精品解析：河南省叶县高级中学2026-2027学年高二上学期开学摸底考试数学试题

河南省叶县高中2026-2027学年高二上学期开学摸底考试 数学试题 （考试范围：人教A版必修二和选择性必修一前两章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 则，， 所以在上的投影向量为. 2. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3. 样本数据的60%分位数为（ ） A. 4.0 B. 4.1 C. 4.2 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【详解】将这组数据升序排列为：. 因，则60%分位数为第个数. 4. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第二次取到红球，可分为两种情况：第一次取到红球、第二次再取到红球；或第一次取到绿球、第二次取到红球.利用分步概率相加即可. 【详解】设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则. 因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，. 故. 【点睛】求“不放回抽取”中的某一步事件概率时，可按前一步分类讨论，也可利用对称性：第二次取到红球的概率等于总体中红球所占比例. 5. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 6. 如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 设 ， 由知： ，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以  为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为  轴建立空间直角坐标系， 又， 可得 ，，，，， 则 ， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与 所成角的余弦值为 . 7. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以， 故选：A． 8. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可. 【详解】因为，是圆上的两个动点， 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则与可能相交 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系，及面面平行、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，可得，异面或平行，错误； 对于B，因为，， 所以，又，所以，正确； 对于C，由，，可得与相交或平行，正确； 对于D，由，，可得或相交或，错误. 10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C：与圆外离 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 11. 若是空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理及基底的定义逐项判断即可. 【详解】对于 A ，假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面，可以作为空间一组基底，A 正确； 对于 B， 假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底，B正确； 对于C， ，共面，不能作为空间一组基底， C 错误； 对于D，假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面，可以作为空间一组基底， D 正确； 故选：ABD 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分，可得，从而. 【详解】由题意，，，. 因为四边形为平行四边形，所以，即. 代入得，故点D对应的复数为. 【点睛】本题考查复数与平面向量的对应关系，解决平行四边形中的复数问题，可把复数看成点的坐标，利用进行计算. 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率公式求出，再结合相互独立事件的概率乘法公式计算； 【详解】因为随机事件与对立，根据对立事件的概率性质，得：， 因为与相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式，得： 故答案为：. 14. 已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由直线，得，解得，所以． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 直接利用正弦定理边化角进行运算； (2) 运用正弦定理将面积转化成角的正切值，再根据锐角三角形求出角的范围，从而求出三角形面积的范围. 【小问1详解】 因为，，所以， 即，根据正弦定理得，因为， ，所以，根据二倍角公式得，因为，，所以，即， . 【小问2详解】 因为，，所以面积， 根据正弦定理，代入得，又， 所以， 所以面积，因为，所以， 即，又为锐角三角形，所以，代入解得，，所以面积. 16. 用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数； （2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和. 求总样本的平均数和方差. 【答案】（1）， （2）人 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及上四分位数的定义计算可得； （2）先计算样本中成绩“优秀”的频率，再估计总体中成绩“优秀”的频率，进而可得成绩优秀的人数. （3）直接根据分层抽样中，由各层的平均数及方差计算总体的平均数及方差可得. 【小问1详解】 因为，所以. 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此上四分位数一定在内．设为，则，解得， 所以估计上四分位数约为. 【小问2详解】 样本中成绩不低于分的频率为，所以总体中成绩不低于分的频率为. 高一年级男生总人数为，所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：， 因此估计高一年级男生中成绩优秀人数为人. 【小问3详解】 因为男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为， 设总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为和． 17. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且． （1）证明：； （2）当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接AG，，． 在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以． 因为G，F分别是BC，AB的中点，所以， 即，进而. 因为，所以，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， . 设为平面CEF的法向量， 因为，， 所以令，则． 因为平面CEF，所以，解得， 所以． 设直线EH与平面CEF所成的角为θ， 则， 即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案； （2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案. 【小问1详解】 由题可得中线，与边上的高线均过A点， 则A点坐标满足：，解得. 又，则，从而AB方程为： 【小问2详解】 设，由题可得中点在上， 则.边与其高线垂直，斜率为1， 则.将两方程化简联立：，则. 从而，其中， 表示到BC距离，又BC 方程斜率为，BC方程为：， 则，. 19. 已知圆． （1）若直线与圆C相交于A，B两点，求； （2）自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 圆化成标准方程为，圆心，半径， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则. 【小问2详解】 圆心关于轴的对称点， 又入射光线经过点，故入射光线的斜率为， 由点斜式得，即， 故入射光线所在的直线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中2026-2027学年高二上学期开学摸底考试 数学试题 （考试范围：人教A版必修二和选择性必修一前两章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据的60%分位数为（ ） A. 4.0 B. 4.1 C. 4.2 D. 4.5 4. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 8. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则与可能相交 D. 若，，则 10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆在点处的切线方程为 B. 直线与圆相切 C. 直线截圆所得的弦长为 D. 圆C：与圆外离 11. 若是空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______. 13. 已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________. 14. 已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16. 用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数； （2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和. 求总样本的平均数和方差. 17. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且． （1）证明：； （2）当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）求的面积. 19. 已知圆． （1）若直线与圆C相交于A，B两点，求； （2）自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $