专题05有理数的乘法与除法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法与除法，涵盖运算法则、运算律、倒数概念及混合运算，通过衔接有理数加减法，以“先定符号后算绝对值”为学习支架，帮助学生构建完整运算体系。 其亮点是针对符号判断等核心易错点，设计12类分层题型（含奥运会女运动员数量等实际应用），培养运算能力与模型意识。解题思路步骤化，助力学生形成有条理的思维，教师可系统教学，学生能规范运算减少错误。

专题05有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意： 理解有理数乘法、除法运算法则，落实先定符号，后算绝对值的运算原则；熟练运用乘法三大运算律实现简便运算，掌握除法转化为乘法的转化思想，规范完成有理数乘除、乘除混合运算，规避符号类常见运算错误。 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，结果都为0； ③多个不为0的有理数相乘，负因数的个数为偶数，积为正，负因数的个数为奇数，积为负； ④若干个有理数相乘，只要有一个因数为0，则积为0。 倒数的概念： ①乘积为1的两个数互为倒数； ②0没有倒数； ③正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ④倒数等于自身的数是1和-1。 有理数乘法运算律： ①乘法交换律：ab=ba； ②乘法结合律：(ab)c=a(bc)； ③乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，分配律可正向、逆向使用简便计算。 有理数除法法则： ①法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任意一个不为0的数，结果为0； ②法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：a b=a(b0)。 有理数乘除混合运算步骤： ①把所有除法统一转化为乘法运算；②统计负因数的个数，确定最终结果符号；③对绝对值进行约分计算；④写出最简运算结果。 重点辨析 1. 有理数乘除运算必须遵循先定符号，后算绝对值，符号判断是本章节最核心的失分点。 2. 0没有倒数，0不可以作为除数；倒数等于本身的数只有1与-1。 3. 除法没有分配律，只可对被除数拆分分配，除数不能拆分分配。 4. 多个有理数相乘，若存在因数为0，直接判定积为0，无需再判断负因数符号。 5. 乘除属于同级运算，无括号时，应当严格按照从左到右的顺序运算。 1. 多个有理数相乘，数错负因数的个数，造成结果符号判断错误。 2. 混淆倒数与相反数，错误认为0有倒数。 3. 除法转化为乘法时，只改动数字，没有将整个除数取倒数。 4. 运用乘法分配律时出现漏乘，或展开后符号处理失误。 5. 乘除同级混合运算，随意改变运算顺序，违背从左至右的运算规则。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两个乘数的符号；②同号得正，异号得负，确定积的符号；③将两数绝对值相乘；④若有一个因数为0，乘积直接为0。 1．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 2．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 3．两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 【答案】 17或 或 【分析】分类讨论：①当这两个连续奇数为正数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可；②当这两个连续奇数为负数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可． 【详解】解：①当这两个连续奇数为正数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． ②当这两个连续奇数为负数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． 4．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先观察因数，只要存在因数为0，积直接等于0；②不含0因数时，统计负因数的个数；③负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；④把所有因数的绝对值相乘。 5．计算：__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据0乘以任何数都等于0即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是  （        ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号． 根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为0或2， A、当a、b、c同负时，，故该选项错误； B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能； C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能； D、∵，∴，故不可能； 故选：B． 7．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 8．计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①读懂题意，将实际数量转化为有理数；②理清数量关系，列出乘法算式；③按乘法法则计算；④结合实际情境，写出结果答语。 9．2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 【答案】5250 【分析】用运动员总数量乘以女运动员所占的比例，即可求出女运动员的人数． 【详解】解：由题意可得女运动员人数为 （名）． 10．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的记录转换为实际度数后，筛选出度数超过200度的选项即可. 【详解】解：∵根据题意，验光记录中D前数字的绝对值乘100就是实际近视度数，且近视超过200度需要持续佩戴眼镜， ∴A、对应近视度数为度，，不需要佩戴， B、对应近视度数为度，，不需要佩戴， C、对应近视度数为度，，不需要佩戴， D、对应近视度数为度，，需要佩戴． 11．龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 【答案】 【分析】先计算六个篮子的总粽子数，根据小刘总数是小胡的2倍，得到总数量是小胡的3倍，求出小胡两个篮子的粽子总数，再找出和为该数的两个数即可． 【详解】解：六个篮子的粽子总数量， ∵ 小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍， ∴ 小胡包的粽子总数为 ， 六个数中两个数的和为只有和，因此小胡的两个篮子里的粽子数量分别是和． 12．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 题型四：倒数 解题思路：①依据定义：乘积为1的两个数互为倒数；②正、负数的倒数符号和原数保持一致；③0没有倒数；④分数求倒数交换分子分母；整数先写成分数形式再求倒数；记住1的倒数是自身。 13．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 14．下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义，解题关键是掌握互为倒数的两个数乘积为，计算各选项两数的乘积即可判断． 【详解】解： ．∵ ，∴选项符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，且没有倒数，∴选项不符合题意； 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选B． 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①分清交换律、结合律、分配律；②交换、结合律优先凑整、约分简化计算；③乘法分配律可以正向展开，也可以逆向提取公因数；④分配律运算每一项都要相乘，严防漏乘、符号出错。 17．计算的过程中运用的运算律是______． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 18．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 19．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 20．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①两种方法：方法一，同号得正、异号得负定商的符号，绝对值相除；方法二，除法变乘法，除以不为0的数等于乘它的倒数；②0除以任何不为0的数结果为0；0不能作为除数。 21．计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 22．我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为： 按此方式，则将十进制数15换算成六进制数应为（   ） A．16 B．23 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查进制换算及有理数的除法运算，解题的关键是弄清十进制数转化为六进制数的计算方法．通过连续除以6并取余数，然后从下往上读取余数得到结果． 【详解】解：∵余3，余2， ∴余数从下往上为2和3，故六进制数为23． 故选：B． 23．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 24．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①读懂实际情境，提取题目已知量；②根据题意列出除法算式；③除法统一转化为乘法计算；④结合实际意义整理作答。 25．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 【答案】 【分析】首先确定书的总页数固定，因为每天看的页数和看的天数的乘积等于总页数，所以先根据已知的每天看20页、6天看完，用乘法计算总页数．因为总页数不变，如果要5天看完，那么用总页数除以5，即可得到平均每天需要看的页数． 【详解】解：总页数 = 每天看的页数 × 原天数， 即 （页）． 平均每天看的页数 = 总页数 ÷ 新天数， 即 （ 页）． 26．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 27．在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【答案】 【分析】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率. 【详解】解：首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． 28．如图是一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应．当明文中的字母对应的序号为a时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“H”所在按键的数字序号15，将，代入除以26后所得的余数为20，则明文“H”对应密文“X”．按上述规定，将密文“P”解密后对应的明文是（    ） A．W B．X C．Y D．Z 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【详解】解：根据题意可知，P对应的序号为9， ∴的余数是9， ∴a为20， ∴P对应的明文为X， 故选：B． 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法统一转化为乘法；②统计负因数个数，确定结果符号；③绝对值部分优先约分；④乘除是同级运算，无括号严格从左往右运算，不随意调换运算顺序。 29．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练运算法则． 根据有理数的混合运算法则，先算乘除，从左到右依次计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为 30．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计算乘除运算即可解答． 【详解】解：， 故选：． 31．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 32．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 题型九：有理数四则混合运算 解题思路：①牢记运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内部；②乘除部分先定符号，再算绝对值；③加减部分统一成加法运算；④计算完成化简最终结果。 33．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 34．用“☆”定义一种新运算：对于任意不为零的整数和，规定，如，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算． 根据新定义运算规则，先计算，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 35．如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 【答案】甲 【分析】设等式结果为，分别计算出甲、乙、丙、丁的数值，再比较大小得到排序结果． 【详解】解：设， 则，，，， 比较大小得，即， 因此从小到大依次排列后，第三个数是甲． 36．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①读懂题干，把实际量转化为有理数；②理清数量关系，列出四则混合算式；③遵循四则运算顺序计算；④结合实际问题含义给出答案。 37．小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完；小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读________页？ 【答案】10 【分析】先根据小红的日均阅读页数和读完的天数计算出这本著作的总页数，再计算出小明6天读完时平均每天需要读的页数，最后计算小明比小红每天多读的页数． 【详解】解：这本著作的总页数为（页）， 小明平均每天读的页数为（页） 小明想6天读完，那么小明要比小红每天多读（页）． 38．小美有一些珠子，其中是黄色的，其余的都是蓝色的，她用所有的黄珠子和的蓝珠子串成一串项链，小美一共用了总珠子数量的百分之多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把珠子总数看作单位1，先求出蓝色珠子占总数的百分比，再计算用掉的蓝珠子占总珠子的百分比，最后加上黄珠子的占比即可得到结果． 【详解】解：设珠子总数为单位1，由题意，得 ． 39．如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（     ）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 【答案】B 【分析】由图可知，张叔叔从A地出发去C地，再由C地返回总路程相等，根据已知返回时的速度和返回时间8分钟，即可由路程公式求得去时或返回时的单边路程；由于去时在B地加油用时1分钟，所以从A地出发去C地共用时9分钟，再利用公式即可求解． 【详解】解：∵张叔叔返回时的速度是90千米/时，返回时间为（分）， ∴返回的路程为：（千米）， ∵去时的时间为：（分）， ∴去时的速度为：（千米/时）． 40．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 学生从处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， 所以6名学生的校车行驶时间和为， 总时间和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小， 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴，先判断各个字母正负；②观察数轴上点离原点远近，判断绝对值大小；③判断和、差、积、商结果符号；④遇到减法先转化成加法再判断。 41．如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴可得，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 故答案为：． 42．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解： A、， 两数相加，符号由绝对值较大的数决定，a离原点远， ∴， ∵， ∴，本项错误； B、， 则， 数轴上右边的数大于左边的数， ∵a在的右边， ∴，本项错误； C、， 两数相乘，同号为正，异号为负， ∵， ∴，本项错误： D、， 绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意． 43．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 44．已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 题型十二：数轴上的翻折 解题思路：①找到翻折的中心点（对折中点）；②记住翻折两点到中心点距离相等；③利用“中点公式：中点=”列式；④根据题意列方程求解未知数。 45．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 【答案】或或 【分析】此题考查了数轴上任意两点之间的距离，结合分类讨论数学思想进行求解，要做到不重不漏．由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论，且结合作图，进行分析，即可作答． 【详解】解：点对应的数为，点对应的数为， ，三条纸条的长度为三部分， 则 三条纸条的长度分别是，，， 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是或或， 故答案为：或或． 46．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离计算，分点A落在线段上和点A落在线段的延长线上，根据折叠后点A到点B的距离为8，求出折叠后点A表示的数，再根据折叠前点A表示的数为，即可求出点C表示的数． 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 47．点，，在数轴上，点，表示的数分别是和，点在，之间，现以点为折叠点，将数轴向右对折．若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，两点间距离的计算，中点的计算方法，根据点与点的位置与距离可得点表示的数为或，根据折叠后，中点的计算方法即可求解． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ∵若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度， ∴点表示的数是，或 ∴折叠点为或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或． 48．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴翻折问题，解题的关键是理解翻折点是两对称点的中点． 首先判断出的位置，结合的长度以及翻折的特性，判断出或的长度，通过点或点A的位置，即可判断出点C所表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数为9，且在点B的右边， ∴表示的数为12， ∴， 根据翻折的性质，点C为的中点， ∴， 因为表示的数为12，C在的左边， ∴C表示的数为． 故选D． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 5．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键： （1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可； （2）根据点的位置，判断大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴，，； （2）∵，， ∴； 故． 6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 7．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意： 理解有理数乘法、除法运算法则，落实先定符号，后算绝对值的运算原则；熟练运用乘法三大运算律实现简便运算，掌握除法转化为乘法的转化思想，规范完成有理数乘除、乘除混合运算，规避符号类常见运算错误。 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，结果都为0； ③多个不为0的有理数相乘，负因数的个数为偶数，积为正，负因数的个数为奇数，积为负； ④若干个有理数相乘，只要有一个因数为0，则积为0。 倒数的概念： ①乘积为1的两个数互为倒数； ②0没有倒数； ③正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ④倒数等于自身的数是1和-1。 有理数乘法运算律： ①乘法交换律：ab=ba； ②乘法结合律：(ab)c=a(bc)； ③乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，分配律可正向、逆向使用简便计算。 有理数除法法则： ①法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任意一个不为0的数，结果为0； ②法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：a b=a(b0)。 有理数乘除混合运算步骤： ①把所有除法统一转化为乘法运算；②统计负因数的个数，确定最终结果符号；③对绝对值进行约分计算；④写出最简运算结果。 重点辨析 1. 有理数乘除运算必须遵循先定符号，后算绝对值，符号判断是本章节最核心的失分点。 2. 0没有倒数，0不可以作为除数；倒数等于本身的数只有1与-1。 3. 除法没有分配律，只可对被除数拆分分配，除数不能拆分分配。 4. 多个有理数相乘，若存在因数为0，直接判定积为0，无需再判断负因数符号。 5. 乘除属于同级运算，无括号时，应当严格按照从左到右的顺序运算。 1. 多个有理数相乘，数错负因数的个数，造成结果符号判断错误。 2. 混淆倒数与相反数，错误认为0有倒数。 3. 除法转化为乘法时，只改动数字，没有将整个除数取倒数。 4. 运用乘法分配律时出现漏乘，或展开后符号处理失误。 5. 乘除同级混合运算，随意改变运算顺序，违背从左至右的运算规则。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两个乘数的符号；②同号得正，异号得负，确定积的符号；③将两数绝对值相乘；④若有一个因数为0，乘积直接为0。 1．计算： ______． 2．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 3．两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 4．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先观察因数，只要存在因数为0，积直接等于0；②不含0因数时，统计负因数的个数；③负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；④把所有因数的绝对值相乘。 5．计算：__________． 6．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是  （        ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 7．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 8．计算： ________． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①读懂题意，将实际数量转化为有理数；②理清数量关系，列出乘法算式；③按乘法法则计算；④结合实际情境，写出结果答语。 9．2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 10．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 11．龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 12．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 题型四：倒数 解题思路：①依据定义：乘积为1的两个数互为倒数；②正、负数的倒数符号和原数保持一致；③0没有倒数；④分数求倒数交换分子分母；整数先写成分数形式再求倒数；记住1的倒数是自身。 13．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 14．下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 16．若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①分清交换律、结合律、分配律；②交换、结合律优先凑整、约分简化计算；③乘法分配律可以正向展开，也可以逆向提取公因数；④分配律运算每一项都要相乘，严防漏乘、符号出错。 17．计算的过程中运用的运算律是______． 18．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 20．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①两种方法：方法一，同号得正、异号得负定商的符号，绝对值相除；方法二，除法变乘法，除以不为0的数等于乘它的倒数；②0除以任何不为0的数结果为0；0不能作为除数。 21．计算：________． 22．我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为： 按此方式，则将十进制数15换算成六进制数应为（   ） A．16 B．23 C．20 D．24 23．已知，，，则的值等于____________． 24．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①读懂实际情境，提取题目已知量；②根据题意列出除法算式；③除法统一转化为乘法计算；④结合实际意义整理作答。 25．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 26．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 27．在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 28．如图是一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应．当明文中的字母对应的序号为a时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“H”所在按键的数字序号15，将，代入除以26后所得的余数为20，则明文“H”对应密文“X”．按上述规定，将密文“P”解密后对应的明文是（    ） A．W B．X C．Y D．Z 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法统一转化为乘法；②统计负因数个数，确定结果符号；③绝对值部分优先约分；④乘除是同级运算，无括号严格从左往右运算，不随意调换运算顺序。 29．计算：______． 30．计算：（   ） A． B． C． D． 31．计算：______． 32．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型九：有理数四则混合运算 解题思路：①牢记运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内部；②乘除部分先定符号，再算绝对值；③加减部分统一成加法运算；④计算完成化简最终结果。 33．计算：_____． 34．用“☆”定义一种新运算：对于任意不为零的整数和，规定，如，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．11 35．如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 36．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①读懂题干，把实际量转化为有理数；②理清数量关系，列出四则混合算式；③遵循四则运算顺序计算；④结合实际问题含义给出答案。 37．小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完；小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读________页？ 38．小美有一些珠子，其中是黄色的，其余的都是蓝色的，她用所有的黄珠子和的蓝珠子串成一串项链，小美一共用了总珠子数量的百分之多少？（    ） A． B． C． D． 39．如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（     ）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 40．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴，先判断各个字母正负；②观察数轴上点离原点远近，判断绝对值大小；③判断和、差、积、商结果符号；④遇到减法先转化成加法再判断。 41．如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 42．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 43．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 44．已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型十二：数轴上的翻折 解题思路：①找到翻折的中心点（对折中点）；②记住翻折两点到中心点距离相等；③利用“中点公式：中点=”列式；④根据题意列方程求解未知数。 45．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 46．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 47．点，，在数轴上，点，表示的数分别是和，点在，之间，现以点为折叠点，将数轴向右对折．若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度，则点表示的数是________． 48．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5．有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 7．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $