综合测试卷（三）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材章节，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合，系统覆盖向量、圆锥曲线、复数、立体几何等核心知识，强化概念应用与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-8题、填空16-18题|侧重概念判断与基本运算，如双曲线焦点条件、向量共线、复数虚部|以定义为起点，如向量模长公式推导数量积，圆锥曲线定义推导方程| |综合应用|解答21-26题|强调知识整合与逻辑证明，如向量共线垂直应用、立体几何线面关系证明|基础概念为综合应用奠基，如向量运算支撑立体几何空间角计算，复数性质解决方程问题|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1."mn>0"是"方程－ =1表示焦点在x轴上的双曲线"的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 解析：方程－ =1表示焦点在x轴上的双曲线，则要求m>0，n>0，可推出mn>0;但mn>0无法推出方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以是必要不充分条件.故选C. 2.已知向量a=(3，1)，b=(x，3)，且a // b，则x的值是 ( ) A.1 B.6 C.9 D.12 【答案】 解析：由题知a // b，则有3×3－x=0，解得x=9.故选C. 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( ) A.＋ =1 B.＋ =1 C.＋ =1 D.＋y2 =1 【答案】B 解析：由题意得c=1，e=，a==2，从而=－=3，又焦点在x轴，所以椭圆的方程为＋=1.故选B. 4.已知z=(1＋i)2，则z的虚部为 ( ) A.2 B.－2 C.2i D.－2i 【答案】A 解析：由题知z=(1＋i)2=2i，即虚部为2.故选A. 5.已知两直线m，n与平面，若m，n //，则直线m，n的关系一定成立的是 ( ) A.m与n是异面直线 B.m // n C.m与n是相交直线 D.mn 【答案】D 解析：m与n可能相交也可能异面，A，C错误;由题可判断直线m，n垂直.故选D. 6.抛物线y=－x2的焦点坐标为 ( ) A.(－，0) B.(－4，0) C.(0，－) D.(0，－2) 【答案】D 解析：将抛物线转化为标准方程x2= －8y，所以焦点坐标为(0，－2).故选D. 7.已知单位向量a，b满足｜a－b｜=1，则a·b= ( ) A. B.0 C.1 D. 【答案】A 解析：由题知1==a2－2a·b＋b2，因为向量a，b是单位向量，所以2－2a·b=1，所以 a·b=.故选A. 8.已知复数z满足z=i(1＋i)(1－i)，则｜z｜= A. 1 B.2 C. D.4 【答案】B 解析：由题知z=i(1＋i)(1－i)=i(1－i2)=2i，｜z｜==2.故选B. 9.点A是双曲线－ =1上一点，点A到靠近A的双曲线焦点F1的距离为6，设另一焦点为F2，则△AF1F2的周长为 ( ) A.28 B.19 C. 14 D. 25 【答案】A 解析：由双曲线的定义可知｜AF2｜－｜AF1｜=2a=6，所以｜AF2｜=12，由题意可得c==5，所以周长为6＋12＋2×5=28.故选A. 10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA底面ABC，PA=AC，则直线PC与平面ABC所成角的大小为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 解析：因为PA底面ABC，所以PA AC，则AC为PC在平面ABC上的投影，直线PC与平面ABC所成角即为PCA，又PA=AC，所以 △PAC是等腰直角三角形，PCA=45°.故选B. 11.若z＋=6，z·=10，则z= ( ) A.1±3i B.3＋i C.3±i D.3－i 【答案】C 解析：设z=a＋bi，则由题得，解得，即z=3±i.故选C. 12.已知椭圆＋ =1(a>b>0)的离心率，则椭圆＋ =1的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 解析：由题意得= =，所以b2=a2，从而椭圆＋ =1的离心率为==，故选C. 13.已知向量，的夹角为60°，｜｜=｜｜=2，若=2＋，则△ABC为 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 解析：由题设不妨设A(2，0)，B(1，)，那么=2＋=(5，)，所以C(5，)，从而可以求出三角形三边长分别为2，4，2，所以 △ABC是一个含有60°角的直角三角形.故选A. 14.设，，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列命题正确的个数是( ) ①若，，则//；②若m，n，m //，n //，则//；③若//，l，则l //；④若=l，=m，=n，l //，则m // n. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 解析：三个互相垂直的平面可满足，，①错误;平面内相交的两条直线平行于另一平面可推出面面平行，②错误;由面面平行的定义可知平行于中的所有直线，③正确;因为l //，m，n，所以l // m，l // n，则m//n，④正确.故选B. 15.已知－1＋2i是实系数方程x2＋ax＋5=0的一个根，则a= ( ) A.4 B.2 C. D.2 【答案】B 解析：因为实系数二元一次方程的两个虚根共轭，所以－1－2i也是方程的根，由韦达定理可知a=－(－1＋2i－1－2i)=2.故选B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16.已知向量a=(－2，m)，b=(1，)，mR，则"m=2"是"ab”的 条件(填"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要"). 【答案】充分不必要条件 解析：若ab，则有－2＋ =0，解得m=±2，所以"m=2"是"ab"的充分不必要条件. 17.已知抛物线y2=4x上一点M与焦点的距离为6，则点M的横坐标为 . 【答案】5 解析：抛物线的准线为x=－1，由抛物线定义可知，点M到x=－1的距离为6，故点M的横坐标为5. 18.若复数z=2＋i，则｜＋2i｜= . 【答案】 解析：由题知=2－i，则＋2i=2－i＋2i=2＋i，即｜＋2i｜==. 19.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与A1C垂直的面对角线的条数是 . 【答案】6 解析：所有面对角线中，A1D，B1C，A1B，D1C， BD，B1D1这六条面对角线与A1C垂直. 20.i是虚数单位，则(1＋2i)(3－i)＋(2＋2i)·i= . 【答案】3＋7i 解析：原式=(1＋2i)(3－i)＋(2＋2i)·i=3＋5i＋2＋2i－2=3＋7i. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.已知向量a，b为两个不共线向量，｜a｜=2，｜b｜=1，c=2a－b，d=a＋kb. (1)若c // d，求实数k的值； (2)若k=－7，且cd，求向量a，b的夹角. 【答案】(1)－ (2)60° 解析：(1)由题知向量a，b为两个不共线向量，若c // d，则要求c=d， 即， 解得 (2)若cd，则有c·d=0， 即0=(2a－b)·(a－7b)=2a2－15a·b+7b2=15－15a·b， 解得a·b=1， cos<a，b>= = 故向量a，b夹角为60°. 22.已知双曲线 － =1(a>0，b>0)的离心率e=2，与椭圆＋ =1有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线方程. 【答案】(1)x2－=1 (2)y=±x 解析：(1)由椭圆中知c==2， 则椭圆焦点为(±2，0)，即双曲线的焦点为(±2，0)， 又知在双曲线中离心率e==2，则a=1 由b2=c2－a2=3， 故双曲线的方程为x2－=1. (2)由(1)中得双曲线的标准方程为x2－=1，可知焦点落在x轴 则渐近线为y=±x=±x. 故双曲线渐近线方程为y=±x 23.如图:已知四棱锥P－ABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证: (1)PC //平面EBD； (2)BC平面PCD. 【答案】(1)略 (2)略 解析：(1)连结AC，交BD于点O，连结OE. 底面ABCD是正方形， 对角线的交点O是AC中点， 又点E是PA中点， EO//PC， 又EO平面EBD，PC不在平面 EBD内， PC//平面EBD. (2)PD平面ABCD， PDBC， 又由 四边形ABCD是正方形 可知BCCD，CDPD=D， BC平面PCD. 24.已知关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个虚根x1，x2，且(1－3ai)i=c＋ai (i为虚数单位)，｜x1－x2｜=1，求实数b的值. 【答案】b=± 解析：由题知(1－3ai)i=c＋ai整理得3a＋i=c＋ai， 则a=1，c=3a=3， 设该一元二次方程的两个根分别为m＋ni，m－ni(n>0)， 由|x1－x2|=1可得2n=1，即n=， 又(m＋ni)(m－ni)==3， 解得m=±. 由韦达定理m＋ni＋m－ni=－ 解得b=± 25.已知点A(1，－2)和向量a=(2，3). (1)若向量与向量a同向，且=2，求点B的坐标； (2)若向量a与向量b=(－3，k)的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)(5，4) (2)(－∞，－)(－，2) 解析：(1)设B(x，y)，则=(x－1，y＋2)， 由题意得， 解得或 由于向量与向量a同向，仅保留 故点B的坐标为(5，4). (2)由题意知向量a，b夹角是钝角，可得得a·b<0， 即－6＋3k<0， 解得k<2; 又知a与b不平行，即2k≠－9， 解得k≠－ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－)(－，2). 26.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，ABC=60°. (1)证明：ABA1C； (2)求二面角A－A1C1－B的余弦值. 【答案】(1)略 (2) 解析：(1)证明:由直三棱柱可知，AA1平面ABC，并且由题所给数据可得， △ABC是以BAC为直角的直角三角形， ABAC， 又由AA1平面ABC，可得AA1AB，又 AA1AC=A， AB平面AA1C1C 又 A1C平面AA1C1C， 即ABA1C. (2)同(1)证明可得A1C1平面ABB1A1， 又由结合直三棱柱的性质，有BA1A1C1，AA1A1C1， 二面角A－A1C1－B的大小等于BA1A. 在△BAA1中，AB=1，AA1=，A1AB=90°， BA1A=30° 即cosBA1A= 故余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1."mn>0"是"方程－ =1表示焦点在x轴上的双曲线"的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知向量a=(3，1)，b=(x，3)，且a // b，则x的值是 ( ) A.1 B.6 C.9 D.12 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( ) A.＋ =1 B.＋ =1 C.＋ =1 D.＋y2 =1 4.已知z=(1＋i)2，则z的虚部为 ( ) A.2 B.－2 C.2i D.－2i 5.已知两直线m，n与平面，若m，n //，则直线m，n的关系一定成立的是 ( ) A.m与n是异面直线 B.m // n C.m与n是相交直线 D.mn 6.抛物线y=－x2的焦点坐标为 ( ) A.(－，0) B.(－4，0) C.(0，－) D.(0，－2) 7.已知单位向量a，b满足｜a－b｜=1，则a·b= ( ) A. B.0 C.1 D. 8.已知复数z满足z=i(1＋i)(1－i)，则｜z｜= A. 1 B.2 C. D.4 9.点A是双曲线－ =1上一点，点A到靠近A的双曲线焦点F1的距离为6，设另一焦点为F2，则△AF1F2的周长为 ( ) A.28 B.19 C. 14 D. 25 10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA底面ABC，PA=AC，则直线PC与平面ABC所成角的大小为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 11.若z＋=6，z·=10，则z= ( ) A.1±3i B.3＋i C.3±i D.3－i 12.已知椭圆＋ =1(a>b>0)的离心率，则椭圆＋ =1的离心率为 ( ) A. B. C. D. 13.已知向量，的夹角为60°，｜｜=｜｜=2，若=2＋，则△ABC为 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 14.设，，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列命题正确的个数是( ) ①若，，则//；②若m，n，m //，n //，则//；③若//，l，则l //；④若=l，=m，=n，l //，则m // n. A.1 B.2 C.3 D.4 15.已知－1＋2i是实系数方程x2＋ax＋5=0的一个根，则a= ( ) A.4 B.2 C. D.2 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16.已知向量a=(－2，m)，b=(1，)，mR，则"m=2"是"ab”的 条件(填"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要"). 17.已知抛物线y2=4x上一点M与焦点的距离为6，则点M的横坐标为 . 18.若复数z=2＋i，则｜＋2i｜= . 19.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与A1C垂直的面对角线的条数是 . 20.i是虚数单位，则(1＋2i)(3－i)＋(2＋2i)·i= . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.已知向量a，b为两个不共线向量，｜a｜=2，｜b｜=1，c=2a－b，d=a＋kb. (1)若c // d，求实数k的值； (2)若k=－7，且cd，求向量a，b的夹角. 22.已知双曲线 － =1(a>0，b>0)的离心率e=2，与椭圆＋ =1有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线方程. 23.如图:已知四棱锥P－ABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证: (1)PC //平面EBD； (2)BC平面PCD. 24.已知关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个虚根x1，x2，且(1－3ai)i=c＋ai (i为虚数单位)，｜x1－x2｜=1，求实数b的值. 25.已知点A(1，－2)和向量a=(2，3). (1)若向量与向量a同向，且=2，求点B的坐标； (2)若向量a与向量b=(－3，k)的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 26.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，ABC=60°. (1)证明：ABA1C； (2)求二面角A－A1C1－B的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $