25.3 第2课时 传播问题和平均变化率问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时传播问题和平均变化率问题 基础在线 知识要，点分类练 知识点2变化率问题 4.随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设 知识点1传播问题 备的成本连连下降，两年前生产1件该硬件设 1.(教材P21“探究1”变式)秋冬季节来临，许多 备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备 季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流 的成本为80元.设生产该硬件设备的成本年 平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的 行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感 是 () 的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流 A.100(1-x2)=80B.100(1-x)2=80 感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设 C.80(1-x)2=100 D.80(1-x2)=100 每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满 5.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司 足的方程为 第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投 A.(1+x)2=100 B.x2=100 放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第 C.x(1+x)=100 D.1+x+x2=100 二、三个月投放单车数量的月平均增长率为 2.在一场AI技术研讨会上，一名专家掌握了 x,则所列方程正确的是 () A.1000(1+x)2=440 DeepSeek模型优化技巧并开始分享.经过两 B.1000(1+x)2=1000+440+440 轮分享后，共有225人掌握此技巧.若每轮一 C.1000(1+2x)=1000+440 人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享 D.1000(1+x)2=1000+440 给 人 6.高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内 3.小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先 存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万 在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干 个，第三季度生产芯片100万个. 名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相 (1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率； 同数量且互不相同的同学转发（自己不再转 (2)按照(1)中的平均增长率，该公司期望第四 发)，依此类推.已知经过两轮转发后，共有 季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否 实现？请说明理由. 111人参与了小华创意作品的转发活动（含小 华自己)，则小华邀请了多少名同学转发？ 19探究在线九年级数学（上） 2 :方法规律综合练 (1)这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ 能力在线沙方法机律解 (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣 7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一 讲的人数共有多少人？ 半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意 思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习， 那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗 忘”的百分比均为x,根据“两天不练丢一半”， 可列一元二次方程为 () A.1+)=号 B.(1+x)2=2 ③拓展在线沙鹅优报尖提升然 C.(1-x)2= 2 D.(1-x)2=2 12.近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销 8.(教材P22练习T1变式)实验中学数学“研 量逐年增长.为进一步拓展市场，某露营装备 学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物 店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促 的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出 销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两 同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总 次降价后变为每套243元. 数为57，则这种植物每个支干长出的小分支 (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款 的个数是 () 帐篷价格每次下降的百分率； A.6 B.7 C.8 D.9 (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐 篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如 9.“水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地 果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量 让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干 就减少20套.要使月销售利润达到9600元， 人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人 那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 数，若在这个过程中包括小红一共有157人收 到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给 了人 10.在国家积极研发和生产调配下，某种型号的 医疗器械连续两年降价，第一年下降20%， 第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的 平均降价率是 11.学校为了提高学生的安全意识，准备安排小 小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣 讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲， 经过两轮后共有81人接受了安全宣讲。 第二十五章20(2)x3=6.x2+16x, 15.设原方程y2-5y十2=0的两根为y1和y2, .x3-6x2-16x=0.∴.x(x2-6x-16)=0. 则y1十y2=5,y1y2=2. x(x-8)(x十2)=0..x1=0,x2=8,x3=-2 .新方程的两根x1=y1十2，x2=y2十2. (3)由题意，两边同时平方，得 .x1十x2=(y1+y2)+4=5+4=9. 2x3-6x+3=x2-2x+1. x1x2=(y1+2)(2+2)=y1y2+2(y1+2)+4= .2x3x2-4x+2=0. 2+2×5+4=16, .x2(2x-1)-2(2x-1)=0. 因此当二次项系数为1时，新方程为x2一9x十16=0. .(x2-2)(2x-1)=0. (答案不唯一) 1 x1=√2，x2=-2,x=2 拓展在线 16.(1)a,b满足a2-5a十1=0，b2-5b+1=0, √2x-6x+3=x-1≥0， ∴=厄，=号均不符合题意。 ①当a=时，名+号=1+1=2. ②当a≠b时，a,b可看作是方程x2一5x十1=0的两个不 ∴方程√2x-6x十3=x-1的解为x=√2. 相等的实数根， 微专题1 一元二次方程的解法 .a+b=5,ab=1. 1.（1)x1=3,x2=-3. 六合+号--a+02_-2X1-28 ab ab 1 .1 7 (2)x=24=-2 +号=23或2. a 2.(1)x1=2十√3，x2=2-V3 (2)x1=3+5,x2=3-√5. (2)将方程号-9=合m两边同乘2，得￠-2q=m, 2,=5-17 3.(1)m1=5+17 2 :实数p,9满足p2-2p=m,2q-9=2m,且≠q, (2)x1=-3-17 4 =3+17 ∴p,9是一元二次方程x2-2x一m=0的两个不相等的 4 实数根， 4.(1)x1=0,x2=-2.(2)x=-4,x2=-5. .p十q=2,q=-m,q=2q十m. 5.将原方程变形为(x2-2x)2-5(x2-2x)十6=0， .(g+1)(2p+1+m)=(2q+m+1)(2+1+m)= 设x2-2x=y,则(x2-2x)2=y2,原方程化为y2-5y十6 4pq+2g(1+m)+2p(1+m)+(1+m)2 =0, =4pg+2(1+m)(p+q)+(1+m)2=-4m+4(1+m)+ 解得y1=2,y2=3,当y1=2时，x2一2x=2,解得x=1士 (1十m)2=(m+1)2+4. √3；当y=3时，x2-2x=3,解得x=-1或3. 又：p,9是方程x2一2x一m=0的两个不相等的实数根， .方程的根的判别式△=4+4m>0,解得m>一1. .原方程的解为x1=1十3，x2=1一√3，x3=一1，x4=3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 .(m+1)2+4>4..(g+1)(2p+1+m)>4. 基础在线 微专题2根的判别式及根与系数的关系的应用 1.C2.B3.34.A 1.C2.A3.四 5.(1):0是一元二次方程x2-5x一11=0的两个实数根， 4.:一次函数y=x十b的图象经过第一、第二、第四象限， ∴.x1十x2=5,x1x2=-11. .k<0,b>0.∴k<0..-bk>0. ∴.(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2十1=x1x2-（x1十x2) 方程bx2-2x十k=0中，△=(-2)2-4bk=4-4bk>0, +1=-11-5+1=-15. 方程有两个不相等的实数根。 (2)x1+x2=5,x1x2=-11, :丝+4=+爱=（十)2-2盟=53-2×(-11) 5A6D7.B8. 9.D T1T2 -11 10.(1):一元二次方程x2-(2m十1)x十m2+2=0有两个 =铝 不相等的实数根， ∴.△=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4×1×(m2+2)>0. 6.D7.-8 8.(1)关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x十2十1=0 m十m+1-4m-8>0,解得m>子 有两个实数根， .△=(2k-1)2-4×1×(k2+1)=4k2-4k+1-4k2-4= 故m的取位范围是m>?。 -4k-3≥0. (2)设x1,x2是方程x2-(2m十1)x十m2+2=0的两个 解得长一头 实数根， 则x1十x2=2m十1，x1x2=m2+2. (2)设一元二次方程x2+(2k-1)x十2十1=0的两个根 x号十x=13,.(x1十x2)2-2x1x2=13. 分别是x1,x2, .(2m+1)2-2(m2+2)=13. 则x1十x2=1-2k,x1x2=2十1. .m2+2m-8=0. 方程的两根之和等于两根之积， 解得m1=2,2=-4. ∴.k2+1=1一2k.∴.k2+2k=0. 解得1=0，k2=-2, m心子m=一4舍去 由1)蜘长-孕 故m=2. 阶段测评1(25.1~25.2) ∴.k=-2. 1.C2.C3.A4.D5.A6.B 能力在线 5 9.C10.C11.D12.D13.214.175 7.五1=-1，x2=2 8.1(答案不唯一)9.310.5 18 一探究在线·九 11.有两个不相等的实数根 .当AP长3cm时，AP=√3PC. 12.(3x+10)(2.x+10)=2600 能力在线 13.(1)移项，得(4x一1)2=9， 8.A9.D10.5 开平方，得4x-1=3,或4x-1=-3, 11.由题意可知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 即x1=1,x2=一2 ∴.铺草坪的总面积是△AEH面积的4倍，AE=DH, 设△AEH的直角边AH为xm, (2)将原方程整理，得 则AE=DH=(16一x)m, 2x2+8x-1=0. 因为a=2,b=8,c=-1,所以 根据题意，得16-4X分·(16-)=160， b2-4ac=82-4X2×(-1)=72>0, 解得x=4或x=12, 方程有两个不相等的实数根， 当x=4时，16一x=16-4=12； x= -b±√6-4ac=-8±√72=-4±3W2 当x=12时，16-x=16-12=4. 2a 2X2 2 答：当直角三角形草坪的直角边长分别为4m和 即x1= -4+3 ,x=-4-3V2 12m时，才能修建成符合要求的池塘. 2 拓展在线 (3)左边分解因式，得 12.(1)28 4x(2x-1)=3(1-2x). (2)在运动过程中△DPQ的面积不能为26cm.理由如下： 将方程转化为4x(2x-1)十3(2x一1)=0. 根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, 整体分解因式，得(2x-1)(4x十3)=0. ..BP=AB-AP=(4-t)cm,CQ=BC-BQ=(12-2t)cm. 于是2x-1=0,或4x+3=0. 当SADPQ=SE形ABCD-SARCQ-SADAP一SAPBO=26时， 即五=名西=一名 6×12- ×6×(12-20-2×12-合6-0×2= 2 14.:△=[-(k+3)]2-4(2k+1)=2-2k+5=(k-1)2+ 26, 4>0, 整理，得2-6t十10=0， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根。 △=62-4ac=36-40=-4<0, x1十x2=k+3,x2=2k+1, .方程无实数根.'.△DPQ的面积不可能为26cm2, 又x十x=(x1十x2)2-2x1x2=20, .(k+3)2-2(2k+1)=20. (3)6或号 解得k=-1士√14. 第2课时传播问题和平均变化率问题 15.(1)设所求方程的根是y,则y=-x, 基础在线 所以x=一y, 1.A2.14 把x=-y代入x2十x-2=0,得 3.设小华邀请了x名同学转发，依题意，得 y2-y-2=0.故所求方程为y2-y-2=0. 1+x+x2=111, 1 整理，得x2十x-110=0, (2)一2025 解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去） (3)'关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两 答：小华邀请了10名同学转发. 个实数根分别为3，一2， 4.B5.D -b=3+(-2)=1,=3×(-2)=-6. 6.(1)设该芯片公司生产量的季度平均增长率为x, 根据题意，得64(1十x)2=100, ∴.b=-a,c=-6a. .方程ay2-(2a-b)y+a-b+c=0可化为ay2-3ay 解得五=子=25%=一（不符合题意，舍去）。 4a=0. 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%， 整理，得y2一3y一4=0， (2)该目标不能实现.理由如下： 左边分解因式，得(y-4)(y+1)=0, 按照(1)中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量 解得y1=4,y2=-1. 为100×(1+25%)=125（万个）， 25.3实际问题与一元二次方程 125<130,.该目标不能实现. 第1课时几何图形问题 能力在线 基础在线 7.C8.B9.1210.60% 1.A2.D3.3cm 11.(1)设这种宣讲活动，一个人会给x人宣讲， 4.由题意，得100a十80a-a2=(7a)2 依题意，得1+x十(1+x)x=81,即(1十x)2=81. 化简，得5a2-18a=0. 解得x1=8,x2=一10（舍去）， a>0,.a=3.6. 故这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲。 答：步道的宽为3.6m (2)81×8+81=729(人). 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共 5.A6.√5-1 有729人. 7.PA=t cm,PB=(4-t)cm, 拓展在线 在Rt△PBC中，∠B=90°，BC=√2， 12.(1)设该款帐篷价格每次下降的百分率为x,依题意，得 由勾股定理，得PC=BC+PB=2+(4一t)2=2一8t+18. 300(1-x)2=243, PA=√3PC,即PA2=3PC2, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). ∴.=3(t-8t+18). 答：该款帐篷价格每次下降的百分率为10% 解得t=3,t2=9. (2)设每套涨价10y元，则月销售量减少20y套， t4,.t=3. 此时，每套盈利(40+10y)元，月销售量为(200一20y)套. 年级数学（上）一 则月销售利润为(40+10y)(200一20y)=9600, m=土√6. 解得y=2或y=4, ∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. 当y=2时，涨价10×2=20（元）；y=4时，涨价10×4= 解方程，得x1=一1，x2=4. 40(元). 故x2=4,m=士√6. 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元. (2)证明：方程(x一1)(x一2)=m2可化为x2一3x十2一m2 第3课时循环问题和数字问题 =0, 基础在线 ,△=4m2十1>0，.方程有两个不相等的实数根 1.C2.D 3.问题：，1)=45 由根与系数的关系，得x十x2=3,x1x2=2-m2, 2 (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=2-m2-3+1 拓展：(1)914 =-m2≤0， (2).每个顶点可以与(n一3)个顶点连接形成对角线， .(x1-1)(x2-1)≤0 .每个顶点可以形成(n一3)条对角线 8.C9.C10.3(x-1)x=6210 n边形的对角线数量为”3》条。 11.(1)设每轮传播中平均一个人感染x个人， 2 根据题意，得1十x十x(x十1)=100， 设多边形的边数为n,若对角线数量为27， 整理，得x2十2x-99=0, 可以得到方程n,3》=27,化简为m-31-54=0. 解得x1=9,x2=一11（不合题意，舍去）. 2 答：每轮传播中平均一个人感染9个人. 解得n=9或n=一6， (2)三轮传播后，被感染的人数为100十100×9= n为正整数，.n=9， 1000(人). 即多边形的边数为9. .1000>800 ∴多边形的对角线可以有27条 .被感染的人数会超过800人 4.0或45.D 6.假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a,则连 12.(1)设小正方形的边长为xcm,则礼盒底面的长是2(60 续的其他四个数分别为(a+1),(a+2),(a十3)，(a+4), 一2x)cm,即(30一x)cm,由题意，得 .a2+(a+1)2+(a十2)2=(a十3)2+(a十4)2，解得a 30一x=4x,解得x=6. 10或a=-2. ∴.长为30-6=24(cm),高为40-2×6=28(cm). ,这五个数为正整数， ∴.长方体礼品盒的体积为24×6×28=4032(cm3). ∴.a=10,.a+1=11,a+2=12,a+3=13,a+4=14. (2)设剪去的小正方形的边长为mcm,由题意，得 ∴.存在五个连续正整数，它们分别为10,11,12,13,14. (30-m)(40-2m)=750,解得m=5或m=45(舍去)， 能力在线 ∴.剪去的小正方形的边长为5cm. 7.B8.D9.x2=10(x-3)+x10.41 核心素养提升 11.(1)依题意，2x(x-1)=40, 13.B 第二十六章二次函数 .x(x-1)=80. 整理，得x2-x-80=0. 26.1二次函数的概念 基础在线 解得工=1±)32，不为整数， 2 1.A2.y=-x2+2x+1 .方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 3.(1)3(2)m≠5 故淇淇的说法是正确的 是否为 二次项 一次项 (2):有一人比赛了4场后退出比赛， 函数解析式 常数项 二次函数 系数 系数 由题意，得x-),x-2)+4=40, 2 y=-4x2+2x-3 是 一4 2 -3 整理，得x2-3x-70=0, y=-7+2x2 是 2 0 .(x-10)(x+7)=0. 解得x1=10,x2=-7(舍去)， y=x(x-1) 是 1 0 .x的值为10. y=(x+1)(x-1)-x 不是 拓展在线 12.(1)3747=3×83+7×82+4×8+7×8 5.S=-2x2+80x6.y=5000(1-x) =1536+448+32+7 7.S=6πr2 8.y=x2-x9.-310.1 =2023. 能力在线 (2)依题意，有2n2+6n+5=145, 11.B12.B13.y=(x+1)2 解得n=7,2=一10（负值舍去）. 14.(1)要使该函数为关于x的一次函数，则需满足 故n的值是7. (m2-m=2, 单元综合复习（一）一元二次方程 m-4)+2=0,解得m=2, 热门考点突破 故当m=2时，原函数为y=一3x一1，是一次函数， 1.A2.A (2)可分以下四种情况讨论： 3.(1)x1=-1,x2=-9.(2)x1=5,x2=-1. ①当m一4=0时，解得m=4; (3)函=号=-1.(4函=2，=号 ②当m-m=1时，解得m=1+5, 2 2； 4.C5.C6.1 ③当/m-m=2, 7.(1)把1=一1代入方程(x一1)(x一2)=m2,得m2=6. 1m-4+2≠0， 时，解得m=-1; 一探究在线·九 ④当m2-m=0时，解得m1=0,m2=1. :C2,1D,a×2=1,解得a=子 综上所述，当m的值为4或5或或-1或0或 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点 1时，它是y关于x的二次函数 时，a的取值范围是4≤a≤2。 15.(1)由题意，得 y=160+x-60)(50-)=100+x)(50-若 (2)a<0或0<a<或a>2 = 10x2+40x+500. 1 拓展在线 15.4√2n ∴y关于x的函数解析式为y= 10x2+40x+5000. 26.2.2二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十的图象和性质 1 (2)由(1)可得)y=-10x+40x+5000. 基础在线 1.C2.D3.(0,-3)减小 令y=8000,即-10x+40x+5000=8000, 4.>5.y=x2+2(答案不唯一) 6.A7.下6上(0，-6)y轴（或x=0)低 解得x1=100,x2=300. 8.2 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价 的2倍，且平时定价为160元， 9.1)列表描点、连线画图得y=合，y=合2十3，y .定价不能高于160×2=320（元） 当x=100时，定价为160+100=260（元）， 2x2-3的图象如图所示. ,260<320,∴.符合规定」 当x=300时，定价为160+300=460（元）， 460>320,.不符合规定，舍去. 答：每间房定价为260元时，宾馆每天可获利8000元. 拓展在线 4-352- 16.(1)运动开始后第4秒，△BPQ的面积等于10cm. (2)S=6×12-(6-0(6+0=合r+54, (2)①上y轴（或x=0)(0,0)②上y轴（或x=0) 其中0<t<6. (0,3)③上y轴（或x=0)(0,-3) 26.2 二次函数的图象和性质 (3)上3下3 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 能力在线 基础在线 10.C11.C12.D13.4-3 1.C2.C3.B 4.列表、描点、连线画出函数的图象如图。 14.D由题意，得84=5，解得a=3。 (从左至右，从上到下)820282 .02 2 a>0, (2)分两种情况：①{ a-2>0,无解； ②e020.每得-2a<0 故a的取值范围是一2<a<0. 15.(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4) (2),四边形ABCD为平行四边形， 7654 012345678x ∴.CD=AB=4,CD∥AB,.D(-4,4). 设平移后的抛物线解析式为y=一x2十4十m,将 (1)抛物线上y轴(0,0)减小增大0小0 D(一4,4)代入，得 (2)小 4=-(-4)2+4十m,解得m=16. 5.B6.C7.D .平移后的抛物线解析式为y=一x2十20. 能力在线 拓展在线 8.B9.C10.C11.012.2或3或4 16.(1):点A(1,b)在函数y=2x的图象上， 13.(1)-3y轴(2)(-1，-1) ∴.b=2×1=2..A(1,2). (3)如图所示 -16<y≤0 ,点A(1,2)在抛物线y=ax2+3上， ∴.2=a+3,解得a=-1. (2)点B(m,4)在函数y=2x的图象上， .4=2m.解得m=2..B(2,4). :抛物线y=一x2十3的顶点是C,∴.C(0,3). -6-5-4-3-2XTδN 23456x ∴Sac=Sa0x-Sa0c=号X3X2-2X3X1=2 2 3 a(go -4 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 l4.(1)由a越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点A时， 基础在线 a的值最大；抛物线经过点C时，a的值最小. 1.B2.D3.y=(x-2)2(答案不唯一) A(1,2),.aX12=2,解得a=2. 4.y9<y1<25.-32 年级数学（上）一 19