25.3 第3课时 循环问题和数字问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第3课时 循环问题和数字问题 ①基础在线 知识要，点分类练 知识点1循环问题 1.（教材P23“探究3”变式)“村BA”是指乡村篮 球赛，近年来，“村BA”在多地火爆开展，已发 展成为一项全国性赛事.经过层层筛选，主办 方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置 了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比 赛)，已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参 知识点2数字问题 加比赛的球队有 ( ) 4.若一个数的平方的2倍等于这个数的8倍，则 A.9支 B.10支 这个数是 C.11支 D.12支 5.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 2.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群 4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位 规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证 数大4.设个位数字为x,则可列方程为() 群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的 A.x2+(x-4)2=10(x-4)十x-4 红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到 132个红包，设该群一共有x个人，则可列方 B.x2+(x-4)2=10(x-4)+x+4 程为 ) C.x2+(x-4)2=10x+x-4-4 A.x(x+1D=132 B.x(x。-1）=132 D.x2+(x+4)2=10(x+4)+x+4 2 2 6.直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系， C.x(x+1)=132 D.x(x-1)=132 在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达 3.问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握 哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4， 一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有 5,满足32+4=52，即前两个数的平方和等于 多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据 题意，可列方程： 第三个数的平方.请你探究：是否存在五个连 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶 续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个 点的线段叫作多边形的对角线，也都知道四边 数的平方和？若存在，请求出这五个正整数； 形的对角线有2条，五边形的对角线有5条. 若不存在，请说明理由。 (1)六边形的对角线有条，七边形的对角 线有条 (2)多边形的对角线可以有27条吗？如果可以， 求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由 21探究在线 九年级数学（上） ②能力在线沙方法规律综合练 =40.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是 …0 否正确； 7.D507是在北京与沈阳之间往返的一趟动车， (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适， 沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳 参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行 站)，针对此动车有72种不同行程的火车票， 了40场，求x的值. 每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有 x个火车停靠站，下列方程正确的是() A.x(x+1)=72 B.x(x-1)=72 C.2x(x+1)=72 D.2(x-1)=72 8.如图是某月的月历表，在此月历表上用一个矩 形圈出三行三列的9个数（如6,7,8,13,14， 15,20,21,22).若圈出的9个数中，最大数与 最小数的积为192，则这9个数的和为() 二三四五六 1234 56 7 891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 A.32 B.126 C.135 D.144 3 拓展在线》培优报尖提升练 9.(跨学科)小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇· 12.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会 赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄 徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了 为两位数，该数的十位数字比个位数字小3， 我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦” 个位数字的平方恰好等于该数.”若设周瑜去 是用我国古代的计数符号写出的八进制数 世时年龄的个位数字为x,则可列方程 3745.八进制是以8作为进位基数的数字系 统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745 10.徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼 换算成十进制数是3×83+7×82+4×8+5 ×8°=2021，表示ICME-14的举办年份 上，他向班级每位同学赠送了一张签名卡，每 (1)请把八进制数3747换算成十进制数； 位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡正好 (2)小华设计了一个n进制数265，换算成十 用完，则班级共有 名学生 进制数是145，求n的值(n为正整数). 11.九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环 赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛 1场)，嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场.” ICmE-14 当三军三 淇淇说：“你说得不对，按这个赛制不应该是 40场.”设有x人报名参加比赛 (1)依据两人对话，乐乐列出方程：2x(x一1) 第二十五章22则月销售利润为(40+10y)(200一20y)=9600, m=土√6. 解得y=2或y=4, ∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. 当y=2时，涨价10×2=20（元）；y=4时，涨价10×4= 解方程，得x1=一1，x2=4. 40(元). 故x2=4,m=士√6. 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元. (2)证明：方程(x一1)(x一2)=m2可化为x2一3x十2一m2 第3课时循环问题和数字问题 =0, 基础在线 ,△=4m2十1>0，.方程有两个不相等的实数根 1.C2.D 3.问题：，1)=45 由根与系数的关系，得x十x2=3,x1x2=2-m2, 2 (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=2-m2-3+1 拓展：(1)914 =-m2≤0， (2).每个顶点可以与(n一3)个顶点连接形成对角线， .(x1-1)(x2-1)≤0 .每个顶点可以形成(n一3)条对角线 8.C9.C10.3(x-1)x=6210 n边形的对角线数量为”3》条。 11.(1)设每轮传播中平均一个人感染x个人， 2 根据题意，得1十x十x(x十1)=100， 设多边形的边数为n,若对角线数量为27， 整理，得x2十2x-99=0, 可以得到方程n,3》=27,化简为m-31-54=0. 解得x1=9,x2=一11（不合题意，舍去）. 2 答：每轮传播中平均一个人感染9个人. 解得n=9或n=一6， (2)三轮传播后，被感染的人数为100十100×9= n为正整数，.n=9， 1000(人). 即多边形的边数为9. .1000>800 ∴多边形的对角线可以有27条 .被感染的人数会超过800人 4.0或45.D 6.假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a,则连 12.(1)设小正方形的边长为xcm,则礼盒底面的长是2(60 续的其他四个数分别为(a+1),(a+2),(a十3)，(a+4), 一2x)cm,即(30一x)cm,由题意，得 .a2+(a+1)2+(a十2)2=(a十3)2+(a十4)2，解得a 30一x=4x,解得x=6. 10或a=-2. ∴.长为30-6=24(cm),高为40-2×6=28(cm). ,这五个数为正整数， ∴.长方体礼品盒的体积为24×6×28=4032(cm3). ∴.a=10,.a+1=11,a+2=12,a+3=13,a+4=14. (2)设剪去的小正方形的边长为mcm,由题意，得 ∴.存在五个连续正整数，它们分别为10,11,12,13,14. (30-m)(40-2m)=750,解得m=5或m=45(舍去)， 能力在线 ∴.剪去的小正方形的边长为5cm. 7.B8.D9.x2=10(x-3)+x10.41 核心素养提升 11.(1)依题意，2x(x-1)=40, 13.B 第二十六章二次函数 .x(x-1)=80. 整理，得x2-x-80=0. 26.1二次函数的概念 基础在线 解得工=1±)32，不为整数， 2 1.A2.y=-x2+2x+1 .方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 3.(1)3(2)m≠5 故淇淇的说法是正确的 是否为 二次项 一次项 (2):有一人比赛了4场后退出比赛， 函数解析式 常数项 二次函数 系数 系数 由题意，得x-),x-2)+4=40, 2 y=-4x2+2x-3 是 一4 2 -3 整理，得x2-3x-70=0, y=-7+2x2 是 2 0 .(x-10)(x+7)=0. 解得x1=10,x2=-7(舍去)， y=x(x-1) 是 1 0 .x的值为10. y=(x+1)(x-1)-x 不是 拓展在线 12.(1)3747=3×83+7×82+4×8+7×8 5.S=-2x2+80x6.y=5000(1-x) =1536+448+32+7 7.S=6πr2 8.y=x2-x9.-310.1 =2023. 能力在线 (2)依题意，有2n2+6n+5=145, 11.B12.B13.y=(x+1)2 解得n=7,2=一10（负值舍去）. 14.(1)要使该函数为关于x的一次函数，则需满足 故n的值是7. (m2-m=2, 单元综合复习（一）一元二次方程 m-4)+2=0,解得m=2, 热门考点突破 故当m=2时，原函数为y=一3x一1，是一次函数， 1.A2.A (2)可分以下四种情况讨论： 3.(1)x1=-1,x2=-9.(2)x1=5,x2=-1. ①当m一4=0时，解得m=4; (3)函=号=-1.(4函=2，=号 ②当m-m=1时，解得m=1+5, 2 2； 4.C5.C6.1 ③当/m-m=2, 7.(1)把1=一1代入方程(x一1)(x一2)=m2,得m2=6. 1m-4+2≠0， 时，解得m=-1; 一探究在线·九 ④当m2-m=0时，解得m1=0,m2=1. :C2,1D,a×2=1,解得a=子 综上所述，当m的值为4或5或或-1或0或 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点 1时，它是y关于x的二次函数 时，a的取值范围是4≤a≤2。 15.(1)由题意，得 y=160+x-60)(50-)=100+x)(50-若 (2)a<0或0<a<或a>2 = 10x2+40x+500. 1 拓展在线 15.4√2n ∴y关于x的函数解析式为y= 10x2+40x+5000. 26.2.2二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十的图象和性质 1 (2)由(1)可得)y=-10x+40x+5000. 基础在线 1.C2.D3.(0,-3)减小 令y=8000,即-10x+40x+5000=8000, 4.>5.y=x2+2(答案不唯一) 6.A7.下6上(0，-6)y轴（或x=0)低 解得x1=100,x2=300. 8.2 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价 的2倍，且平时定价为160元， 9.1)列表描点、连线画图得y=合，y=合2十3，y .定价不能高于160×2=320（元） 当x=100时，定价为160+100=260（元）， 2x2-3的图象如图所示. ,260<320,∴.符合规定」 当x=300时，定价为160+300=460（元）， 460>320,.不符合规定，舍去. 答：每间房定价为260元时，宾馆每天可获利8000元. 拓展在线 4-352- 16.(1)运动开始后第4秒，△BPQ的面积等于10cm. (2)S=6×12-(6-0(6+0=合r+54, (2)①上y轴（或x=0)(0,0)②上y轴（或x=0) 其中0<t<6. (0,3)③上y轴（或x=0)(0,-3) 26.2 二次函数的图象和性质 (3)上3下3 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 能力在线 基础在线 10.C11.C12.D13.4-3 1.C2.C3.B 4.列表、描点、连线画出函数的图象如图。 14.D由题意，得84=5，解得a=3。 (从左至右，从上到下)820282 .02 2 a>0, (2)分两种情况：①{ a-2>0,无解； ②e020.每得-2a<0 故a的取值范围是一2<a<0. 15.(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4) (2),四边形ABCD为平行四边形， 7654 012345678x ∴.CD=AB=4,CD∥AB,.D(-4,4). 设平移后的抛物线解析式为y=一x2十4十m,将 (1)抛物线上y轴(0,0)减小增大0小0 D(一4,4)代入，得 (2)小 4=-(-4)2+4十m,解得m=16. 5.B6.C7.D .平移后的抛物线解析式为y=一x2十20. 能力在线 拓展在线 8.B9.C10.C11.012.2或3或4 16.(1):点A(1,b)在函数y=2x的图象上， 13.(1)-3y轴(2)(-1，-1) ∴.b=2×1=2..A(1,2). (3)如图所示 -16<y≤0 ,点A(1,2)在抛物线y=ax2+3上， ∴.2=a+3,解得a=-1. (2)点B(m,4)在函数y=2x的图象上， .4=2m.解得m=2..B(2,4). :抛物线y=一x2十3的顶点是C,∴.C(0,3). -6-5-4-3-2XTδN 23456x ∴Sac=Sa0x-Sa0c=号X3X2-2X3X1=2 2 3 a(go -4 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 l4.(1)由a越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点A时， 基础在线 a的值最大；抛物线经过点C时，a的值最小. 1.B2.D3.y=(x-2)2(答案不唯一) A(1,2),.aX12=2,解得a=2. 4.y9<y1<25.-32 年级数学（上）一 19