综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层+综合卷实战模式，系统整合复数、向量、立体几何、圆锥曲线等模块，通过基础巩固与能力提升训练，培养抽象能力、空间观念和推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与向量|5题|侧重运算与坐标应用|复数运算与共轭复数概念关联，向量坐标运算推导模的计算| |立体几何|8题|空间关系判断与证明|线面平行垂直判定与空间角转化，体现空间观念| |圆锥曲线|7题|标准方程与性质应用|离心率、渐近线与标准方程生成关系，强化几何直观| |充要条件|2题|结合代数与几何情境|方程根与几何性质的逻辑推理，培养推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.计算5i·(4＋3i)·(4－3i)等于( ) A.125i B.－125i C.125 D.－125 2.复数z=－3i2＋2i的共轭复数等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.－3＋2i D.3－2i 3.已知向量a=(－2，1)，b=(－1，3)，则｜a＋b｜等于( ) A.(－3，4) B.5 C.7 D. 4.若直线a//平面，则a与内的所有直线都 ( ) A.平行 B.异面 C.不相交 D.不垂直 5.可分别用方程2x2－5x＋2=0的两个根作为离心率的圆锥曲线是 ( ) A.椭圆和双曲线 B.双曲线和抛物线 C.椭圆和抛物线 D.两条双曲线 6.已知抛物线C：y=4x2，则其焦点坐标为( ) A.(1，0) B.(2，0) C.(0，) D.(0，) 7.下列说法正确的是 ( ) A.零向量的长度不确定 B.模相等的两个向量是相等向量 C.平行向量的方向相同或相反 D.同向的两个向量是相等向量 8.双曲线－ =1的焦距是 ( ) A.6 B.3 C. D.2 9.下列说法正确的是 ( ) A.若直线l平行于平面内无数条直线，则l // B.若直线l垂直于平面内无数条直线，则 C.若平面内的所有直线都平行于平面，则// D.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则// 10.下列说法正确的是 ( ) A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与B1D所成的角的大小为 ( ) A. B. C. D. 12."－3≤a≤0"是"实系数一元二次方程(1－a)x2－ax＋1=0有虚根"的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知a，bR，则"ab=0"是"a2＋b2=0"的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD与BC1所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 15.有下列4个说法： ①若与共线，则A，B，C，D四点共线；②若四边形ABCD为平行四边形，则=； ③在四边形ABCD中，若=，且｜｜=｜｜，则四边形ABCD为菱形； ④"向量a与b方向相同且｜a｜=｜b｜"是"向量a=b"的充要条件. 其中，正确的是 ( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①③④ 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16.计算：－i＋＋i＋= . 17.若向量=(2，8)，=(－7，2)，则= . 18.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且经过点P(3，－4)，则双曲线的标准方程为 . 19.下列说法错误的是 .(填序号) ①三个点可以确定一个平面；②若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点； ③空间任意两条直线可以确定一个平面；④直线与一点可以确定一个平面. 20.若双曲线－ =1与椭圆＋ =1有相同的焦点，则双曲线的离心率为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.在平面直角坐标系中，已知向量=(1，1)，=(2，4)，=(3，2)，且四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标 22.求复数z=(m－1)＋(m2－2m－3)i在复平面内对应的点在直线2x－y=0上的充要条件. 23.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证： (1)直线EF // 平面BB1D1D； (2)平面AB1C平面DBB1D1. 24.已知抛物线x2=8y的准线过椭圆＋ =1(a>b>0)的一个焦点，且椭圆的离心率为，求该椭圆的标准方程. 25.若直线y=2x＋b被抛物线y2=4x所截得的线段AB=3，求实数b的值. 26.如图，已知在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，且SAAB，SAAC，AB= 2 cm，SC=5 cm.求： (1)点S到底面AC的距离； (2)二面角B－AS－C的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.计算5i·(4＋3i)·(4－3i)等于( ) A.125i B.－125i C.125 D.－125 【答案】A 解析：原式=5i·(4＋3i)·(4－3i)=5i·25=125i；故选A 2.复数z=－3i2＋2i的共轭复数等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.－3＋2i D.3－2i 【答案】D 解析：由题知z=－3i2＋2i=3＋2i，则=3－2i；故选D 3.已知向量a=(－2，1)，b=(－1，3)，则｜a＋b｜等于( ) A.(－3，4) B.5 C.7 D. 【答案】B 解析：由题知，a＋b=(－2，1)＋(－1，3)=(－3，4)，则｜a＋b｜==5；故选B 4.若直线a//平面，则a与内的所有直线都 ( ) A.平行 B.异面 C.不相交 D.不垂直 【答案】C 解析：若直线a//平面，则a与内的所有直线都不相交；故选C 5.可分别用方程2x2－5x＋2=0的两个根作为离心率的圆锥曲线是 ( ) A.椭圆和双曲线 B.双曲线和抛物线 C.椭圆和抛物线 D.两条双曲线 【答案】A 解析：由题得方程2x2－5x＋2=0得两根为2 =，根据圆锥曲线离心率的范围，则方程的两根分别对应椭圆和双曲线；故选A 6.已知抛物线C：y=4x2，则其焦点坐标为( ) A.(1，0) B.(2，0) C.(0，) D.(0，) 【答案】D 解析：由题知，抛物线的标准方程为x2=y，其焦点坐标为(0，)，又知2p=；解得p=，将p=代入焦点坐标得(0，)；故选D 7.下列说法正确的是 ( ) A.零向量的长度不确定 B.模相等的两个向量是相等向量 C.平行向量的方向相同或相反 D.同向的两个向量是相等向量 【答案】C 解析：选项A中，零向量长度为0，错误；选项B中，模相等方向不一定相同，不是相等向量，错误；选项C中，平行向量（共线向量）方向相同或相反，正确；选项D中，同向还需要模长相等才是相等向量，错误。故选C 8.双曲线－ =1的焦距是 ( ) A.6 B.3 C. D.2 【答案】A 解析：由题知，双曲线－ =1，可得=4，=5，则=＋=9，即c=3，焦距2c=6；故选A 9.下列说法正确的是 ( ) A.若直线l平行于平面内无数条直线，则l // B.若直线l垂直于平面内无数条直线，则 C.若平面内的所有直线都平行于平面，则// D.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则// 【答案】C 解析：选项A中，平面内无数条直线平行直线l，直线可在平面内，不能推出l // ；选项B中，垂直无数条平行直线不能证明线面垂直，必须垂直平面内两条相交直线；选项C中，一个平面内所有直线都平行另一平面，两平面无交点，面面平行，正确；选项D中，三点分居平面两侧时距离相等，平面相交，错误。故选C 10.下列说法正确的是 ( ) A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 【答案】C 解析：选项A中，三点共线时两平面可相交，错误；选项B中，只能作唯一一个平面，错误；选项C中，面面平行性质：一个平面内任意直线都平行另一平面，正确；选项D中，两平面内直线可能异面，不一定平行，错误。故选C 11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与B1D所成的角的大小为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析：由题知，正方体对角线ACB1D，异面直线夹角为90°= ；故选D 12."－3≤a≤0"是"实系数一元二次方程(1－a)x2－ax＋1=0有虚根"的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 解析：由实系数一元二次方程(1－a)x2－ax＋1=0有虚根，得， 解得－2－< a <－2＋，则"－3≤a≤0"是"实系数一元二次方程(1－a)x2－ax＋1=0有虚根"的充分不必要条件；故选A 13.已知a，bR，则"ab=0"是"a2＋b2=0"的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 【答案】B 解析：由题知a2＋b2=0a=0且b=0，一定满足ab=0；ab=0只需要其一为0，不能推出同时为0。故ab=0a2＋b2=0的必要不充分条件；故选B 14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD与BC1所成角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】B 解析：正方体中AD // BC，△BCC1为等腰直角三角形，BC与BC1夹角45°，即 AD与BC1所成角45°，故选B 15.有下列4个说法： ①若与共线，则A，B，C，D四点共线；②若四边形ABCD为平行四边形，则=； ③在四边形ABCD中，若=，且｜｜=｜｜，则四边形ABCD为菱形； ④"向量a与b方向相同且｜a｜=｜b｜"是"向量a=b"的充要条件. 其中，正确的是 ( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①③④ 【答案】C 解析：若与共线，直线AB和CD可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，因此①错误；若四边形ABCD为平行四边形，则与方向相反，因此②错误；若=，只能是平行四边形，再加邻边模相等才是菱形，因此③正确；向量a=b等价需满足：方向相同＋模长相等，充要条件，因此④正确；故选C 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16.计算：－i＋＋i＋= . 【答案】(＋＋)＋(－)i 解析：原式=－i＋＋i＋=(＋＋)＋(－)i 17.若向量=(2，8)，=(－7，2)，则= . 【答案】(－3，－2) 解析：由题知，向量=(2，8)，=(－7，2)，则=－=(－9，－6)，故=(－9，－6)=(－3，－2) 18.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且经过点P(3，－4)，则双曲线的标准方程为 . 【答案】－ =1 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为y=±x，分2种情况讨论：①焦点在x轴：设方程为－ =1，且过点(3，－4)，解得t=－14（舍去）；②焦点在y轴：－ =1，且过点(3，－4)，解得t=14； 故双曲线的标准方程为－ =1 19.下列说法错误的是 .(填序号) ①三个点可以确定一个平面；②若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点； ③空间任意两条直线可以确定一个平面；④直线与一点可以确定一个平面. 【答案】①③④ 解析：①三点共线不能确定平面，错误;②平面公理:两平面有一个公共点，则交于过该点一条直线，无数公共点，正确;③空间异面直线不能确定平面，错误;④直线+直线上一点不能确定平面，错误。故说法错误得是①③④ 20.若双曲线－ =1与椭圆＋ =1有相同的焦点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 解析：由题椭圆＋ =1知，焦点在x轴上，c=4，则焦点坐标为(4，0)，且知双曲线－ =1与椭圆焦点相同，可得＋9==16，解得a=，即双曲线的离心率e= = 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.在平面直角坐标系中，已知向量=(1，1)，=(2，4)，=(3，2)，且四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标 【答案】(2，－1) 解析：由题意，可得点A，B，C的坐标分别为A(1，1)， B(2，4)，C(3，2). 设点D的坐标为D(a，b)，且知四边形ABCD为平行四边形， 可得=， 即(1，3)=(3 －a，2－b)， 解得a=2，b=－1 故点D的坐标为(2，－1). 22.求复数z=(m－1)＋(m2－2m－3)i在复平面内对应的点在直线2x－y=0上的充要条件. 【答案】充要条件是m=2±. 解析：由题意知，复数z=(m－1)＋(m2－2m－3)i在复平面内对应的点的坐标为 (m－1，m2－2m－3). 且知复数z在复平面内对应的点在直线2x－y=0上， 则2(m－1)=m2－2m－3，整理得m2－4m－1=0 解得m=2±， 即复数z=(m－1)＋(m2－2m－3)i在复平面内对应的点在直线2x－y=0上的充要条件是 m=2±. 23.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证： (1)直线EF // 平面BB1D1D； (2)平面AB1C平面DBB1D1. 【答案】略 解析：(1)如图，取CD的中点G，连接EG，FG. 在正方体中，E，F分别是BC，C1D1的中点， EG//BD，FG//DD1. 又EGFG=G，BDDD1=D， 平面BB1D1D // 平面EFG. EF平面EFG， 直线EF // 平面BB1D1D. (2)由题知ABCD－A1B1C1D1是正方体， ACBD，BB1平面ABCDBB1AC， BDBB1=B，. AC平面DBB1D1， 又:AC平面AB1C， 平面AB1C平面DBB1D1. 24.已知抛物线x2=8y的准线过椭圆＋ =1(a>b>0)的一个焦点，且椭圆的离心率为，求该椭圆的标准方程. 【答案】＋ =1 解析：由抛物线x2=8y，可知其准线方程为y=－2. 又抛物线x2=8y的准线过椭圆＋ =1(a>b>0)的一个焦点， 椭圆的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，焦距2c=4. 椭圆的离心率为e=，即 = ， 解得a=4. b= =2. 故该椭圆的标准方程为＋ =1 25.若直线y=2x＋b被抛物线y2=4x所截得的线段AB=3，求实数b的值. 【答案】4 解析：由题知联立抛物线与直线方程得 ，整理得：4＋(4b4)x＋=0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 由韦达定理，得 ， 则｜AB｜=· =· 解得b=－4. 26.如图，已知在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，且SAAB，SAAC，AB= 2 cm，SC=5 cm.求： (1)点S到底面AC的距离； (2)二面角B－AS－C的大小. 【答案】(1)3 (2)45° 解析：(1)由题知SAAB，SAAC，ABAC=A， SA平面ABCD，即SA为顶点S到底面AC的距离. 四边形ABCD是正方形，且AB=2cm， AC=4 cm. 在Rt△SAC中，且知SC=5 cm， SA=3cm 即顶点S到底面AC的距离为3cm. (2)由(1)知SA平面ABCD， SAAB，SAAC， 即BAC是二面角B－AS－C的平面角. 易得BAC=45°， 即二面角B－AS－C为45°. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $