第10卷 平面向量（教师讲解卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河南对口招生考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合平面向量坐标运算、数量积等核心知识，通过真题分类精讲实现解题方法迁移，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|核心公式4类|坐标运算、数量积公式梳理|从基础概念到结论推导，构建知识框架| |真题精讲|3考点3真题|模长计算、共线垂直参数求解、四边形形状判断|考点分类对应公式应用，培养推理意识| |举一反三|4道近三年真题|真题变式训练，强化方法迁移|承接真题考点，巩固解题逻辑| |拓展提升|15题（选择8/填空5/解答2）|综合应用与拔高，深化知识关联|从单一考点到综合问题，提升应用能力|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0． 2．平面向量的数量积 数量a·b=|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积). 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 【真题精讲】 考点01 求平面向量的模长 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 考点02 利用平面向量共线、垂直求参数 2.（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 3.（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 考点03 根据向量判断四边形形状 4.（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 2．（2023年·河南对口升学高考第14题）已知向量，，则________． 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则______． 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2．在平行四边形中，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若与共线，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8．已知向量与夹角为，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 二、填空题 9．已知两点和，则 . 10．已知，是单位向量，夹角为，则 . 11．在平行四边形ABCD中，，则 . 12．已知向量，，且，则实数 . 13．已知向量，，则________． 三、解答题 14．已知向量，，求，，，． 15．已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0． 2．平面向量的数量积 数量a·b=|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积). 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 【真题精讲】 考点01 求平面向量的模长 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 ． 故选：A ． 考点02 利用平面向量共线、垂直求参数 2.（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 【答案】8 【解析】 三点共线则 ． 故答案为：8． 3.（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 已知，， 则，即， 解得. 故答案为：2. 考点03 根据向量判断四边形形状 4.（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【分析】根据向量关系判断四边形的平行及长度关系即可得解. 【详解】 由可得向量与平行，即， 且，即， 根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形是梯形, 菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足， 故选： 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，得出的坐标，又由向量垂直得出，最后解出. 【解析】 因为 所以 解得. 2．（2023年·河南对口升学高考第14题）已知向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算，再代内积的坐标公式计算即可. 【解析】， 则. 故答案为：. 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则______． 【答案】## 【分析】根据平行向量的性质求解. 【解析】∵向量，，且， ∴得到，解得，. 故答案：. 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 【答案】 【解析】， 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若，则，，， 故选：D. 2．在平行四边形中，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法和减法运算即可得解． 【详解】在平行四边形中，，， ，， 故ABD正确，C错误. 故选：C. 3．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，， 故选：D. 4．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可. 【详解】 ， 故选：B. 5．已知向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 6．已知向量，，若与共线，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质求解即可. 【详解】已知向量，，且与共线， 所以，解得. 故选：B. 7．已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，， ，， ， 所以夹角为， 故选：D. 8．已知向量与夹角为，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的内积的运算法则和定义即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，，， 所以， 所以. 故选：B. 二、填空题 9．已知两点和，则 . 【答案】5 【解析】因为和， 所以，， 故答案为：5. 10．已知，是单位向量，夹角为，则 . 【答案】 【解析】因为，是单位向量，夹角为，所以， 故答案为：. 11．在平行四边形ABCD中，，则 . 【答案】73 【分析】根据平行四边形的性质以及平行四边形法则求解即可. 【详解】由平行四边形法则得，， ，. 故答案为：73. 12．已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算法则求出，代入平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 故答案为：. 13．已知向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算，再代内积的坐标公式计算即可. 【解析】， 则. 故答案为：. 三、解答题 14．已知向量，，求，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示，模长公式及夹角公式即可得解. 【详解】向量，， 则， ，， ． 15．已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）， 又，联立解得， 考虑到，故得. （2） ， 当时，， 原式取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $