精品解析：广东佛山市第一中学2026届高考适应性测试（二）数学试题

佛山市第一中学2026届高考适应性测试（二） 数学 满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 2. 设，，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用函数单调性判定A，B，运用作差法判定D，运用特殊值判定C. 【详解】解析：因为在上是增函数，所以，故A正确； 因为在上是减函数，所以，故B正确； 当时，，所以C错误； 因为；所以.故D正确. 故选：C. 3. 若实数、满足，则的值为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，再根据指数的运算性质即可得解. 【详解】解：设， 则， 所以. 故选：D. 4. 设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 5. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为， 过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， 则剩下的几何体的表面积为. 故选：B. 6. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 7. 设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的正负，再根据单调性和零点存在性定理可判断的范围，再分n为奇数和偶数讨论的取值即可. 【详解】，则函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可得，则， 当为正奇数时，设，则，则， 当为正偶数时，设，则，则， 所以， . 故选：D. 【点睛】关键点点睛，本题的关键是求出零点的范围，将奇数设为，偶数设为求解. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数有相同的零点，由此用表示，再构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】函数，令， 函数在定义域上都单调递增，由，得与同正负， 因此函数与必有相同的零点，由，得， 由，得，于是，，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将函数拆成两个函数的积，再由其单调性及不等式可得它们在相同的零点是求解问题的关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的性质即可求解. 【详解】因为数学成绩X近似服从正态分布，所以，， 所以正态密度曲线关于对称，故， ，故AB正确； ，，故CD错误. 故选：AB. 10. 对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为等比数列，成等差，则也成等差 B. 若数列为等比数列，则 C. 若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13 D. 若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可. 【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则， 若公比，则，故， 所以可得，， 整理得，由于，所以， 所以，即， 故也成等差，故A正确； 对于B，若数列为等比数列，若公比时，； 若公比时，则，所以，故B不正确； 对于C，若数列为等差数列，公差为，由， 得，即，则， 所以，得，又，则，故C不正确； 对于D，若数列为等差数列，且，则公差， 所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则， 所以， 所以， 因为，则，其中， 则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（　　） A. 存在点，使 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 当在线段上时，直线与平面平行 D. 当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算分析线面平行、线面垂直、轨迹方程、线面角，逐项分析计算即可. 【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设（是侧面上，则坐标恒为2，，）. 选项A：，. 若，则，即，整理得. 取，则满足条件，故A正确； 选项B：由得，，化简得. 该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆）， 所以轨迹长度为，故B错误； 选项C：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，，所以. 因为在线段上，设（），则， 所以，，所以，（）. 因为，所以，又平面， 所以直线与平面平行，故C正确； 选项D：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，又，所以. 设直线与平面所成角为，由选项C知，（）. 则 ，， 所以，当时，取最大值，为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则_____. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 由于，，，四点共面，则， 解得：； 故答案为： 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，由椭圆定义结合三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图， 设线段的中点为，连接，连接，则， 因为椭圆的方程为，所以， 即，因为， 所以， 所以是等边三角形，则，所以直线的斜率为， 故答案为：. 14. 一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意确定白球以及黑球的个数，然后求出和，根据期望的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知白球的个数不为0和4， 假设白球有1个，则,与矛盾； 假设白球有2个，则，符合题意； 假设白球有3个，则，不符合题意； 故白球有2个，黑球有2个，红球有1个， 则随机变量的可能取值为：0,1,2， 则，， 则， 故， 故答案为：1 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）若函数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，由建立等式求出，代入计算即可； （2）先求出，令，设，使得，即，根据导函数求出，根据不等式恒成立建立不等式得，计算即可. 【小问1详解】 因为，函数的定义域为， 所以， 由曲线在处的切线的方程为，得， 所以， 设，， 所以函数是上的递增函数，又， 所以方程有唯一解， 所以，， 所以切点坐标为，代入直线方程得． 【小问2详解】 ，定义域为， ， 设，所以， 所以在上递减，又，， 所以当时，，即，函数递增， 当时，，即，函数递减， 所以函数的最大值 ， 又， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 设，则，所以递增， 所以，即恒成立， 因为在上递减，且， 所以只需恒成立，即， 又，所以． 【点睛】关键点点睛：本题第一问求解的关键在于根据导数的几何意义建立等式求出，在解的过程中要注意说明解得唯一性；第二问求解关键在于分母恒大于零，在探究导函数单调性时只需对导函数分子求导，根据导数求出，再根据不等式恒成立建立不等式得，最后计算可得. 16. 在中，角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）延长到点，使，且的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据面积公式可得为等边三角形，即可求解，根据余弦定理可得，进而由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，可化为 ， 因为，即， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，且的面积为， 所以的面积为， 所以， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，. 因为，所以. 在中，由余弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得 ， 即， 所以. 17. 如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. （1）证明: 平面 ; （2）若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接OC， ∵，, ∴为正三角形， ∴， ∵，且都在面， ∴平面ABC，而面，故， 由，易知△ABC是等腰直角三角形， ∴， 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， 由，可得，且，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角正弦值为． 18. 五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. （1）求第2号社区有2名男医生的概率； （2）当时，求与i的关系式； （3）记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）当时, ，结合得到，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，从而得解； （3）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意第2号社区有2名男医生的概率 ； 【小问2详解】 当时, ， 由 , 故 ， 即有， 又，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. 【小问3详解】 依题意的可能取值为，，， 易知10号社区有1名男医生的概率与有3名男医生的概率相同，即， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 19. 已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市第一中学2026届高考适应性测试（二） 数学 满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数、满足，则的值为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 108 4. 设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为等比数列，成等差，则也成等差 B. 若数列为等比数列，则 C. 若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13 D. 若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（　　） A. 存在点，使 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 当在线段上时，直线与平面平行 D. 当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则_____. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为___________. 14. 一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）若函数恒成立，求的取值范围． 16. 在中，角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）延长到点，使，且的面积为，求的值． 17. 如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. （1）证明: 平面 ; （2）若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 18. 五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. （1）求第2号社区有2名男医生的概率； （2）当时，求与i的关系式； （3）记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 19. 已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $