第10卷 平面向量（学生练习卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 专题聚焦平面向量，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，通过教师讲解卷与学生练习卷双卷设计，实现真题同源考点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|基础概念辨析、坐标运算、位置关系判定|从向量定义到坐标表示，构建“概念-运算-关系”认知链| |填空题|8题|数量积计算、共线与垂直条件应用|强化核心公式（模、数量积、夹角）的直接应用| |解答题|6题|综合证明、参数求解、多条件综合问题|整合概念与运算，培养几何直观与推理能力，体现数学思维的严谨性|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （学生练习卷） 一、选择题 1．（   ） A． B．0 C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D．2 3．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 4．若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 6．若，且，则点坐标（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，的夹角为60°，，，则（   ） A．1 B． C． D．2 8．已知向量，，则（   ） A． B．4 C． D． 9．已知，当与平行，则x的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 10．已知平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．8 D． 二、填空题 11．已知向量，，，则 . 12．若向量，，则 . 13．已知向量，均为单位向量，若夹角为，则 . 14．若向量，，，则 . 15．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 . 16．已知平面向量，，若与垂直，则 . 17．已知，，若，则 . 18．已知向量，，，与共线，则实数 . 三、解答题 19．已知，，三点，证明为等腰直角三角形. 20．化简： (1)； (2)． 21．已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值． 22．已知，，若与垂直，求实数. 23．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 24．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （学生练习卷） 一、选择题 1．（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法与减法运算法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 2．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的内积的定义列方程求夹角余弦值即可. 【详解】已知， 因为， 所以. 故选：C. 3．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 4．若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可． 【详解】设向量与的夹角是，则，又因为，所以． 故选：A． 5．下列命题中，正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 【答案】B 【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等， 两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小， 所以应选：B. 6．若，且，则点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标表示以及向量的数乘运算，即可求出. 【详解】由可得， 由，可得， 所以点点坐标为. 故选：A 7．已知向量，的夹角为60°，，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】∵向量，的夹角为60°，且，， ∴， ∴， 故选：D． 8．已知向量，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先由向量的线性运算求解的坐标，再由向量坐标的模长公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则． 故选：C. 9．已知，当与平行，则x的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求解出与的坐标，再由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以，， 因为与平行， 所以，所以． 故选：A. 10．已知平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的坐标表示求出，再由向量的线性运算求出的坐标，最后由向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知平面向量， 则， 已知， 所以， 所以. 故选：D. 二、填空题 11．已知向量，，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，， 故答案为：. 12．若向量，，则 . 【答案】 【解析】，， 所以， 故答案为：. 13．已知向量，均为单位向量，若夹角为，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算及模长公式，代数求解即可. 【详解】因为向量，均为单位向量，所以， 所以 . 故答案为：. 14．若向量，，，则 . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 15．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线定理列式求解即可； 【详解】因为向量与共线， 所以存在，使得， 可化为, 即，解得． 故答案为： 16．已知平面向量，，若与垂直，则 . 【答案】2 【解析】， 因为，，所以，，， 所以，解得， 故答案为：2. 17．已知，，若，则 . 【答案】2 【分析】根据向量坐标的线性运算与向量垂直的坐标表示求解即可； 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，即，解得， 故答案为：2 18．已知向量，，，与共线，则实数 . 【答案】1 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以， 又与共线， 所以，解得. 故答案为：1. 三、解答题 19．已知，，三点，证明为等腰直角三角形. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量模的坐标表示求出，，，结合勾股定理证明即可. 【详解】因为； ； ， 所以且， 所以为等腰直角三角形. 20．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. （2）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. 【详解】（1）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： （2）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： 21．已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值． 【答案】或． 【分析】利用平面向量共线得充要条件计算即可. 【详解】因为与共线， 所以存在实数，使， 即． 由于不共线，所以． 即实数k的值为或． 22．已知，，若与垂直，求实数. 【答案】/ 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出与，结合平面向量垂直的坐标列出方程即可得解. 【详解】由，，可得，， 当与垂直时，则， 整理得，解得. 23．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以， 所以． （3）由，得， 所以， 又，所以． 24．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $