25.2.2 公式法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©25.2.2 :知识要点分类练 ①基础在线>知识要 知识点1一元二次方程的根的判别式 1.(沈阳期末)一元二次方程x2-3x十2=0的根 的判别式的值是 () A.17 B.11 C.1 D.-1 2.下列一元二次方程中，无实数根的是( ) A.x2-2x-3=0 B.x2+3x+2=0 C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0 3.(中考·遂宁)已知关于x的一元二次方程 x2一3x+m十1=0有实数根，则实数m的取 值范围是 () Am<月 B.m≥ 4 C.m>5 D,m<号 4.不解方程，利用判别式判断下列一元二次方程 的根的情况： (1)2x2+3x+1=0; (2)9x2=4(3x-1). 知识点2用公式法解一元二次方程 5.如果一元二次方程x2十px十q=0能用公式法 求解，那么必须满足的条件是 () A.p2-4g≥0 B.p2-4g≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4g<0 7探究在线九年级数学（上） 公式法 6.用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -5±V士4X2X3,则该一元二次方程是（） 2X2 A.2x2+5x+3=0 B.-2x2+5x+3=0 C.2x2+5x-3=0 D.2x2-5x+3=0 7.用公式法解下列方程： (1)x2+4x+2=0; (2)x2-2x+3=0; (3)3x2-2=2x. 易错点1未考虑二次项系数不为0 8.如果关于x的一元二次方程kx2一(2k+1)x 十=0有两个不相等的实数根，那么k的取 值范围是 () A心-司 B,≥-4且k≠0 C长-是 D.>一且≠0 易错点2用公式法解方程时未化为一般形式 9.下面是小明同学解方程x2一5x=-4的过程： ,'a=1,b=-5,c=-4,(第一步) .∴.b一4ac=(-5)2一4×1×(-4)=41.（第二步） ·x=5±，④红.（第三步） 2 x1=5+4 ，x,=5.（第四步） 2 小明是从第 步开始出错的.正确的解是 2 能力在线》方法规律综合练 10.（无锡期中)对于一元二次方程ax2+bx十c= 0(a≠0)，有下列说法： ①若a十b+c=0,则b2-4ac>0; ②若方程ax2十c=0有两个不相等的实数 根，则方程a.x2十bx十c=0必有两个不相等 的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则 一定有ac十b十1=0成立； ④若x是一元二次方程ax2十bx十c=0的根， 则b一4ac=(2a.xo+b)2.其中正确的是() A.①③B.①④C.②③D.②④ 11.关于x的一元二次方程3x2-7x十m+2=0 的根的判别式的值是6，则此方程的解为 12.（重庆期中)若关于x的一元二次方程(k一1)x2 十2kx十+3=0有实数根，且直线y=(k十 3)x十5经过第一、第二、第三象限，则满足条 件的所有整数k的和为 13.用公式法解下列方程： (1)2x(x十√2)+1=0； (2)2x(x-1)+3=(x+1)2. ③拓展在线沙培优拔尖是升然 14.(铜仁月考)对于一元二次方程ax2+2cx十b =0(a≠0)，若满足a2十b=c2,则我们把这样 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. (1)判断：3x2-10x+4=0 “勾系一元 二次方程”；（填“是”或“不是”） (2)当a=5,b=12,c>0时，求相应的“勾系 一元二次方程”的根； (3)求证：关于x的“勾系一元二次方程”x2+ 2cx十b=0必有实数根， 第二十五章8温警提示：清做完后再看答案！ 5.x+3=-56.D 7.(1)移项，得(x十3)2=121， 由此可得x+十3=士11， 参考答案 x+3=11,或x+3=-11, 即x1=8,x2=-14. (2)化简，得(2x-6)2=6, 第二十五章一元二次方程 由此可得2x一6=士√6， 25.1一元二次方程的概念 2x-6=√6，或2x-6=-√6， 基础在线 1.C2.C3.4 即x1=6+6 =66 4.(1)一般形式为3x2一5x十1=0，它的二次项系数为3，一 2 2 次项系数为-5，常数项为1. 8.D (2)一般形式为x2-7x十6=0，它的二次项系数为1，一次 能力在线 9.D10.C11.312.2 项系数为一7，常数项为6. (3)一般形式为2x2+3x一5=0，它的二次项系数为2，一 13.(1)开平方，得2y-3=士4， 次项系数为3，常数项为一5， 2y-3=4,或2y-3=-4, 7 1 5.D6.5 即y=2%=-2 7.当x=一2时，左边=（一2）2一4×（一2）=12.而右边=一3， (2)整理，得(x十2)2=16， .左边≠右边，.一2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 开平方，得x十2=士4， 当x=0时，左边=02一4×0=0，而右边=一3， x十2=4，或x十2=-4， 左边≠右边，.0不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 即x1=2,x2=一6. 当x=1时，左边=12一4×1=一3=右边 (3)开平方，得2x+3=3x+2,或2x十3=-3x-2, ∴.1是一元二次方程x2一4x=一3的根； 解得x1=1,x2=一1. 当x=2时，左边=22一4×2=一4，而右边=一3， 14.(1).m☆n=mn+n,x☆4=40， ∴左边≠右边，.2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； ∴.4x2十4=40，整理，得x2=9,解得x=士3. 当x=3时，左边=32一4×3=一3=右边 .3是一元二次方程x2一4x=一3的根. (2),(x-5)☆1=17，m☆n=m2n+n, ∴.(x-5)2+1=17,整理，得(x-5)2=16. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x=-3的根. 解得x1=1,x2=9. 8.C9.B10.A 拓展在线 能力在线 15.(1)51-1 -9 11.D12.A13.-1 (2)①(x+3)(x-1)=5. 14.(1)设较短直角边长为xcm,则较长直角边长为(x十7)cm, 原方程可变形为[(x十1)+2][(x+1)-2]=5, 根据题意，得 则(x十1)2-22=5，(x+1)2=9, x2+(x+7)2=17, 方程两边同时开平方，得x十1=土3，解得=2,2= 化为一般形式为x2十7x-120=0. ②(50-x)(40-2x)=702. (2)全班有x名同学，.每名同学要送出(x一1)张照片， 原方程先化简为(x一50)(x一20)=351， 又是互送照片，.总共送的张数应该是x(x一1)张. 再变形为[(x-35)-15][(x一35)+15]=351， .x(x-1)=1980. 则(x-35)2一152=351， 化为一般形式为x2一x一1980=0. (x-35)2=576, 15.(1)在方程4x2一11x+7=0中，a=4,b=一11，c=7, 方程两边同时开平方，得x一35=士24， .a+b+c=4+(-11)+7=0. 解得x1=59,x2=11. 故方程4x2一11x十7=0是“黄金方程” 第2课时配方法 (2)x2-3x十2=0 基础在线 拓展在线 1.193(242(3)元 (④)25 5 16.A 5 25.2降次—解一元二次方程 2.D3.C4.3 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 5.(1)x1=3 基础在线 (2)x1=√7-2，x2=-√7-2. 1.C2.D3.B 4,(1)方程整理，得x=-25 6.3x+6x=-22+2x=-号 (x+1)2=3 41 a=号= +1=±99-1-9-1 7.(1)③等式两边没有同时加4 (2)方程整理，得2x2=8. (2)移项，得2x2一8x=18, 则x2=4 两边同时除以2，得x2一4x=9, .x1=2,x2=-2. 配方，得x2一4x十4=9十4，即(x一2)2=13， (3)方程整理，得24y2=一3. x-2=√13或x-2=-√13， 则y=-名 即x1=2+√/13，x2=2-√13. 对于任意实数y,都有y≥0， 能力在线 方程无实数根 8.C9.A10.2±√311.2±√5 一探究在线 12.(1)x1=-2+√6，x2=-2-√6 x=-b吐=4ac=4生8=2±2. (2)原方程无实数根， Za 2 13.x2-8x+m=0,(x-4)2=16-m. 即x1=2十√2，x2=2-√2. 由题意知，16-m=6,∴.m=10. 拓展在线 将m=10代入x2+8x十m=5,得 14.(1)是 x2+8x十5=0，配方，得(x十4)2=11， (2)当a=5,b=12时，则52+122=c2,解得c=±13. 解得x1=-4+√/11，x2=一4一√11 c>0,.c=13. 拓展在线 .相应的“勾系一元二次方程”为5x2十26x十12=0. 14.(1)x2+8x+20=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20 .262-4×5×12=436>0, 16=(x+4)2+4. x=一26±436 =-13±√109 (2)p=-x2+2x+5=-(x2-2x+1-1)+5= 10 5 -(x-1)2十6， (x-1)2≥0，.-(x-1)2+6≤6. =-18+109,=-13-V10g 5 5 ∴p的最大值为6. (3)证明：，方程x2十2cx十b=0是“勾系一元二次方程”， (3)△ABC是等边三角形.理由如下： ∴.12+b=c2. a2+2b+c2-2b(a+c)=0, ∴.△=(2c)2-4b=4c2-4b=4(b2-b+1). ∴.a2-2ab+b+b2+c2-2bc=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0. 又：6-61-(6-安）》产+是>0 .a-b=0,b-c=0..a=b=c. ∴△=(2c)2-4b>0. ,·△ABC是等边三角形 故关于x的“勾系一元二次方程”x2十2cx十b=0必有实 25.2.2公式法 数根 基础在线 25.2.3因式分解法 1.C2.D3.D 基础在线 4.(1)△=32-4×2×1=1>0， 1.C2.B3.A .方程有两个不相等的实数根 4.(1)左边分解因式，得x(4x十11)=0， (2)化为一般形式为9x2一12x+4=0, 于是x=0,或4x十11=0， △=(-12)2-4×9×4=0， 方程有两个相等的实数根 即=0，a=- 5.A6.C (2)方程化为x(x十3)一2x=0, 7.(1)因为a=1,b=4,c=2,所以 左边分解因式，得x(x十3-2)=0，即x(x十1)=0， △=b2-4ac=16-4X1×2=8>0, 于是x=0,或x十1=0， 方程有两个不相等的实数根. 即=0，x2=-1. x=-b±=4ac=-4±8=-2±2， (3)方程化为2x2-8x十8=0， 2a 2×1 左边分解因式，得2(x一2)2=0， 即x1=√2-2，x2=-√2-2. 即x1=x2=2. (2)因为a=1,b=一2，c=3,所以 5.D △=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0, 6.(1)x1=x2=3 (2)x1=3,x2=5. 方程无实数根， (3)方程化为3x2-2x-2=0, (3)x1=-2+0 2 x2=-2-V0 2 此时a=3,b=一2，c=一2，所以 △=b-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0, 7.C 方程有两个不相等的实数根. 能力在线 x=-b±√B-4ac=2±28 8.c9.c10.D11.-号或号 2a 6 12.(1)方程化为(x十2)2-3(x十2)=0， 即-1+？ 1-√/7 3x2= 左边分解因式，得(x十2)(x十2一3)=0. 3 即(x十2)(x-1)=0. 8.D9.一 x1=1,x2=4 于是x十2=0，或x-1=0, 能力在线 即x1=一2，x2=1. 10.D11,1=7+6,4=7512.-3 (2)左边分解因式，得(3x十2+2x)(3x+2一2x)=0, 6 6 即(5x+2)(x+2)=0. 13.(1)方程化为2x2+2√2x+1=0. 于是5x十2=0，或x十2=0， 此时a=2,b=2√2，c=1,所以 △=b2-4ac=(22)2-4×2×1=0. 即=一号4=一2. 2 方程有两个相等的实数根. 13.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 6)m.由题意，得 π(r十6)2=2πr2, (2)整理，得x2-4x十2=0. 解得n=6+6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 此时a=1,b=一4，c=2,所以 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. △=b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0. 拓展在线 方程有两个不相等的实数根. 14.(1)3-1 九年级数学（上）一 17