第1章 1.1.1 空间向量及其线性运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量概念、线性运算及共线共面向量，通过滑翔伞受力场景导入，以平面向量为基础搭建认知支架，引导学生从二维到三维迁移知识，形成完整知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题，用数学思维进行逻辑推理，通过平行六面体、空间四边形实例及即时练巩固，培养学生空间观念与运算能力。教师可借助系统资源提升教学效率，学生能深化对向量本质的理解。

第一章　空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．　3.掌握空间向量的线性运算． 返回导航 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向且大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？能对这些力进行力的合成吗？这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算． 返回导航 新课导入 思考1　我们学习了平面向量，现在要将向量推广到三维空间．你认为空间向量和平面向量的核心概念有什么联系？ 提示：空间向量是平面向量的三维推广，核心概念完全类似，只是坐标多了一个维度． 思考2　平面向量的线性运算包括加、减、数乘，这些运算规则能直接用到空间向量中吗？ 提示：能． 返回导航 问题思考 思考3　平面向量共线，需要“a＝λb(b≠0，λ∈R)”，那空间中两个向量共线，这个条件还成立吗？空间里多个向量的位置关系除了“共线”“不共线”之外，还存在哪些情况？ 提示：成立．空间里多个向量的位置关系还有“共面”“不共面”． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点四 4 知识点一　空间向量的有关概念 第一部分 8 1．定义 在空间，把具有______和______的量叫做空间向量． 2．长度 空间向量的______叫做空间向量的长度或___． 3．表示法 (1)几何表示法：空间向量用____________表示． (2)字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作___，其模记为_______或____． 大小 方向 大小 模 有向线段 |a| 返回导航 4．几类特殊向量 0 1 相等 相反 返回导航 平行或重合 相同 相等 返回导航 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)在空间中，单位向量唯一．(　　) (2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.(　　) (4)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) × √ 即时练 √ √ 返回导航 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： 8 返回导航 【感悟提升】　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等、方向相反． 返回导航 知识点二　空间向量的加减运算 第二部分 15 b＋a (a＋b)＋c 返回导航 返回导航 【感悟提升】　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 返回导航 　 如图，已知空间四边形ABCD，点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简下列各式并在图中标出化简后的向量： 训练 返回导航 返回导航 第三部分 知识点三　空间向量的数乘运算及共线向量 1．数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个______，称为空间向量的数乘 几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的____倍 λ＜0 λa与向量a的方向______ λ＝0 λa＝0 运算律(λ，μ∈R) 结合律 λ(μ a)＝______ 分配律 (λ＋μ)a＝________λ(a＋b)＝_______ 向量 相同 相反 |λ| (λμ)a λa＋μa λa＋λb 返回导航 2.共线向量 (1)向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使______． (2)空间直线的确定 在直线l上取______向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．这样，空间直线可以由直线上一点和它的____________确定． a＝λb 非零 平行 方向向量 返回导航 C　 返回导航 返回导航 －3 返回导航 返回导航 训练 A　 返回导航 返回导航 返回导航 知识点四　共面向量 第四部分 31 1．向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线 ________________或_____________，那么称向量a平行于平面α. 平行于平面α 在平面α内 返回导航 2．共面向量 定义 平行于同一个______的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使_________________ 提醒　已知e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，若xe1＋ye2＋ze3＝0(x，y，z∈R)，则x＝y＝z＝0. 平面 唯一 p＝xa＋yb 返回导航 例3　(1)若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列选项中不共面的一组向量为(　　) A．a－b，b＋c，c＋a B．－a＋c，－b－c，a＋b C．a＋b，b－c，a＋c D．a＋b，a－b，c D　 【解析】　对于A,a－b＋(b＋c)＝c＋a，所以a－b，b＋c，c＋a是共面向量； 对于B，－a＋c＋(－b－c)＝－a－b＝－(a＋b)，所以－a＋c，－b－c，a＋b是共面向量； 对于C，a＋b－(b－c)＝a＋c，所以a＋b，b－c，a＋c是共面向量； 对于D，令a＋b＝x(a－b)＋yc，显然x，y无解，故a＋b，a－b，c不是共面向量． 返回导航 返回导航 返回导航 A　 训练 返回导航 返回导航 返回导航 C　 课堂巩固自测 返回导航 2．(2026·盐城月考)向量a，b不平行，则存在两个非零常数λ，μ，使c＝λa＋μb是a，b，c共面的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　 返回导航 解析：充分性证明：由a，b不平行，c＝λa＋μb，则a，b，c必定共面，所以充分性成立；必要性证明：由a，b，c共面，且a，b不平行，当c，a共线时，μ＝0，则不存在两个非零常数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以必要性不成立．综上，向量a，b不平行，则存在两个非零常数λ，μ，使c＝λa＋μb是a，b，c共面的充分不必要条件． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：空间向量的有关概念、空间向量的线性运算、空间共线向量与共面向量、直线的方向向量． 2．须贯通：厘清空间向量的有关概念、空间向量的运算法则、利用空间向量解决三点共线及四点共面问题． 3．应注意：应抓住空间向量的“大小”和“方向”两个要素；向量共面与直线共面不同，不要混淆． 课堂小结 返回导航 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为_的向量 0 单位向量 模为_的向量 |a|＝1或 ||＝1 相反向量 与向量a长度______而方向______的向量，叫做a的相反向量 －a 特殊向量 定义 表示法 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_______________ 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a a∥b或 ∥ 相等向量 方向______且模______的向量 a＝b或 ＝ (1)单位向量有_________________________________________； (2)模为的向量有________个； (3)与相等的向量有__________________________________； 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运算 ＝_________＝a＋b 交换律：a＋b＝____________； 结合律： ______________ ＝a＋(b＋c) 减法运算 ＝_________＝a－b 【解】　因为＝，所以－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝. 【解析】　因为A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，又＝－＋＋t，即－＝－＋＋t， 即＝＋＋t， 所以＋＋t＝1，解得t＝. 证明：因为点E，H分别是AB，AD的中点， 所以＝，＝， ＝－＝－ ＝＝(－) ＝(－)＝， 所以∥且||≠||， 又F∉EH，所以四边形EFGH是梯形． $