专题05 导数及其应用（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了导数及其应用专题，涵盖导数的概念与意义、运算、应用（单调性、极值、最值、切线方程）等核心内容，通过知识脑图搭建脉络框架，考点分层突破重难点。 清单采用考点深研与素养进阶双轨设计，基础梳理夯实概念，重点突破结合母题探究提炼解题范式，易错剖析标注避坑攻略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。如导数定义极限计算标注方法总结，切线方程求解区分“在点处”与“过点”类型，助力学生自主高效复习，为教师提供系统教学支持。

专题05 导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 考点01 导数的概念及意义、导数的运算 考点02 导数的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型02 利用导数求解函数的极值 题型03 利用导数研究函数的最值 题型04 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 重点突破・考法深研 重点01 导数定义中极限的简单计算 重点02 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 重点03 基本初等函数的导数公式 重点04 用导数判断或证明已知函数的单调性 重点05 求已知函数的极值 重点06 根据极值求参数 重点07 根据极值点求参数 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 利用导数证明不等式 方法点拨02 利用导数求函数的单调区间（不含参） 方法点拨03 由导数求函数的最值（不含参） 易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数单调性、极值与最值的综合应用 易错点02 利用导数研究不等式恒成立问题 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念及意义、导数的运算 1.导数的概念 (1)一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率. (2)函数在处的导数 就是函数在处的瞬时变化率. (3)函数在点处的导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率.切线方程： (4)导数为零的点称为函数的驻点. (5)给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数与之对应，则称为函数的导函数. 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数导数公式 -，为常数： -，为常数： -： -： -： -： (2)导数四则运算法则 (3)简单复合函数的导数 由与复合而成的型复合函数，求导法则： (4)曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系 ①曲线在点处的切线：为切点，切线斜率，有且仅有一条切线； ②曲线过点的切线：切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，切线可能有多条. 已知函数，则_________． 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度（单位：℃）为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______. 若，则_________. 考点02 导数的应用 1.导数与函数的单调性 函数的单调性与导数的关系： 函数在区间内可导 1.若，则在区间内是严格增函数； 2.若，则在区间内是严格减函数； 3.若恒有，则在区间内是常数函数. 函数的严格减区间是______ . 函数的单调递减区间为__________. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 2.导数与函数的极值、最值 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. (2)函数的极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 2.函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值. (2)若函数在上严格增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上严格减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 函数的最小值为__________． 3.利用导数解决实际问题 （1）导数在实际问题中应用的步骤 ①审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③解模：利用导数知识解模； ④释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案. （2）导数在实际问题中应用的注意点 ①在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； ②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大(小)值； ③在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________． 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 4.导数与含参不等式 （1）恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地： -若对恒成立，则只需； -若对恒成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. （2）有解问题 在函数能取到最值的条件下： -若存在，使成立，则只需； -若存在，使成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. 对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围__________. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. (1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间； (3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 素养进阶·答题技法突破 题型01 利用导数求解函数的单调性和单调区间 考情定位：上海高考压轴题型，常以解答题第20-21题出现，难度较高，分值约16-18分，常结合新定义考查导数与单调性、最值的综合应用。 核心考法：①求导后由（或）确定单调区间；②结合新定义转化为函数最值问题；③利用单调性证明不等式或判断函数性质。 解题要点：①先求定义域，再解或确定单调区间；②导数符号不确定时构造辅助函数或分类讨论；③新定义题先把条件翻译为等式或不等式，再借助单调性逐步推导。 （2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 题型02 利用导数求解函数的极值 考情定位：上海高考常考题型，以解答题为主，难度中等，分值约12-14分，考查利用导数求极值、判断极值的存在性与参数的取值范围。 核心考法：①求导后令求极值点；②判断极值点两侧导函数符号的变化；③含参数时分类讨论极值的存在性，求参数取值范围。 解题要点：①极值点由确定，但需验证两侧异号；②含参数问题按判别式或参数范围分类讨论，逐一检验；③注意区分极大值与极小值，取值范围注意区间开闭。 （2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 题型03 利用导数研究函数的最值 考情定位：上海高考常考题型，填空题与解答题均可出现，难度中等，分值约8-14分，考查利用导数求最值及实际应用问题。 核心考法：①建立目标函数并求导求最值；②闭区间上比较端点值与极值点函数值；③结合几何或实际问题背景建立函数模型求最值。 解题要点：①先确定定义域，再求导求极值；②闭区间最值需比较端点和极值点；③应用题先设变量建模，注意检验单位与实际意义。 （2025•上海）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为_________． （2026•上海）已知，函数，． （1）若（1），求的解集； （2）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． （2025•上海）已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1），求； （2）对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 题型04 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 考情定位：上海高考基础常考题型，以填空题或解答题小题出现，难度中等偏下，分值约4-8分，考查导数的几何意义与切线方程。 核心考法：①由求切线斜率；②写出切线方程；③结合函数性质（周期、零点）综合求解参数。 解题要点：①先求导函数再代入切点横坐标得斜率；②切线方程用点斜式书写并化简；③综合题注意区分“切点”与“已知点”，避免混淆。 （2026•上海）已知函数，． （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在，上恰好有1351个解，求的取值范围． 重点01 导数定义中极限的简单计算 方法总结：导数定义。极限计算先化简差商，再令取极限；分母含时先整体变形，勿直接代入0。 （2026·上海·三模）已知，则________． （2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． （2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 重点02 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 方法总结：切点处切线斜率，切线方程为。求斜率先求导再代横坐标；注意区分“在点处”与“过点”的切线问题。 （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 （2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. （2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 重点03 基本初等函数的导数公式 方法总结：熟记基本公式：，，，，，，；结合四则运算与复合函数求导法则。 （2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． （2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 （2026·上海浦东新·三模）吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 重点04 用导数判断或证明已知函数的单调性 方法总结：由得递增，得递减。求导后判断导函数符号：能因式分解优先分解，符号恒定时直接判定，含参数则分类讨论。 （2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． （2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”． (1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由； (2)已知为的导函数，讨论函数的单调性； (3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围． （2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 重点05 求已知函数的极值 方法总结：先求，令得极值点；再判断在零点两侧符号是否改变——左正右负为极大值，左负右正为极小值。用列表法逐一判断。 （2026年高考数学终极押题猜想02（上海专用））已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. （2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． （2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 重点06 根据极值求参数 方法总结：已知极大（小）值时，由与极值联立求参数；解出后务必回代检验两侧导函数符号，排除非极值点。注意极值与最值的区别。 （2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． （2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 重点07 根据极值点求参数 方法总结：已知为极值点，则，据此求参数；再回代验证两侧导函数异号。极值点可能多个，需分类讨论。 （25-26高三上·上海·阶段检测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． （2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合. (1)若指数函数的图像过点，且，求M； (2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. （2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 方法点拨01 利用导数证明不等式 方法技巧：证明可构造函数，求导判断单调性并求其最小值；最小值为正则成立。亦可借助、等常用不等式放缩。 （2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 （2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． （2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数.设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 方法点拨02 利用导数求函数的单调区间（不含参） 方法技巧：先求定义域；求导令求驻点；以驻点划分区间，判断各区间的导函数符号；导数为正的区间为增区间，为负的区间为减区间，用表格或区间符号表示。 （2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 （2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． （2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 方法点拨03 由导数求函数的最值（不含参） 方法技巧：闭区间上最值需比较区间端点与区间内所有极值点的函数值，最大者为最大值、最小者为最小值；开区间或实际问题结合单调性判断，并注意实际意义。 （2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． （2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. （2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 易错点01 函数单调性、极值与最值的综合应用 易混易错：①是极值点的必要不充分条件，导数为0未必取得极值；②极值是局部概念、最值是全局概念，不可混淆；③单调区间端点与极值点书写要规范；④多个极值点时须比较大小才能确定最值。 （2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. （2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． （2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 易错点02 利用导数研究不等式恒成立问题 易混易错：①恒成立问题优先分离参数或构造函数求最值；②注意等号能否取到，端点处单独验证；③含参数的分类讨论标准要统一，勿遗漏特殊值；④数形结合时注意临界位置。 （2026·上海浦东新·三模）对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． （2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时.） （2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 优题精练·专题实战通关 （2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________． （2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. （2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． （2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    （2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． （2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． （2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． （2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. （2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” $平均变化率： f(xo+h)-f(zo) x=xo处的导数（瞬时变化率）：f'(xo)=lim f(2o+h)-f(zo) h+0 几何意义：曲线方程式错误在点P(o,f(xo)处切线的斜率 导数的概念 切线方程：y一f(xo)=f'(xo)(x一xo) 驻点：导数为零的点 导函数：则=f'(x) (C)'=0,C为常数 (x)'=axa-1,a为常数 (e)'=e2 基本初等函数导数公式 (nz)=1 导数的概念及意义、 导数的运算 (sinz)'=cosx (cos)'=-sinz 方程式错误 方程式错误 导数四则运算法则 方程式错误 方程式错误，u=ax+b(a卡0)，（f(ax+b)=a·f'(u) 简单复合函数的导数 在点P(x0,0)处的切线：P是切点，切线唯一 切线辨析 导数及其应用 过点P(xo,o)的切线：P不一定是切点，切线可有多条 '(x)>0→方程式错误在方程式错误严格增 '(x)<0→方程式错误在方程式错误严格减 导数与函数的单调性（函数在区间方程式错误内可导） f'(x)三0→方程式错误为常数函数 极小值：f'(a)=0:左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0:a极小值点，方程式错误极小值 导数与函数的极值 极大值：f'(b)=0:左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0:b极大值点，方程式错误极大值 导 闭区间方程式错误上连续函数必有最大值、最小值 的应用 导数与函数的最值 单调函数：最值直接取区间端点 步骤：审题、建模、解模、释模 利用导数解决实际问题 舍去不符合实际意义的解 注意点 区间内唯一驻点取得极值，则该极值即为实际最值 最优化问题，务必写自变量实际定义区间 恒成立问题（函数可取到最值） Q大于方程式错误在区间D上全部函数值←→a大于方程式错误在区间D上的最大值 a小于方程式错误在区间D上全部函数值→α小于方程式错误在区间D上的最小值 导数与含参不等式 有解问题（函数可取到最值） a大于方程式错误在区间D上部分函数值←→Q大于方程式错误在区间D上的最小值 a小于方程式错误在区间D上部分函数值→a小于方程式错误在区间D上的最大值专题05 导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 考点01 导数的概念及意义、导数的运算 考点02 导数的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型02 利用导数求解函数的极值 题型03 利用导数研究函数的最值 题型04 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 重点突破・考法深研 重点01 导数定义中极限的简单计算 重点02 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 重点03 基本初等函数的导数公式 重点04 用导数判断或证明已知函数的单调性 重点05 求已知函数的极值 重点06 根据极值求参数 重点07 根据极值点求参数 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 利用导数证明不等式 方法点拨02 利用导数求函数的单调区间（不含参） 方法点拨03 由导数求函数的最值（不含参） 易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数单调性、极值与最值的综合应用 易错点02 利用导数研究不等式恒成立问题 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念及意义、导数的运算 1.导数的概念 (1)一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率. (2)函数在处的导数 就是函数在处的瞬时变化率. (3)函数在点处的导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率.切线方程： (4)导数为零的点称为函数的驻点. (5)给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数与之对应，则称为函数的导函数. 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数导数公式 -，为常数： -，为常数： -： -： -： -： (2)导数四则运算法则 (3)简单复合函数的导数 由与复合而成的型复合函数，求导法则： (4)曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系 ①曲线在点处的切线：为切点，切线斜率，有且仅有一条切线； ②曲线过点的切线：切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，切线可能有多条. 已知函数，则_________． 【答案】 【分析】根据导数的定义，及基本初等函数的导数即可求解． 【详解】由，则， 所以． 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度（单位：℃）为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______. 【答案】0 【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【详解】由题意可知温度的瞬间变化率为，因此当时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为. 故答案为：0. 若，则_________. 【答案】 【分析】根据复合函数求导法则直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 考点02 导数的应用 1.导数与函数的单调性 函数的单调性与导数的关系： 函数在区间内可导 1.若，则在区间内是严格增函数； 2.若，则在区间内是严格减函数； 3.若恒有，则在区间内是常数函数. 函数的严格减区间是______ . 【答案】 【分析】求解导数，利用导数小于零可得减区间. 【详解】因为，所以，， 令，可得， 所以的严格减区间是 故答案为： 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 2.导数与函数的极值、最值 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. (2)函数的极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 2.函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值. (2)若函数在上严格增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上严格减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 函数的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 3.利用导数解决实际问题 （1）导数在实际问题中应用的步骤 ①审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③解模：利用导数知识解模； ④释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案. （2）导数在实际问题中应用的注意点 ①在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； ②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大(小)值； ③在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【分析】根据条件确定函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可. 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________． 【答案】 【分析】根据已知条件设、，由此可得，对函数求导，根据导数判断函数的单调性，求得最值即可. 【详解】由题意设，因为面积为，所以， 根据题意有：， 所以， 则长方体的体积为， ，令，有， 所以时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 【答案】 【分析】设点距点， 得到，且，再设总的水管费用为元，求得，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 4.导数与含参不等式 （1）恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地： -若对恒成立，则只需； -若对恒成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. （2）有解问题 在函数能取到最值的条件下： -若存在，使成立，则只需； -若存在，使成立，则只需. 由此构造不等式，求解参数的取值范围. 对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围__________. 【答案】 【分析】不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求. 【详解】不等式恒成立等价于即，即， 由于为增函数，所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. (1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间； (3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，函数的单调递增区间为． 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可； （2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可； （3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可. 【详解】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得． （2）函数的定义域为， ， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，， 此时，函数的单调递增区间为． ②当，即时， 令，得或， 令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ③当，即时，令，得或；令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）由，可得，即，其中， 令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得， 当时，，当时，， ∴函数在上严格递增，在上严格递减， ∴函数在端点或处取得最小值． ∵，∴， ∴，∴， 因此，实数的取值范围是 【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论： （1）存在； （2）存在. 素养进阶·答题技法突破 题型01 利用导数求解函数的单调性和单调区间 考情定位：上海高考压轴题型，常以解答题第20-21题出现，难度较高，分值约16-18分，常结合新定义考查导数与单调性、最值的综合应用。 核心考法：①求导后由（或）确定单调区间；②结合新定义转化为函数最值问题；③利用单调性证明不等式或判断函数性质。 解题要点：①先求定义域，再解或确定单调区间；②导数符号不确定时构造辅助函数或分类讨论；③新定义题先把条件翻译为等式或不等式，再借助单调性逐步推导。 （2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）存在，； （3）严格单调递减． 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【解答】解：（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点， 使得该点是在的“最近点”； （2）由题设可得， 则，因为，均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，，故在点处的切线方程为， 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即，① ，② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则，， 即，③ ，④ ③④得， 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 【点评】本题考查基本不等式，极值、最值的求解，导数的应用等，属于难题． 题型02 利用导数求解函数的极值 考情定位：上海高考常考题型，以解答题为主，难度中等，分值约12-14分，考查利用导数求极值、判断极值的存在性与参数的取值范围。 核心考法：①求导后令求极值点；②判断极值点两侧导函数符号的变化；③含参数时分类讨论极值的存在性，求参数取值范围。 解题要点：①极值点由确定，但需验证两侧异号；②含参数问题按判别式或参数范围分类讨论，逐一检验；③注意区分极大值与极小值，取值范围注意区间开闭。 （2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】（1），；（2），，． 【分析】（1）由（1）求得，再结合函数的单调性解不等式即可； （2）求导后分类讨论即可求得． 【解答】解：（1）由题意，（1），解得，所以， 因为，所以， 设，， 因为与均为增函数，所以为增函数， 因为（1），所以由，得， 所以不等式的解集为，； （2）由题意，， 当时，， 故在单调递减，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，当时，恒成立，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 当时，或， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 综上，的取值范围为，，． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题． 题型03 利用导数研究函数的最值 考情定位：上海高考常考题型，填空题与解答题均可出现，难度中等，分值约8-14分，考查利用导数求最值及实际应用问题。 核心考法：①建立目标函数并求导求最值；②闭区间上比较端点值与极值点函数值；③结合几何或实际问题背景建立函数模型求最值。 解题要点：①先确定定义域，再求导求极值；②闭区间最值需比较端点和极值点；③应用题先设变量建模，注意检验单位与实际意义。 （2025•上海）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为_________． 【答案】． 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为4，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值． 【解答】解：由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则， 令，则或， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题． （2026•上海）已知，函数，． （1）若（1），求的解集； （2）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】（1），，，； （2），，． 【分析】（1）利用（1），求出的值，再求的解集； （2）由题意在内无解，故在内无解．换元，利用导数确定函数的单调性，进而可求的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，，（1），所以， 所以，故， 所以且， 所以，，，； （2）由题意，，，故为， 斜率为，故为， 由题意在内无解，故在内无解． 不妨设，， 所以， 所以在，单调递减，在，单调递增， 故（1），，， 故，， 即，，； 同理，，，，． 综上，，，． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （2025•上海）已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1），求； （2）对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3），． 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解． 【解答】解：（1）由定义得，． （2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集． 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②． 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数． 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证． （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调递增， 所以对任意，恒成立． 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以（1）； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，，， ，时，， 所以； 综上，的取值范围是，． 【点评】本题主要考查新定义问题，函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于难题． 题型04 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 考情定位：上海高考基础常考题型，以填空题或解答题小题出现，难度中等偏下，分值约4-8分，考查导数的几何意义与切线方程。 核心考法：①由求切线斜率；②写出切线方程；③结合函数性质（周期、零点）综合求解参数。 解题要点：①先求导函数再代入切点横坐标得斜率；②切线方程用点斜式书写并化简；③综合题注意区分“切点”与“已知点”，避免混淆。 （2026•上海）已知函数，． （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在，上恰好有1351个解，求的取值范围． 【答案】（1）． （2），，． 【分析】（1）根据已知条件求得，再结合导数的几何意义，求切线方程即可； （2）由正弦函数的周期性可得，再结合正弦函数的图象与零点，求解即可． 【解答】解：（1）当时，， 因为， 所以，即，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 故函数在处的切线方程为，即． （2）因为的最小正周期为， 所以， 所以， 因为在，，，，，，，，上各自恰有2个解， 所以在，上恰有个解， 所以在，恰有1个解， 当， 时，， 因为， 所以若，则； 若，则， 综上，． 【点评】本题考查切线方程的求法与正弦函数的图象与性质，熟练掌握导数的几何意义，正弦函数的周期性，函数的零点与方程根之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 重点01 导数定义中极限的简单计算 方法总结：导数定义。极限计算先化简差商，再令取极限；分母含时先整体变形，勿直接代入0。 （2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. （2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 【答案】12 【详解】 （2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 重点02 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 方法总结：切点处切线斜率，切线方程为。求斜率先求导再代横坐标；注意区分“在点处”与“过点”的切线问题。 （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导，得， 得或，D错. （2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 【答案】C 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得： 因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. （2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 重点03 基本初等函数的导数公式 方法总结：熟记基本公式：，，，，，，；结合四则运算与复合函数求导法则。 （2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解. 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； （2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假. 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，可得(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；所以命题②错误. （2026·上海浦东新·三模）吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 【答案】 【分析】求出半径关于容量的导函数，再利用导数的几何意义即可得出时，气球的瞬时膨胀率. 【详解】利用球的体积公式直接可得， 所以，即， 所以， 当时，， 即时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为. 重点04 用导数判断或证明已知函数的单调性 方法总结：由得递增，得递减。求导后判断导函数符号：能因式分解优先分解，符号恒定时直接判定，含参数则分类讨论。 （2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）首先求出导函数，根据构造函数，根据研究的单调性；根据以上单调性分析的大致图象，根据其与直线有交点可得结果. （2）构造函数，根据导数研究恒成立问题. 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. （2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”． (1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由； (2)已知为的导函数，讨论函数的单调性； (3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是函数的“魅力数组” (2)时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）将条件代入，进行验证即可； （2）对目标函数进行求导，并对与定义域的范围进行讨论； （3）将条件代入，并构造辅助函数，结合小问（2）对辅助函数讨论求出范围. 【详解】（1）由题可知，，将代入，得， 即， 当时，， 则， 故不是为函数的“魅力数组”. （2）由题意可得，令 则，因为，故，讨论分子即可， 当，即，则，， 故在上单调递增； 当，即时，当时，即，， 故在上单调递增； 当时，即，，且， 故在上单调递减. （3）由题可知， 构造辅助函数， 则， 由题目条件可得任意，当时，或， 当时，，故是的一个极值点且为最值点， 当时，则是的最小值点，故的左侧小于等于，右侧大于等于， 当时，当时， 得出在上单调递增； 当时，则是的最大值点，故的左侧大于等于，右侧小于等于， 当时，当时， 得出在上单调递减， 又因为任意，都是函数的“魅力数组”， 则必须在上单调，再根据小问（2）结论时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减，得出的取值范围为. （2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【答案】(1)不是函数的“切线支撑点”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，1. 【分析】（1）举反例，结合“切线支撑点”的定义判断； （2）令，利用导数证明，结合新定义判断； （3）由新定义可得对任意恒成立，所以，，从而求得，由题可得，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. （2）由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. （3）由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 重点05 求已知函数的极值 方法总结：先求，令得极值点；再判断在零点两侧符号是否改变——左正右负为极大值，左负右正为极小值。用列表法逐一判断。 （2026年高考数学终极押题猜想02（上海专用））已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）代入已知参数后求导并因式分解，通过分析导函数的正负符号变化，直接确定函数的单调区间与极值； （2）对原函数带参求导并提取公因式，以参数的符号及极值点分布情况进行分类讨论，结合极值正负与端点极限，利用零点存在性定理确定符合条件的范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意.即当时符合题意， 综上，的取值范围是. （2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． （2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 重点06 根据极值求参数 方法总结：已知极大（小）值时，由与极值联立求参数；解出后务必回代检验两侧导函数符号，排除非极值点。注意极值与最值的区别。 （2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 【答案】(1)是“极值差比函数”，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“极值差比函数”的定义来判断函数的单调性，结合正弦函数的性质来进行判断； （2）反证法，假设存在这样的参数，由“极值差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可； （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【详解】（1）若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值，， 极小值，，则， 因此是“极值差比函数”. （2）的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（）无解，所以不存在使的极值差比系数为. （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. （2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【答案】(1)方程的解集为 (2)，极值点为极大值点. 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出； （2）先对进行求导，令并求导即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 重点07 根据极值点求参数 方法总结：已知为极值点，则，据此求参数；再回代验证两侧导函数异号。极值点可能多个，需分类讨论。 （25-26高三上·上海·阶段检测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. （2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合. (1)若指数函数的图像过点，且，求M； (2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合集合定义，求解即可. （2）根据极值与导数关系，求解的范围，并通过判断即可. 【详解】（1）设指数函数(且)，因为其图像过点，代入得，，则， 因此，因此， 而集合，其中， 令，则， 由于，故，即， 因为指数函数在上单调递增，所以， 因此，集合. （2）函数的定义域为， 对原函数求导得，， 因为在上存在极值点，所以在上有解， 即，故， 设，，则， 当时，且，故，即在上单调递增， 因为，，因此在上的值域为， 所以，实数的取值范围是， 由于在上单调递增，对于任意， 存在唯一的使得，即， 当时，，即，故，单调递减， 当时，，即，故，单调递增， 因此，是在上的极小值点， ， 将代入上式，， 故， 设，求导得，， 令，得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 因此，在处取得最大值，， 当时，，故， 当时，， 综上，对任意，， 因此，， 即成立，故. （2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 方法点拨01 利用导数证明不等式 方法技巧：证明可构造函数，求导判断单调性并求其最小值；最小值为正则成立。亦可借助、等常用不等式放缩。 （2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】通过等差数列、等比数列的通项公式的图像性质作出判断；通过不等式放缩进行证明. 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. （2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设，，，，所以，，则直线为. 令，则. ，因为，且，所以， 所以数列是严格递减数列. (3)，理由如下： 当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导， 构造函数，，所以单调递增，且，所以， 所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性，当，，此时； 当，，此时；当，，此时. 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）略 （3）略 （2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数.设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【答案】(1)在上，，设，求导得， 当时，，故，故在上单调递增，因此， 即，满足定义，所以是在该区间上的绝对值上界函数. (2)成立， 等价于和同时成立， 设，，由题设可知即， 由此可得，，所以和在上都单调不减， 所以，有，则， 也即成立， 整理得， 同理也即成立， 整理得，于是原不等式得证. (3)， 【分析】（1）通过构造函数证明在上即可得到结论； （2）将原不等式转化为两个不等式，构造两个辅助函数并求导，结合绝对值上界函数的定义判断它们的单调性，最后利用单调性导出结论； （3）先判断出在上单调不减，然后根据最值信息得到在和时均为常数，再利用和的约束关系得到此时也为常数，对于时的情况，则通过构造和的差，并利用其单调性以及端点值相等得到其为常数，综合所有情况即可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）结论：，，证明如下： 由题设可知，，因此，在上单调不减， 那么当时，但是，所以即为常数， 所以，又根据，必有，所以； 当时，但是，所以即为常数，同理可得； 当时，利用（2）中构造的，因为单调不减， 又，， 所以也即在上恒成立， 综上所述，，. 【点睛】这一类题目通常利用构造函数寻找突破口，需要时刻注意原函数和导数之间的对应关系. 方法点拨02 利用导数求函数的单调区间（不含参） 方法技巧：先求定义域；求导令求驻点；以驻点划分区间，判断各区间的导函数符号；导数为正的区间为增区间，为负的区间为减区间，用表格或区间符号表示。 （2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】不妨令函数，该函数连续， 易知当，， 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 当时，单调递增，且当时，, 此时函数满足且在处取极小值，图象是连续曲线， 即存在函数在处取极小值，且图象是连续曲线，因此①②都真. （2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）代入得，求导后判断导函数符号，确定单调区间. （2）由虚根知判别式，利用韦达定理列方程求解，并验证判别式条件. 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. （2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. (2) 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【详解】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 方法点拨03 由导数求函数的最值（不含参） 方法技巧：闭区间上最值需比较区间端点与区间内所有极值点的函数值，最大者为最大值、最小者为最小值；开区间或实际问题结合单调性判断，并注意实际意义。 （2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． 【答案】5 【分析】设向量，的夹角为，，则，令，再利用导数求最值即可． 【详解】设向量，的夹角为，， ， 令， ， 又在上单调递减，且， 则有唯一解，设为， 时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 又，所以， 即的最小值是． （2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. （2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 易错点01 函数单调性、极值与最值的综合应用 易混易错：①是极值点的必要不充分条件，导数为0未必取得极值；②极值是局部概念、最值是全局概念，不可混淆；③单调区间端点与极值点书写要规范；④多个极值点时须比较大小才能确定最值。 （2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. （2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】求导，可得是方程的两不等正根，进而可得，令，则，利用导数可求得的最小值. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 因为是函数的极值点，所以是方程的两不等正根， 则有，，， 所以，，即，且有，， 令，则，则， 求导得， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增. 所以的最小值为. （2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】(1)． (2)． (3)法一：由可知，对任意，都有. 而所以.       (1) 已知存在正数，使得. 对任意整数，令. 由式（1）可得即. 所以为常量，即对任意，都有. 于是.     (2) 下面证明. 先证对任意都成立． 任取，必存在，使. 因为在上为增函数，所以. 故对任意，都有．    (3) 再由式（2）知且. 由于的图像是连续曲线，且在上单调递增，因此的值域为． 又因为所以 当取遍时，也取遍． 故. 法二： 由可知，对任意，都有. 而所以．    (1) 已知存在正数，使得. 先证明：对任意整数，都有．  (2) 当时，由式（1）反复应用可得. 当时，显然. 当时，设（），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为在上单调递增，且图像连续，所以. 由，可得. 于是. 法三： 由可知，对任意，都有. 而所以．  (1) 已知存在正数，使得. 由式（1）对正整数反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意，都有．  (2) 由式（2）知且. 又因为在上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 【分析】（1）先求出的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数的值域为非负实数集，从而其最小值为，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由得．取，构造，证明其为常量，从而得到．再结合单调性与连续性，求出，进而求得. 法二：由得．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明．结合单调递增与图像连续，得到，从而求得. 法三：先由推出．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意，都有．最后结合连续性与单调性确定的值域，进而求得. 【详解】（1）由题意，. 因为，所以. 当时，等号成立．故=. （2）令. 由题设可知，的值域为非负实数集，从而其最小值为. 设时取到最小值，则，且， 因为所以. 又由，得即. 从而. 由可得故 令，则当且仅当时，等号成立. 此时，由得，于是，又，故．所以的最小值为. （3）略 易错点02 利用导数研究不等式恒成立问题 易混易错：①恒成立问题优先分离参数或构造函数求最值；②注意等号能否取到，端点处单独验证；③含参数的分类讨论标准要统一，勿遗漏特殊值；④数形结合时注意临界位置。 （2026·上海浦东新·三模）对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 【答案】(1)函数，由，得，则， 当时，，因此恒成立， 即恒成立，所以是的函数； 当时，，取，，， 此时，所以不是的函数. (2) (3)函数与其函数的图象有公共点， 函数与在上的图象公共点横坐标为，且恒成立， 则，令函数，于是恒成立， 且，即为在上的最小值点， 求导得，由，得， 令函数，求导得，则， 由为最小值点，得，则，解得； 假设存在使为非常数无穷等比数列， 设，，若，则数列严格递增， 当（表示的整数部分）时，，与矛盾； 若，则数列严格递减，当时，， 则存在正整数，使得当时，，与矛盾； 若，数列为常数列，与“非常数”矛盾， 所以不存在数列使得为非常数的无穷等比数列. 【分析】（1）使用特值法分析； （2）构造函数，使用导数求解； （3）构造函数通过导数分析函数的单调性与最值，再使用反证法证明. 【详解】（1）略 （2）函数，由是的一个函数， 得，不等式恒成立， 令函数，由，得， 求导得，， 当时，，则恒成立，在上单调递增， 因此恒成立，； 当时，由，，在上单调递减，，因此， 当时，方程的两个实根， 而且对称轴，故， 由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因此，，所以的取值范围是. （3）略 （2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时.） 【答案】(1)； (2)； (3)因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 【分析】（1）根据定义列出等式求解即可； （2）根据定义列出等式，再用三角函数的相关公式化简，得到=，所以的系数必须为0，常数项等于： （3），根据零点存在定理判断. 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 （3）略. （2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 优题精练·专题实战通关 （2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________． 【答案】， 【详解】函数的定义域为. ， 令，得， 所以，即. 所以函数的驻点为. （2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令，则. （2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． 【答案】 【分析】根据函数单调性得出导数正负，结合函数图象得出函数值计算求解不等式. 【详解】不等式，由图象可知，所以 单调递增，，所以； 单调递增，，所以； 因为，，所以； 单调递减，，所以； 单调递减，，所以； 所以的解集为. （2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】    以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. （2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. （2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【分析】先考虑时的范围，对于时，可利用存在使得，结合特值法求得，从而可得的最小值. 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. （2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. （2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； (2) (3)不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）略 （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）略 （2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】(1) (2)或或 (3)必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【详解】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. （3）略 $