专题1 集合与充要条件（讲义）-2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合与充要条件 【复习目标】 1. 理解并掌握集合的概念及集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性） 2. 掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、图示法）； 3. 理解元素与集合的关系及集合间的关系（a∈A，a ∉A）； 4.掌握集合间的关系（子集（B⊆A或A⊇B）、真子集（B⊊A或A⊋B） 、相等（A=B））; 5. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算； 6.学会判断充分条件、必要条件及充要条件。 【考点1 集合的概念】 1.集合:由某些确定的对象组成的整体称为集合，集合用大写字母A、B、C表示，元素用小写字母a,b,c表示。 2.元素与集合的关系:a∈A读作“a属于A”，a ∉A读作“a不属于A”。 3.集合中元素的三个特征:确定性;互异性;无序性。 4.集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． 5.有限集与无限集的概念: 含有有限个元素的集合叫作有限集。（列举法表示） 含有无数个元素的集合叫作无限集。（描述法表示） 5.空集:不含任何元素的集合叫作空集，记作∅，空集也是有限集。 6.常用的数集及其记法 集合名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示 N 或N* Z Q R 【即时训练】 1. 下列各项中所指的对象，能组成集合的是( ) A.本班学习好的同学 B. 好看的书 C.不等式x+1>0的解 D. 非常大的数 【答案】C 【解析】集合的确定性，给定的集合中的元素必须是确定的 。 A.B. D三个选项所组成的集合都不能确定。故选：C． 2. 用列举法表示集合{x|x2=9}为（ ） A. {3} B. {-3} C. 0 D. {-3,3} 【答案】D 【解析】集合的的表示方法：列举法（将集合元素一一列举出来）。 解平方方程的解为3，-3。故选：D． 3. 下列集合与元素的关系不正确的是（ ） A.3∈N B.3∈Z C.∈Q D.0∈∅ 【答案】D 【解析】N自然数集：3是自然数，A 正确 Z是整数集：3是整数，B 正确 Q是有理数集：是分数属于有理数，C 正确 ∅是空集，不含任何元素，0∈∅错误 故选：D． 4．下列关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：{∅}是含有空集这个元素的集合，不是空集，错 B：{0}里面只有元素0，没有∅，错 C：空集是任何集合的子集，∅⊆{0}，对 D：0是元素，⊆用来表示集合与集合关系，符号使用错误 故选：C． 5．设集合，，，则中的元素个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】计算所有ab的值:1×2=2,1×3=3, 1×4=4;2×2=4, 2×3=6, 2×4=8; 3×2=6,3×3=9, 3×4=12去掉重复元素M={2,3,4,6,8,9,12}，一共7 个元素。故选：C． 6. 设集合A能被9整除的数构成的集合，则下列各数属于集合A的是（ ） A．12 B．16 C．26 D．81 【答案】D 【解析】81÷9=9，其余都不能被9整除。故选：D． 7. 已知集合A={2，3，2a}，若20∈A，则a的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】集合元素为2,3,2a，20只能等于2a，2a=20解得a=10。故选：D． 【考点2 集合间的关系】 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相等 A＝B 子集 A中的任意一个元素都在集合B中 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于集合B AB 【即时训练】 1.集合{1，2，3}中的子集个数为（ ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解析】集合个数为3，所以子集的个数为23=8 故选：D． 2. 集合A={1，8}，集合B={2a，1}，若A=B，则实数a的值为（ ） A． -4 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【解析】∵集合A与集合B的公共元素是1， ∴2a=8 ，解得a=4。 故选：D． 3. 集合A={x∣x是中职学校的专业}，B={x∣x是计算机专业}，则A与B的关系是（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A=B D. 无包含关系 【答案】B 【解析】∵计算机专业属于中职专业， ∴B⊆A 故选：B． 4. 集合A={0，1，2}的子集的个数为 ，非空真子集的个数为 （ ） A．6，7 B．8，7 C．8，6 D．8，8 【答案】C 【解析】∵子集总数公式：2n=23=8 非空真子集：去掉空集、去掉集合本身，2n-2=8-2=6 故选：C． 5.已知集合，则集合M中的点所在的象限是（ ） A. 第二象限 B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】D 【解析】∵代表x、y异号：(x>0,y<0)：第四象限 (x<0,y>0\)：第二象限 ∴点在第二象限或第四象限。 答案：D 【考点3 集合的运算】 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 AUB A∩B 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 【即时训练】 1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则M∩N=（ ） A. {2,3} B. {1,2,3,4} C. {1,4} D. ∅ 【答案】A 【解析】∵M∩N={-1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}。故选A 2.已知集合A={x|-|3<x≤2}，B={x|1<x<5}，则A∪B=（ ） A. {x|-3<x<5} B. {x|-3<x<1} C. {x|1<x≤2} D. ∅ 【答案】A 【解析】A∪取两个集合的全部范围并合并{x|-|3<x<5}。故选A 3.设全集U={0，1，2，3，4}，A={2，3，4}，则CUA=（ ） A. ​ {0} B. {0，1} C. {0，1,4} D. {0，1，2，3，4} 【答案】B 【解析】CUA表示集合A在全集U的补集，全集中去掉集合A中的元素得{0，1}。故选B 4.已知集合P=正方形}，Q={菱形}，则P∩Q=（ ）​ A. {正方形} B. {矩形} C. {四边形} D. {菱形} 【答案】A 【解析】P∩Q找既是正方形又是菱形的图形。正方形属于特殊的菱形.故选A 5.若集合M={x∣x 2 =4}，N={−2,0,2}，则M与N的关系是（ ）​ A. M=N B. N⊆M C. M⊆N D. M∩N=∅​ 【答案】C 【解析】M={-2,2},N={−2,0,2},M的全部元素都在N中，∴M⊆N 。故选C 6.已知集合A={5,a+1},集合B={a，b},若A∩B={2}，求A∪B。 解：∵A∩B={2} ∴a+1=2,解得a=1 则b=2 故A={2，5}，B={1，2} A∪B={1，2，5} 【考点4 充要条件】 逻辑关系 符号表示 集合视角 充分条件 且 是 的真子集 ( ) 必要条件 且 是 的真子集 ( ) 充要条件 两集合相等 ( ) 既不充分也不必要条件 且 两集合相交或相离 【即时训练】 1.命题p“ ”是命题q“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如果，一定满足 ，则q⇒p 如果，不一定满足 ，则p⇏q 。故p是q的必要不充分条件。故选B 2. 设 为实数，则“ ”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】⇔x=0,互相能推出，充要条件 3. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要条件，则甲是丁的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】甲是乙的充分不必要：甲⇒乙，乙⇏甲 乙是丙的充要：乙⇔丙 丁是丙的必要条件：丙⇒丁，丁⇏丙 链条：甲⇒乙⇔丙⇒丁 甲可以推出丁，丁推不出甲，所以甲是丁的充分不必要条件。故选A. 4.的（ ）条件。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 p⇏q 故选A。 1.(2026年陕西省高职分类考试（三校生）第1题)已知集合，，求（ ） A.{1} B. {0,2,3,5} C.{1，2，3，5} D.{0,1,2,3,5} 【答案】D 【解析】∵A∪B={0,1,2}∪{1，3，5}={0，1，2，3，5} 故选D 2.（2025年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={2，5，7}，B={1，2，3}，若A∪B=（ ） A.{2} B. {1，2} C.{1，2，3，5，7} D.∅ 【答案】C 【解析】∵A∪B={2，5，7}∪{1，2，3}={1，2，3，5，7} 故选C 3.（2024年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={0，2，3，5}，B={1，2，3，4，5}，若A∩B=（ ） A.{2，3，5} B. {0，2，5} C.{0,1，2，5} D.{0,1,2，3，4，5} 【答案】A 【解析】∵A∩B={0，2，3，5}∩{1，2，3，4，5}={2，3，5} 故选A 4.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第2题）设，为实数，则的充要条件是（ ） A. B. C. D.｜x｜=｜y｜ 【答案】D 【解析】∵⇔｜x｜=｜y｜，双向可以互推，充要条件 故选D 5.（2021年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合M={x|2<x≤5}，则下列式子正确的是（ ） A.2.5∈M B.0∈M C.{0}∈M D. 5∉M 【答案】A 【解析】∵A：2.5∈M，2<2.5≤5正确 B：0∈M，0<2，不在集合内，错误 C：{0}∈M，{0}是集合，M里面是数，符号用错 D：5∉M，条件是x≤5，5属于集合，错误 故选A 6.（2019年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={-2，-1，0，1}，B={-1，0，2，3}，则A∩B=（ ） A.{-1，0} B.{-2，0} C.{1，2} D. Ø 【答案】A 【解析】∵A∩B={-2,-1,0,1}∩{-1，0,2，3}={-1,0}.故选A 7.（2018年陕西省高职分类考试（三校生）第4题）“” 是 “” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】不等式(x-1)(x-4)>0 解得： x<1 或x>4 x>4可以推出不等式成立；不等式成立推不出x>4 ∴充分不必要条件 故选B 8.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第2题）已知集合A={1，2m+1}，B={3，1}，若A=B,则M=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】∵A=B ∴2m+1=3 ,解得m=1 故选B 9.（2021年陕西省高职分类考试（三校生）第13题） 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}. 求（1）A∩B （2） A∪B 解：（1）A∩B={1，2，3，4}∩{1，3，5，7}={1，3} （2）A∪B={1，2，3，4}∪{1，3，5，7}={1，2，3，4，5，7} 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省高职分类考试（三校生）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省高职分类考试（三校生） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合与充要条件 【复习目标】 1. 理解并掌握集合的概念及集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性） 2. 掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、图示法）； 3. 理解元素与集合的关系及集合间的关系（a∈A，a ∉A）； 4.掌握集合间的关系（子集（B⊆A或A⊇B）、真子集（B⊊A或A⊋B） 、相等（A=B））; 5. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算； 6.学会判断充分条件、必要条件及充要条件。 【考点1 集合的概念】 1.集合:由某些确定的对象组成的整体称为集合，集合用大写字母A、B、C表示，元素用小写字母a,b,c表示。 2.元素与集合的关系:a∈A读作“a属于A”，a ∉A读作“a不属于A”。 3.集合中元素的三个特征:确定性;互异性;无序性。 4.集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． 5.有限集与无限集的概念: 含有有限个元素的集合叫作有限集。（列举法表示） 含有无数个元素的集合叫作无限集。（描述法表示） 5.空集:不含任何元素的集合叫作空集，记作∅，空集也是有限集。 6.常用的数集及其记法 集合名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示 N 或N* Z Q R 【即时训练】 1. 下列各项中所指的对象，能组成集合的是( ) A、本班学习好的同学 B. 好看的书 C、不等式x+1>0的解 D. 非常大的数 2. 用列举法表示集合{x|x2=9}为（ ） A. {3} B.{-3} C. 0 D. {-3,3} 3. 下列集合与元素的关系不正确的是（ ） A.3∈N B.3∈Z C.∈Q D.0∈∅ 4．下列关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 5．设集合，，，则中的元素个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6. 设集合A能被9整除的数构成的集合，则下列各数属于集合A的是（ ） A．12 B．16 C．26 D．81 7. 已知集合A={2，3，2a}，若20∈A，则a的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点2 集合间的关系】 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相等 A＝B 子集 A中的任意一个元素都在集合B中 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于集合B AB 【即时训练】 1.集合{1，2，3}中的子集个数为（ ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 2.集合A={1，8}，集合B={2a，1}，若A=B，则实数a的值为（ ） A．-4 B．-2 C．1 D．4 3. 集合A={x∣x是中职学校的专业}，B={x∣x是计算机专业}，则A与B的关系是（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A=B D. 无包含关系 4. 集合A={0，1，2}的子集的个数为 ，非空真子集的个数为 （ ） A．6，7 B．8，7 C．7，6 D．8，8 5.已知集合，则集合M中的点所在的象限是（ ） A. 第二象限 B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第二象限或第四象限 【考点3 集合的运算】 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 AUB A∩B 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 【即时训练】 1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则M∩N=（ ） A. {2,3} B. {1,2,3,4} C. {1,4} D. ∅ 2.已知集合A={x|-|3<x≤2}，B={x|1<x<5}，则A∪B=（ ） A. {x|-3<x<5} B. {x|-3<x<1} C. {x|1<x≤2} D. ∅ 3.设全集U={0，1，2，3，4}，A={2，3，4}，则CUA=（ ） A. {0} B. {0,1} C. {0,1,4} D. {0，1，2，3，4} 4.已知集合P=正方形}，Q={菱形}，则P∩Q=（ ）​ A. {正方形} B. {矩形} C. {四边形} D. {菱形} 5.若集合M={x∣x 2 =4}，N={−2,0,2}，则M与N的关系是（ ）​ A. M=N B. N⊆M C. M⊆N D. M∩N=∅​ 6.已知集合A={5,a+1},集合N={a，b},若A∩B={2}，求A∪B。 【考点4 充要条件】 逻辑关系 符号表示 集合视角 充分条件 且 是 的真子集 ( ) 必要条件 且 是 的真子集 ( ) 充要条件 两集合相等 ( ) 既不充分也不必要条件 且 两集合相交或相离 【即时训练】 1.命题“ ”是命题“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设 为实数，则“ ”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要条件，则甲是丁的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.的（ ）条件。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1.(2026年陕西省高职分类考试（三校生）第1题)已知集合，，求（ ） A.{1} B.{0,2,3,5} C.{1，2，3，5} D.{0,1,2,3,5} 2.（2025年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={2，5，7}，B={1，2，3}，若A∪B=（ ） A.{2} B.{1，2} C.{1，2，3，5，7} D.∅ 3.（2024年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={0，2，3，5}，B={1，2，3，4，5}，若A∩B=（ ） A.{2，3，5} B.{0，2，5} C.{0,1，2，5} D.{0,1,2，3，4，5} 4.（2023年陕西省高职分类考试（三校生）第2题）设，为实数，则的充要条件是（ ） A. B. C. D.｜x｜=｜y｜ 5.（2021年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合M={x|2<x≤5}，则下列式子正确的是（ ） A.2.5∈M B.0∈M C.{0}∈M D. 5∉M 6.（2019年陕西省高职分类考试（三校生）第1题）已知集合A={-2，-1，0，1}，B={-1，0，2，3}，则A∩B=（ ） A.{-1，0} B.{-2，0} C.{1，2} D. Ø 7.（2018年陕西省高职分类考试（三校生）第4题）“” 是 “” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 8.（2017年陕西省高职分类考试（三校生）第2题）已知集合A={1，2m+1}，B={3，1}，若A=B,则M=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.（2021年陕西省高职分类考试（三校生）第13题） 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}. 求（1）A∩B （2） A∪B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $