综合测试卷（四）-《数学 基础模块上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本专项通过AB卷分层训练与综合卷实战模拟，构建基础巩固到能力提升的知识网络，聚焦核心素养中数学思维的逻辑推理与数学语言的应用表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|15题|覆盖集合、不等式、函数性质等基础概念，侧重概念辨析与计算|从集合元素个数到函数奇偶性判断，形成“概念定义-性质推导-简单应用”逻辑链| |解答题|4题|含函数定义域、不等式解集、扇形应用及二次函数综合题，强调实际情境转化|以函数与不等式为核心，串联三角函数（扇形）与最值问题，体现“数学眼光观察现实-数学思维分析问题-数学语言表达结论”的完整过程|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．不等式的解集是（    ）． A． B． C．或 D．或 3．若，则有下列不等式：①；②；③；④;⑤.其中恒成立的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．函数（且）的值域是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 6．若对于任意实数都有，则有 （    ） A． B． C． D． 7．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．下面各组函数中是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．若三角形的两内角满足，则此三角形必为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 10．函数的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有错选或少选的得0分). 11．下列属于第二象限的角有（    ） A． B． C． D． 12．下列说法正确的是（    ） A．集合是无限集 B．若，则 C．若，则 D．集合与集合没有相同的子集 13．已知角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 14．已知是定义在R上的偶函数，且，当时，函数单调递增，则下列选项中正确的有（    ） A．该函数图像关于轴对称 B．当时，函数单调递减 C． D． 15．若函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，则下列选项正确的有（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．下列对象能组成集合的是__________. ①比较小的数；②不大于10的非负偶数；③所有三角形；④高个子男生 17．当时，__________ （用符号“>”“<”或“=”填空） 18．不等式的解集是__________. 19．计算： ___________. 20．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．不等式的解集是，求的值. 22．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)计算和的值； (3)当时，求的值. 23．解答下列问题： 南朝乐府民歌子夜四时歌之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图，展开的折扇可看作一个扇形. （1）若扇形的圆心角，半径，求该扇形的弧长； （2）某职校艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是多少？ 24．已知二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上． （1）求的解集； （2）设，对任意的，恒大于，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知集合，，则集合中元素的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用集合的运算求交集即可. 【详解】， 则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，...， 所以，， 则，有两个元素； 故选：D. 2．不等式的解集是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】已知不等式，可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 3．若，则有下列不等式：①；②；③；④;⑤.其中恒成立的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据特殊值和不等式的性质判断即可. 【详解】①当时，满足， 但，故不成立； ②因为，所以，成立； ③当时，才成立， 故时，不一定成立； ④因为，所以， 移项可得，所以成立； ⑤当时，满足， 但，所以不成立； 所以不等式中恒成立的个数为2个. 故选：B. 4．函数（且）的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，进而求其值域即可. 【详解】函数（且）的定义域为， 故函数的值域为. 故选：C. 5．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性单调性逐个分析即可. 【详解】为增函数，故A错误. 为偶函数，故B错误. 为奇函数，在为减函数或在为减函数， 但在定义域上不是单调函数，故C错误. 为奇函数，且在定义域内为减函数，故D正确. 故选：D. 6．若对于任意实数都有，则有 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用代换把选项形式统一，利用二次函数的对称性和单调性直接比较大小即可. 【详解】由知，二次函数图像关于直线对称， 所以，而，即有.又二次函数图像开口向上， 函数在上单调递增，所以，即. 再由二次函数图像开口向上，关于对称可得：时，函数取得最小值，所以. 故选：B. 7．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解. 【详解】当时，函数， 若函数当时，， 当时，，此时函数的最大值为4，符合要求， 当时，在上单调递减，故， 若有最大值，则，则， 综上可知， 故选：B 8．下面各组函数中是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】依次判断两个函数的定义域、值域和对应关系是否相同，据此判断它们是否为同一个函数即可求解. 【详解】对于A选项，与的对应法则不相同，不是同一函数，故A选项错误； 对于B选项，与的定义域，对应法则均不同，不是同一函数，故B选项错误； 对于C选项，与的定义域和对应法则都相同，是同一函数，故C选项正确； 对于D选项，由解得，所以函数的定义域为，由解得或，所以的定义域为或，所以两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故D选项错误. 故选：C. 9．若三角形的两内角满足，则此三角形必为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】根据题意，易得，结合三角函数值在各象限的符号，即可判断求解. 【详解】因为是三角形的内角， 所以，所以， 又， 所以，所以， 所以此三角形必为钝角三角形. 故选：B. 10．函数的最大值是 （   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由正弦函数的图像和性质即可得解. 【详解】函数， ∵， ∴当时，函数取得最大值 . 故选：D. 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，有错选或少选的得0分). 11．下列属于第二象限的角有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据象限角的概念即可求解. 【详解】对A：，因为为第二象限角，所以属角于第二象限，故A项正确； 对B：是第一象限角，故 B项错误； 对C：是第四象限角，故C项错误； 对D：是第二象限角，故D项正确. 故选：AD. 12．下列说法正确的是（   ） A．集合是无限集 B．若，则 C．若，则 D．集合与集合没有相同的子集 【答案】ABC 【分析】由集合的概念、子集的概念及不等式的基本性质即可得解. 【详解】A，因为，所以集合是无限集，故A正确； B，，因为，所以，故，故，故B正确； C，由子集的性质可知，C正确； D，集合与集合有公共的子集为，故D错误. 故选：ABC. 13．已知角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断. 【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确； ，C正确； ，D错误. 故选：ABC 14．已知是定义在R上的偶函数，且，当时，函数单调递增，则下列选项中正确的有（    ） A．该函数图像关于轴对称 B．当时，函数单调递减 C． D． 【答案】ABD 【详解】A：是定义在R上的偶函数，则其图像关于轴对称，A正确； B：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反， 已知时，单调递增，则时，单调递减，B正确； C：偶函数满足，不一定有， 如是偶函数，满足题中条件，但，C错误； D：是定义在R上的偶函数，由偶函数性质得， 又时，单调递减，且， 故，即，D正确. 故选：ABD. 15．若函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，则下列选项正确的有（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数的图像与性质分别对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A：当时，，故，该选项正确， 选项B：，该选项正确， 选项C：，该选项正确， 选项D：函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，如图阴影部分，    根据图像的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形的面积， 因为，所以阴影部分的面积，该选项错误， 故选：ABC. 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．下列对象能组成集合的是__________. ①比较小的数；②不大于10的非负偶数；③所有三角形；④高个子男生 【答案】②③ 【分析】根据集合对象的确定性易判断答案. 【详解】①比较小的数,集合对象是不确定的,所以不能组成集合, ②不大于10的非负偶数,集合对象是确定的,所以能组成集合, ③所有三角形,集合对象是确定的,所以能组成集合, ④高个子男生,集合对象是不确定的,所以不能组成集合. 故答案为:②③. 17．当时，________ （用符号“>”“<”或“=”填空） 【答案】< 【分析】根据作差比较法比较两个实数的大小. 【详解】由，因为， 所以，即，. 故答案为：<. 18．不等式的解集是____________________ 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 19．计算： ___________. 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 20．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 【答案】 /2.5 【分析】先根据已知条件建立窗户透光面积关于窗框长或宽的函数表达式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时对应的长和宽. 【详解】设窗框的宽为米， 因为铝合金材料总长为米，所以长为 ， 由且，得， 所以窗户的透光面积关于的函数表达式为： ， 所以当时，有最大值，此时长为（）. 故答案为：，. 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．不等式的解集是，求的值. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式及一元二次方程间的关系可求解. 【详解】由题意可知，和4是方程的两个实根， 由根与系数的关系可知： ，解得， 所以. 22．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)计算和的值； (3)当时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由分母不为零列不等式求解； （2）将分别代入函数解析式求值即可； （3）令，解方程即可. 【详解】（1）由分母不为零得，即. ∴函数的定义域为. （2），. （3）令，则， 即，即，解得. 23．解答下列问题： 南朝乐府民歌子夜四时歌之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图，展开的折扇可看作一个扇形. （1）若扇形的圆心角，半径，求该扇形的弧长； （2）某职校艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积为1平方米. 【分析】（1）将圆心角由角度制转化为弧度制，代入弧长公式即可得解. （2）根据题意结合扇形面积公式得出扇形面积解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】 （1）因为将转化为弧度制为， 则弧长为. （2）由题意得，则， 扇形的面积， 所以当时，有最大值1， 此时，， 所以当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积为1平方米. 24．已知二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上． （1）求的解集； （2）设，对任意的，恒大于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据函数的交点求出，再解一元二次不等式易得答案； （2）根据二次函数的最值和正弦函数的最值易得答案. 【详解】（1）因为二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上， 所以， 所以二次函数过，因为， 所以， 所以， 所以， 解得或， 所以的解集为； （2）因为， 所以的最大值为， 因为， 所以的最小值为， 因为对任意的，恒大于， 所以， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $