1.5 第1课时 相似三角形的性质定理1-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

1.5 相似三角形的性质 ©第1课时 相似三角形的性质定理1 1 基础在线>知识要点分类练 知识点1相似三角形对应边上的高的比等 于相似比 1.已知△ABC∽△DEF,且AB=2DE,h1,h2分 别为AB,DE边上的高线，则2 A.2 B司 C.3 D 2.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, ∠ABC=∠ACD=90°，BM⊥AC于点M,CN ⊥AD于点N,且AB=2,BM=1.2,AC=3. 知识点3相似三角形对应边上的中线的比 求CN的长 等于相似比 5两个相似三角形对应高之比为2：3，那么它们 对应边上的中线之比为 () A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4 6.在△ABC和△DEF中，AB=2DE,AC= 2DF,∠A=∠D,AP,DQ分别是△ABC和 △DEF的对应中线，若AP=2,求DQ的长度. 知识点2相似三角形对应角平分线的比等 于相似比 3.把△ABC各边都扩大4倍，得到△A1B1C1,则 它们的对应角平分线扩大 2能力在线 、方法规律综合练 A.4倍 B.8倍 7.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点P, C.16倍 D.不变 AB=4,CD=7,EF经过点P,PF平分∠CPD, 4.如图，已知△ABCn△DEF,AM,DN分别是 则PE:PF的值等于 () △ABC,△DEF的角平分线，且AB=10cm, DE=5cm,AM=12cm,求DN的长. A B D. 23探究在线九年级数学（上）·X灯 11.如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形 DEFG模型.其中点G,F在BC边上，D,E -第2张 分别在AB,AC边上，AH⊥BC交DE于点 一第1张 M,若BC=12cm,AH=8cm,求正方形 第7题图 第9题图 DEFG的边长. 8.如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其 中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一 个三角形对应中线的长为 () 入培 B. G c号或号 D.无法确定 9.一张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上 的高为22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪 3 拓展在线》>培优报尖提升练 宽度均为3cm的矩形纸条，如图.已知剪得的 12.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥ 纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是 AC,DF⊥BC,垂足分别为点E,F.已知AC=8, ( ) BC=6. A.第4张 B.第5张 (1)求 C.第6张 D.第7张 DE的值； (2)求四边形DECF的面积. 10.如图，在△ABC中，D,E分别是△ABC的 AB,AC边上的点，DE∥BC,CF,EG分别是 △ABC与△ADE的中线.已知AD:DB=4:3, EG=4cm,求CF的长. 第1章245..BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上， .∠DBA=∠CAE. 提--器-震-2=专=2， 又ABBD √2 .AB-BC_AC ?√10 CA AE =3,.△ABD∽△CAE. DE EF DF 6.不正确.理由： :由已知条件不能得到能-瓷。 .△ABC∽△DEF(三边成比例的两个三角形相似) .∠DEF=∠CBA=a, .不能证得△AEDc△BEC. 又./CAB=/FDE=135°，./DFE=45°-a. 能力在线 13.:AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， 7.B8.C9.1 10.(1)证明：易证DE-CE=1 ∴DE=AB,DF=合AC,EF=BC AEBE2· 又：∠DEC=∠AEB,△DCE∽△ABE. 器 =2.△DEF∽△ABC (2)由1)知DC-DE1 拓展在 AB-AE2 14.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对应成比例可知 11.∠B=∠D=90, (2)如图. 当AB:PD=BP:CD时，△ABP∽△PDC, 4Bp,解得BP=2或12 6 BP AB:CD=BP:DP时，△ABP∽△CDP, 6 BP -14-Bp,解得BP=8.4. 当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，BP 微专题1相似三角形的基本模型 的长为2或12或8.4. 1.B 拓展在线 12.(1)证明：过点C作CF⊥AB于点F, 2.(I)证明：ED∥BC,△ADE△ABC.AE=DE .∠A=90°，AB∥CD, 'BE平分∠ABC,∴.∠DBE=∠EBC. .∠D=90°，四边形AFCD为矩形 .ED∥BC,.∠DEB=∠EBC. ..AF=CD=1,BF=1. .∠DBE=∠DEB.∴.DE=BD BC=3,∴.在Rt△BCF中，CF=2√2 ..AE_BD E为AD的中点， AC-BC,即AE·BC=BD·AC ·EA=DE= -AD-CF-/3. (2)△EAD与△EDB在AB边上的高相等， CD_1_V2DE_V2.CD_DE SAADE AD EAV22'AB=2“EA=AB 8DDE6,A4D=9,4g15 :∠D=∠A=90°，∴.△CDE∽△EAB. (2)△CDEc∽△CEB.证明如下： :AB△ADE,器-铝即S-号 69 △CDE∽△EAB,∴∠CED=∠EBA. 故BC=10. ,∠EBA+∠BEA=90°， 3.,∠ADE=∠ACB,∴.180°-∠ADE=180°-∠ACB: ∴∠CED+∠BEA=90°，∴.∠CEB=90° 即∠BDF=∠ECF. 又：∠BFD=∠EFC,∴.△BDF∽△ECF. 在Rt△CDE中，CE=√（√2）2+12=√3， RD-DE 在Rt△EAB中，EB=√/(W2)2+22=√6. EcCF,即8-D =DF=4, 品后器晨店罡器 4.相似.理由如下： EO_DO EO BO BO-CODO-CO' ·∠D=∠CEB=90°，∴.△CDEp△CEB. ∠BOE=∠COD,∠DOE=-∠COB, 第4课时相似三角形的判定定理3 '.△BOEC∽△COD,△DOECOB 基础在线 '.∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO 1.A2.B3.B4.A ∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO, 5.(1)12.515(2)128 .∠ADE=∠ABC. 6.∠B=∠AED.理由如下： '∠A=∠A,∴.△ADE∽△ABC :AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15, 5.'∠BAC=90°，AD⊥BC, .AC=AE+EC=6+3=9,AB=AD+BD=3+15=18. :∠BAC=∠ADB=9O :∠CBA=∠ABD,∴△ABCD△DBA. AB DB ÷己侣-瓷ADEAACB. -品器∠BAD=∠C AD⊥BC,E为AC的中点， ∴.∠B=∠AED. 1湘理由：品-器-器：△ABC∽△DBE, .DE=EC,∴.∠BDF=∠CDE=∠C, DFDBEADF .∠ABC=∠DBE, .AB_DF ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, .DB-DE AD=AF·AC=AF 即∠ABD=∠CBE, 6.(1):∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC AB_BC 品部器 又·∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC. (2).'△ADE∽△ABC, ∴.△ABDC∽△CBE. 8.A 铝能罡怨 ·AEAC 能力在线 9.D10.C.△DEF号 又·∠DAB=∠EAC,∴△ADBn△AEC.AP=BD AE CE 7.D 12.根据勾股定理可知，AB=2√2，BC=2I0,DE=√2，EF 8.(1)证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C =/10,又AC=4,DF=2, .'∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD: ∠APD=∠B,∴∠BAP=∠CPD, F∠B=ZC,.△ABPOAPCD. 14 一探究在线·九 (2):BC=12,点P为BC的中点，.BP=PC=6, ..PA:PB-PE:PF, :△ABP∽△PCD,P光 ,即0-6 AB BP 6CD EC=PF,路器-D PBPE 解得CD=3.6. 在△ECP和△CNM中， (3)当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或号. ,CP⊥MN于点Q,.∠QCN+∠QNC=90° 又∠QCN+∠QCM=90°，∴.∠QCM=∠QNC, 微专题2相似三角形中常见辅助线的作法 1.连接DF. RAPECRMCN系-器 E,F是边BC上的两个三等分点， ..BE=EF=FC 即瓷兴② D是AC的中点，∴AD=CD. .DF是△ACE的中位线. 由①@，得路兴，则PA:PB=CMCN ∴DF∥AE,且DF=AE∴DF∥PE 7.延长GF,AC交于点H, CD⊥AB,FG⊥AB,.CD∥FG, _BP .∴.△AFG∽△AED, △BEP∽△BFD.B能 △AFH∽△AEC. .'BF=2BE,.'.BD=2BP..'BP=PD .AF-EG AF-FH FG FH DF∥AE.APD品-8部 AE-ED'AE-EC.∴-C 又E为CD的中点，.ED=EC,.FG=FH 设PE=a,则DF=2a,AP=AE-PE=3a. 易证得Rt△CFH∽Rt△GFB, ..PQ:QD-AP:DF-3:2. .BP:PQ:QD=5:3:2 器票PGFH=CBE 2.过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G :FG=FH,∴FG=FC·BF .CG∥AB,.∠DAF=∠G. 阶段测评1(1.2~1.4) 又D为CF的中点，∴CD=DF ∠DAF=∠G, 1.C2.A3.D4.C5.B6.C.号 8.8 在△ADF和△GDC中，{∠ADF=∠GDC, DF-DC, 9.∠C=∠E或∠B=∠ADE(答案不唯-)10，司 .△ADF≌△GDC(AAS).∴.AF=CG ,BF:AF=3:2,∴.AB:AF=5:2. 12.①③ AB∥CG,∴△ABEn△GCE. BE AB AB 5 EC CG AF 2 3.(1)作AG∥BC,交BE的延长 1,:矩形ABCD与矩形DEPC相似是-S, 线于点G, 即品号DE-号 .'AG∥BC,.△AGF∽△DBF .AF=4DF,∴.AG=4BD. D ·AE=AD-DE=5-4=21 5 .CD=3BD,.BC=4BD,.'.AG=BC. AE_AG-1. 14.(1)证明：：∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, 又AG∥BC,.△AGEn△CBE,C=BC ∴.∠ADF=∠C. (2)证明：BD2=DF·AD,ADBD: .BD DF 又：ADDF AC=CG△ADF∽△ACG ∠BDF=∠ADB,.△BDF∽△ADB, (2 AADF△ACG÷把-沿-，即能 =1 FG ∴.∠BAD=∠FBD. 又：∠ABD=∠ACB,.△ABD△BCE, 15.(1)证明：四边形ABCD是正方形， 2说CE,AB=D,AC .∠B=90°，AD∥BC,AD=AB..∠EAM=∠AMB EF⊥AM,.∠AFE=90°..∠AFE=∠B. 又.'AB=AC,BC=4BD, ∴.△ABMp△EFA. (2)在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM=13. CE·AC=BC·BC,BC=4CE·AC 4.过点C作CF∥AB交DP于点F, :点F是AM的中点，AF=合AM= 2 13 △PBD∽△PCE.Bg=B CF NAD∥CF,.∠ADE=∠EFC. △EFAn△ABM,AE 品即背-言， AF」 .'AD=AE,∴.∠ADE=∠AED 解得AE=16.9, '∠AED=∠CEP,∴∠EFC=∠CEP ..DE=16.9-12=4.9. Ec-cR部肥 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1 5.(1)证明：由∠BAC=∠BEF=90°，得∠1+∠AEB=∠2 基础在线 +AEB=90°，，./1=/2. 1.A (2)过点F作FG⊥AC于点G, 2..AC平分∠BAD,·∠BAC=∠CAD, 由(1)知，∠1=∠2，.△ABEp△GEF :4B :∠ABC=∠ACD,△BACD△CAD, -2， :BMLAC..CNLAD,兴-把即景-号 ..GE=2GF .CN=1.8. 由作图知，△GFC为等腰直角三角形， 3.A ..GF=CG,.GE=2CG. 4.:△ABC∽△DEF,AM,DN分别是△ABC,△DEF的角 “E为AC的中点，名行 平分线器-器 Gp∥AB器=8 .AB=10 cm,DE=5 cm,AM=12 cm, 6.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB D-6 cm. 于点F,则四边形CEPF为矩形. 5.A .PF∥EC,PF=EC .∠A=∠B=45°， 6是- =2,∠A=∠D, '.Rt△AEP∽Rt△BFP, ,∴.△ABC∽△DEF,且相似比为2：1. 级数学（上）·XJ一 .AP,DQ分别是△ABC和△DEF的对应中线， .AB=8,.AD=2 .AP:DQ=2:1..AP=2,∴.DQ=1. 能力在线 (2:△ADEAABC,∴-()=(H)'=G 7.B8.C9.C S△ADE=1,.S△ABc=16, 10..AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7 四边形BFED是平行四边形，∴.EF∥AB, .DE∥BC,·△ABC∽△ADE. :CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线，AP=EC. △EFCn△ABCS-()广=器 AB CF S△ABC SAEFC=9, 青=悬CF=7 4 ,.平行四边形BFED的面积为16一9一1=6. 拓展在线 即CF的长为7cm. 14.B 11.设正方形DEFG的边长为xcm, 则AM=AH-HM=(8-x)cm, 微专题3相似三角形的性质与判定 DE∥BC,∴△ADEn△ABC 1.√32.A3.45 .AM-DE A7Be,即8=之 4.(1)证明：，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE, 8 2,解得x=4.8. .△CABp△CFE, 答：正方形DEFG的边长为4,8cm. 拓展在线 器器器瓷∠B=∠cBr 12.(1),CD是Rt△ABC斜边上的高 :∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE, ∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB. ,∴·∠ACF=∠BCE ∴.∠B=∠ACD.△ACD∽△CBD. ∴.△BCE∽△ACF,∴.∠B=∠CAF, 又DF⊥BC,DE⊥AC, DF BC .∠CEF=∠CAF. DE CA (2).∠ACB=90°，AC=20,BC=15, 又C=6,Ac=8E-器=g=是 ∴.由勾股定理，得AB=√AC+BC=√202+15=25. .AE=7,.BE=AB-AE=25-7=18, (2)由1)可知DE=3 bE=主，设DF=3x,则DE=4z :△BCE△ACF,ACAF, BC BE ∴.SAACD= AC,DE=合×8X4z=16z, 1 ∴贵=A是AF=2M 2BC,DF=号×6X3x=9z 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠CDH=90°=∠ADE,AD=CD. 又：SaMc= 2AC·BC=号×8X6=24, 又.AE=CH,∴.Rt△ADE≌Rt△CDH(HL) (2).'△ADE≌△CDH,.∠FAH=∠DCH, 又：∠AHF=∠CHD,∴.△FAHp△DCH, 16x+9x=24,解得x=. Sam=DE.DF=4红·3x=12x=12×(2)°- 语鼎鼎票 ∠FHD=∠AHC,.△FHD∽△AHC, 6912 ∴.∠DFH=∠HAC. 625 四边形ABCD为正方形，AC为对角线， 第2课时 相似三角形的性质定理2 ∴·∠HAC=45°，∴.∠DFH=45°，即∠DFC=45° 6.B7.B 基础在线 8.(1)证明：AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFD=∠AGC=90° 1.D2.253.8cm ∠DAF=∠GAC..∠ADE=∠C 4.AB∥CD,∴.△ODC∽△OBA S△oc:S△oA=1:4,∴.OC:OA=1:2. 又：∠EAD=∠BAC.∴△ADE△ACB. :△ODC与△AOD在AC边上的高相等， (2).△ADEc∽△ACB,且AE=6,AB=10. 1 .:4P AE 9.由题意，得∠BDF=∠BAE=90° 5.C6.2 .BE平分∠ABC,∴.∠DBF=∠ABE. 7.在□ABCD中，AD∥BC,.△AOD∽△EOB, 又.∠BAF+∠DAC=∠DAC+∠BCE=90°， :点E为BC的中点，BE=令BC=7AD, ∠BAF=∠BCE.·△ABFO△CBE,BS-BA BE BC ,C△oE:C△AoD=BE:AD=1:2, 10..AD⊥BC,DE LAB,./ADB=∠AED=90° C△AoD=12,.CAoE=6, 又：∠BAD=∠DAE,.△ABD∽△ADE 即△BOE的周长为6cm. 8.D ÷語是用AD=AE·AB 能力在线 同理，可得AD=AF·AC. 9.B10.5 11.3 .AE·AB=AF·AC. 12.,四边形ABCD为平行四边形， 1.6相似三角形的应用 ∴.AD∥BC,AB∥CD. 基础在线 ∴·∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠F. 1.B2.B3.9.884.605.7.5 ,AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE ∴.∠BAE=∠AEB,∠DAE=∠F. 6.BC∥DE,△ABCn△ADE,DE-AD BC AB ..AB=BE=10,DF=AD=15,CF=5 又BC=25,BD=12,DE=35, ,BG⊥AE,且BG=8,根据等腰三角形“三线合一”，得 ÷器-A亚解得AB=30, AB AG=EG=6, ∴.AE=12,△ABE的周长为AB+BE+AE=32. 答：河的宽度AB为30米。 .AB∥CD,.△ABE∽△FCE, 能力在线 且相似比为AB:FC=10:5=2:1 7.C8.22.59.54 10.由题意可知，BF=CG=12m, .△CEF的周长为2×32=16. 在Rt△CDE中，CE=50cm,CD=40cm, 13.(1),四边形BFED是平行四边形， .DE∥BF,.DE∥BC, DE=V50-40=30(em）,∴D5=30-3 CD=404 AADE△ABc0-是=÷ .∠CDE=∠CGA=90°，∠DCE=∠GCA, 一探究在线·九 ACDEACGA-器-=是 (2)(-2,-6)4 7.(4,8)或(-4，-8) .CG=12m,.GA=9m,∴.AB=9+1.6=10.6(m). 能力在线 答：旗杆AB的高度是10.6m. 8.A9.D10.(2,2√3) 拓展在线 11.(1)如图，△DEF与△D'EF'为所求作的图形. 11.A 1.7位似 第1课时位似图形的定义、性质及画法 基础在线 1.D 61 2.题图①和③中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是 题图①中的点P和题图③中的点O;题图②中的两个图形 不是位似图形. 3.B4.C5.A6.D 7.如图即为所作， (2)(2a,2b)或(-2a,-2b) 拓展在线 12.(1)如图所示. (2)mC(3)n2S 能力在线 8.D9.D 10.(1)(2)如图. 阶段测评2(1.5~1.7) 1B2.D3.A4.D5.D6.A7.3cm8. 9.32cm10.(2,1)或(0，-1)11.7.512.(2,3) 13.(1)如图，△A'B'C即为所求作的三角形. (3) 4 11.由△DE0与△AB0相似，得D-E OA OB 由△OEF与△OBC相似，得8-85，所以8R-8, OF 即OD·OC=OF·OA. 拓展在线 12.(1)△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C. 在矩形ABCD中，AD∥BC, ·∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF, (2)由(I)可得△ABC∽△AB'C,且相似比为号， 六△AFD∽△CFE,:CE-CE AF AD 2 又AD=BC,票 14.设树在第一级台阶上面的部分高为 ∠ABC=90°，OE⊥BC,.OE∥AB x米，如图，则0.4=4.4千0.2解得 ·CF1 又0A=0CcB=合Bc器=安器=3 x=11.5. .4.4. .树高为11.5十0.3=11.8（米）. 即△ABC与△FGC的位似比为3. 15.(1)过点A作AH⊥BC于点H, (2)CI:BC=1:4. AB=AC=50 cm, 第2课时平面直角坐标系中的位似 .BH= 2 BC=30 cm, 基础在线 1.B2.B3.(W2W2) 4.4:1 ∴.AH=√502-302=40(cm), 5.(1)如图，四边形A'B'CD'即为所作. ∴5aAx=号X60X40=1200(cm). D (2)过点B作BM⊥AC交FG于点N,交AC于点M, 则SAaC=2AC·BM=1200, AC=50cm,∴.BM=48cm, 四边形DEFG是正方形，.FG∥DE, .BN⊥FG,△BFG∽△BAC (2)(-3,3)(-4,1)(-2,0)(-1,2) 6.(1)如图，△AB'C即为所求作. FG_BN' 8-别照-4869，rG-1200 48 49 cm, 正方形DEFG的边长为200。 cm. 49 单元综合复习（一）图形的相似 热门考点突破 1.D2.D3.B4.C5.1.26.17.2 8.(4,2)或(-4，-2)9.B 10.∠ADE=∠B(答案不唯-）11.号 年级数学（上）·XJ一 15