专题12 直线与圆（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦上海高考直线与圆两大核心考点，以真题研析为载体，提炼公式活用与方程互化方法，构建“考情-真题-模拟”三阶训练体系，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情概览|1|重公式活用轻复杂运算，聚焦圆的一般方程|以点到直线距离、圆的一般方程为核心，构建“概念-公式-应用”逻辑链| |真题研析|3|一般式与标准式互化，结合几何图形转化条件|通过正方形、三角形等情境，体现代数运算与几何直观的融合| |真题精炼|2|直接套用公式，符号与配方易错点警示|强化公式记忆与基础代数计算，巩固核心考点| |模拟探源|14|对称、垂直等位置关系转化，阿氏圆等模型应用|拓展方程互化与距离公式的迁移应用，培养模型观念|

专题12 直线与圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 （1）重公式活用、轻复杂运算：整体计算量小，但符号、配方易错，是主要失分点； （2）聚焦一般方程：区别于全国卷，上海高考重点考查圆的一般方程，侧重一般式与标准式的互化，不局限于标准方程直接套用； （3）考点固定不偏移：三年仅围绕“点到直线距离、圆的一般方程”两大核心，无冷门拓展考点。 点到直线的距离 2026春考第4题 2025秋考第15题 求圆的一般方程 2025春考第12题 2024春考第11题 直接考查公式代入运算，无情境包装，直接给出点坐标与直线方程，只需套用 计算，侧重公式记忆与基础代数计算。 考向一 点到直线的距离 典例1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 考向一 点到直线的距离 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 考向二 求圆的一般方程 2．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 3．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 二、填空题 2．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 3．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 4．（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 6．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 7．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 8．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 9．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 10．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 11．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 12．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 13．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 14．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 直线与圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 （1）重公式活用、轻复杂运算：整体计算量小，但符号、配方易错，是主要失分点； （2）聚焦一般方程：区别于全国卷，上海高考重点考查圆的一般方程，侧重一般式与标准式的互化，不局限于标准方程直接套用； （3）考点固定不偏移：三年仅围绕“点到直线距离、圆的一般方程”两大核心，无冷门拓展考点。 点到直线的距离 2026春考第4题 2025秋考第15题 求圆的一般方程 2025春考第12题 2024春考第11题 直接考查公式代入运算，无情境包装，直接给出点坐标与直线方程，只需套用 计算，侧重公式记忆与基础代数计算。 考向一 点到直线的距离 典例1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 考向一 点到直线的距离 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 考向二 求圆的一般方程 2．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 二、填空题 2．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 3．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 4．（2026·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 6．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 7．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 8．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 9．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 10．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 11．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 12．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 13．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【详解】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 14．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $