25.2.1 第1课时 直接开平方法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

温警提示：清做完后再看答案！ 5.x+3=-56.D 7.(1)移项，得(x十3)2=121， 由此可得x+十3=士11， 参考答案 x+3=11,或x+3=-11, 即x1=8,x2=-14. (2)化简，得(2x-6)2=6, 第二十五章一元二次方程 由此可得2x一6=士√6， 25.1一元二次方程的概念 2x-6=√6，或2x-6=-√6， 基础在线 1.C2.C3.4 即x1=6+6 =66 4.(1)一般形式为3x2一5x十1=0，它的二次项系数为3，一 2 2 次项系数为-5，常数项为1. 8.D (2)一般形式为x2-7x十6=0，它的二次项系数为1，一次 能力在线 9.D10.C11.312.2 项系数为一7，常数项为6. (3)一般形式为2x2+3x一5=0，它的二次项系数为2，一 13.(1)开平方，得2y-3=士4， 次项系数为3，常数项为一5， 2y-3=4,或2y-3=-4, 7 1 5.D6.5 即y=2%=-2 7.当x=一2时，左边=（一2）2一4×（一2）=12.而右边=一3， (2)整理，得(x十2)2=16， .左边≠右边，.一2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 开平方，得x十2=士4， 当x=0时，左边=02一4×0=0，而右边=一3， x十2=4，或x十2=-4， 左边≠右边，.0不是一元二次方程x2一4x=一3的根； 即x1=2,x2=一6. 当x=1时，左边=12一4×1=一3=右边 (3)开平方，得2x+3=3x+2,或2x十3=-3x-2, ∴.1是一元二次方程x2一4x=一3的根； 解得x1=1,x2=一1. 当x=2时，左边=22一4×2=一4，而右边=一3， 14.(1).m☆n=mn+n,x☆4=40， ∴左边≠右边，.2不是一元二次方程x2一4x=一3的根； ∴.4x2十4=40，整理，得x2=9,解得x=士3. 当x=3时，左边=32一4×3=一3=右边 .3是一元二次方程x2一4x=一3的根. (2),(x-5)☆1=17，m☆n=m2n+n, ∴.(x-5)2+1=17,整理，得(x-5)2=16. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x=-3的根. 解得x1=1,x2=9. 8.C9.B10.A 拓展在线 能力在线 15.(1)51-1 -9 11.D12.A13.-1 (2)①(x+3)(x-1)=5. 14.(1)设较短直角边长为xcm,则较长直角边长为(x十7)cm, 原方程可变形为[(x十1)+2][(x+1)-2]=5, 根据题意，得 则(x十1)2-22=5，(x+1)2=9, x2+(x+7)2=17, 方程两边同时开平方，得x十1=土3，解得=2,2= 化为一般形式为x2十7x-120=0. ②(50-x)(40-2x)=702. (2)全班有x名同学，.每名同学要送出(x一1)张照片， 原方程先化简为(x一50)(x一20)=351， 又是互送照片，.总共送的张数应该是x(x一1)张. 再变形为[(x-35)-15][(x一35)+15]=351， .x(x-1)=1980. 则(x-35)2一152=351， 化为一般形式为x2一x一1980=0. (x-35)2=576, 15.(1)在方程4x2一11x+7=0中，a=4,b=一11，c=7, 方程两边同时开平方，得x一35=士24， .a+b+c=4+(-11)+7=0. 解得x1=59,x2=11. 故方程4x2一11x十7=0是“黄金方程” 第2课时配方法 (2)x2-3x十2=0 基础在线 拓展在线 1.193(242(3)元 (④)25 5 16.A 5 25.2降次—解一元二次方程 2.D3.C4.3 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 5.(1)x1=3 基础在线 (2)x1=√7-2，x2=-√7-2. 1.C2.D3.B 4,(1)方程整理，得x=-25 6.3x+6x=-22+2x=-号 (x+1)2=3 41 a=号= +1=±99-1-9-1 7.(1)③等式两边没有同时加4 (2)方程整理，得2x2=8. (2)移项，得2x2一8x=18, 则x2=4 两边同时除以2，得x2一4x=9, .x1=2,x2=-2. 配方，得x2一4x十4=9十4，即(x一2)2=13， (3)方程整理，得24y2=一3. x-2=√13或x-2=-√13， 则y=-名 即x1=2+√/13，x2=2-√13. 对于任意实数y,都有y≥0， 能力在线 方程无实数根 8.C9.A10.2±√311.2±√5 一探究在线 12.(1)x1=-2+√6，x2=-2-√6 x=-b吐=4ac=4生8=2±2. (2)原方程无实数根， Za 2 13.x2-8x+m=0,(x-4)2=16-m. 即x1=2十√2，x2=2-√2. 由题意知，16-m=6,∴.m=10. 拓展在线 将m=10代入x2+8x十m=5,得 14.(1)是 x2+8x十5=0，配方，得(x十4)2=11， (2)当a=5,b=12时，则52+122=c2,解得c=±13. 解得x1=-4+√/11，x2=一4一√11 c>0,.c=13. 拓展在线 .相应的“勾系一元二次方程”为5x2十26x十12=0. 14.(1)x2+8x+20=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20 .262-4×5×12=436>0, 16=(x+4)2+4. x=一26±436 =-13±√109 (2)p=-x2+2x+5=-(x2-2x+1-1)+5= 10 5 -(x-1)2十6， (x-1)2≥0，.-(x-1)2+6≤6. =-18+109,=-13-V10g 5 5 ∴p的最大值为6. (3)证明：，方程x2十2cx十b=0是“勾系一元二次方程”， (3)△ABC是等边三角形.理由如下： ∴.12+b=c2. a2+2b+c2-2b(a+c)=0, ∴.△=(2c)2-4b=4c2-4b=4(b2-b+1). ∴.a2-2ab+b+b2+c2-2bc=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0. 又：6-61-(6-安）》产+是>0 .a-b=0,b-c=0..a=b=c. ∴△=(2c)2-4b>0. ,·△ABC是等边三角形 故关于x的“勾系一元二次方程”x2十2cx十b=0必有实 25.2.2公式法 数根 基础在线 25.2.3因式分解法 1.C2.D3.D 基础在线 4.(1)△=32-4×2×1=1>0， 1.C2.B3.A .方程有两个不相等的实数根 4.(1)左边分解因式，得x(4x十11)=0， (2)化为一般形式为9x2一12x+4=0, 于是x=0,或4x十11=0， △=(-12)2-4×9×4=0， 方程有两个相等的实数根 即=0，a=- 5.A6.C (2)方程化为x(x十3)一2x=0, 7.(1)因为a=1,b=4,c=2,所以 左边分解因式，得x(x十3-2)=0，即x(x十1)=0， △=b2-4ac=16-4X1×2=8>0, 于是x=0,或x十1=0， 方程有两个不相等的实数根. 即=0，x2=-1. x=-b±=4ac=-4±8=-2±2， (3)方程化为2x2-8x十8=0， 2a 2×1 左边分解因式，得2(x一2)2=0， 即x1=√2-2，x2=-√2-2. 即x1=x2=2. (2)因为a=1,b=一2，c=3,所以 5.D △=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0, 6.(1)x1=x2=3 (2)x1=3,x2=5. 方程无实数根， (3)方程化为3x2-2x-2=0, (3)x1=-2+0 2 x2=-2-V0 2 此时a=3,b=一2，c=一2，所以 △=b-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0, 7.C 方程有两个不相等的实数根. 能力在线 x=-b±√B-4ac=2±28 8.c9.c10.D11.-号或号 2a 6 12.(1)方程化为(x十2)2-3(x十2)=0， 即-1+？ 1-√/7 3x2= 左边分解因式，得(x十2)(x十2一3)=0. 3 即(x十2)(x-1)=0. 8.D9.一 x1=1,x2=4 于是x十2=0，或x-1=0, 能力在线 即x1=一2，x2=1. 10.D11,1=7+6,4=7512.-3 (2)左边分解因式，得(3x十2+2x)(3x+2一2x)=0, 6 6 即(5x+2)(x+2)=0. 13.(1)方程化为2x2+2√2x+1=0. 于是5x十2=0，或x十2=0， 此时a=2,b=2√2，c=1,所以 △=b2-4ac=(22)2-4×2×1=0. 即=一号4=一2. 2 方程有两个相等的实数根. 13.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 6)m.由题意，得 π(r十6)2=2πr2, (2)整理，得x2-4x十2=0. 解得n=6+6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 此时a=1,b=一4，c=2,所以 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. △=b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0. 拓展在线 方程有两个不相等的实数根. 14.(1)3-1 九年级数学（上）一 1725.2 降次 25.2.1 ©第1课时 基础在线》知识要点分奏然。 知识点1解形如x2=p(p≥0)的一元二次 方程 1.（太原月考)一元二次方程x2一16=0的解是 () A.x1=x2=4 B.2x1=x2=-4 C.x1=4,x2=-4 D.x1=8,x2=-8 2.下列一元二次方程中无实数根的是（ A.x2=0 Bx-3-0 C.-x2+4=0 D.x2+9=0 3.(晋城月考)若一元二次方程3.x2=27的两根 为x1,x2（x1<x2),则点P(x1,x2)位于平面直 角坐标系中的 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.解下列方程： (1)4x2=25; (2)2x2-1=7; (3)24y2+10=7. 3探究在线九年级数学（上） 解一元二次方程 配方法 直接开平方法 知识点2解形如(ax十b)2=p(a≠0，p≥0) 的一元二次方程 5.(广元期中)一元二次方程(x+3)2=25可转 化为两个一元一次方程，其中一个是x十3=5， 则另一个是 6.如果关于x的方程(x一9)2=m十4有实数根， 那么m的取值范围是 () A.m>3 B.m≥3 C.m>-4 D.m≥-4 7.用直接开平方法解下列方程： (1)(x+3)2-121=0; (2)3(2x-6)2=18. 易错点因忽视负数不能开平方或开平方时 漏掉负根而致错 8.下列解方程的过程中，正确的是 () A.x2=一2，解方程，得x=士√2 B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x一1)=士3， 1 D.(2x+3)2=16,解方程，得2x+3=士4， 2 能力在线沙方法规律综合练 9.下列方程能用直接开平方法求解的是（) A.x2-4x+1=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-4x=0 D.x2-4=0 10.（福州期中)关于x的一元二次方程(x一m)2 =n的两个根为3士√2，则n的值是() A.3 B.-3C.2 D.-2 11.(南京期中)若关于x的一元二次方程 (x一a)2一7=0有两个正实数根，则整数a 的最小值是· 12.（肇庆期末)若一元二次方程ax2=b(ab>0) 6= 的两个根分别是m+1与2m-4,则√ 13.解下列方程： (1)(2y-3)2=16; (2)x2+4x十4=16； (3)(2x+3)2=(3x+2)2. 14.(榆林期中)定义新运算：对于任意实数m,n 都有m☆n=mn十n.例如：（一3）☆5= (一3)2×5+5=50.根据以上定义解决问题： (1)若x☆4=40，求x的值； (2)若(x-5)☆1=17，求x的值. 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 15.(信阳月考)课题探究 课题“平均数法”解一元二次方程 解方程：x(x一4)=5. 解：原方程可变形为[(x一2)+2][(x 2)-2]=5, 示例 则(x-2)2-22=5,(x-2)2=9, 方程两边同时开平方，得x一2=士3，解 得x1=5,x2=-1. 我们把这种解法叫作“平均数法” 下面是用“平均数法”解方程(x十4)(x 十6)=15的过程： 解：原方程可变形为[(x十口)一O][(x +☐)+0]=15， 则(x+☐)2-O2=15. (x+☐)2=15+○2， 应用 方程两边同时开平方，得=☆，x2=△. (1)上述解题过程中，口=一，0 ,☆= ,△= (2)用“平均数法”解下列方程： ①(x+3)(x-1)=5; ②(50-x)(40-2x)=702 第二十五章4