息 则下列能大致反映y与x的函数关系的图象 5.,如图①，在矩形ABCD中，BC=4,E是BC边 是 上的一个动点，AE⊥EF,EF交CD于点F, 设BE=x,CF=y,图②是点E从点B运动到 点C的过程中y关于x的函数图象，则AB的 y/cm2↑ y/cm2 长为 ( 45 45 A.25 B.23 024x1s 024x/s 0.8 y/cm y/cm2 45 45 C 23 D. 图① 图② 23 A.5 B.6 C.7 D.8 0 24x/s 024x/s 第4章116 44 微专题11二闪函数与几何的综合运用 堡型①线段、周长问题 面积是△CDB面积的2倍，求点P的坐标. 1.(中考·宜宾节选)如图，抛物线y=x2十bx十c 与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于 点C(0,一4)，其顶点为D. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标： (2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM 的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，请说明理由. 类型3特殊三角形问题 3.如图，抛物线y=ax2+bx一4a(a≠0)经过 A(一1,0)，C(0,4)两点，与x轴交于另一点 B,连接AC,BC.在抛物线的对称轴上是否存 在点M,使得由点M,A,C构成的△MAC是 直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，请说明理由. y A 70 堡型②图形面积问题 2.(中考·福建)如图，已知二次函数y=x2十bx十c 的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,其中A(-2,0),C(0,-2). (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在 第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的 117探究在线九年级数学（上）·X灯 (2)连接BC,P是y轴上一点，∠PBC=15°， 求点P的坐标 堡型④特殊四边形问题 4.已知抛物线L:y=ax2十bx+c与x轴交于点 A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3). (1)抛物线L的表达式为 ； (2)若P是直线y=x十1上的一动点，将抛物 线L平移得到抛物线L',点B的对应点为Q, 是否存在以A,B,P,Q四个点为顶点的四边 形是以AB为对角线的菱形？若存在，求出抛 类型6 相似问题 物线L'的表达式；若不存在，请说明理由， 6.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于 y A,B(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为 D(2,-1),直线1是抛物线的对称轴. B (1)抛物线的函数表达式为 -3-210 123 3 (2)M是直线L上的一动点，当以点M,B,D -4 为顶点的三角形与△ABC相似时，求点M的 坐标 D 类型⑤角度问题 5.如图，二次函数y=x2十bx十c的图象与x轴 交于A,B两点，与y轴交于点C,且关于直线 x=1对称，点A的坐标为(-1,0). (1)二次函数的表达式为 第4章118