专题1 集合的概念与运算（讲义）-2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年新疆（“三校生升高职”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合的概念与运算 【复习目标】 1. 理解集合的概念，掌握集合中元素的三个特性 2. 掌握元素与集合的关系，能用符号∈或∉表示 3. 掌握集合的表示法，熟记常见数集的符号 4. 掌握集合之间的关系 5. 理解交集、并集、补集的概念及运算，会进行集合的基本运算 6. 掌握有限集子集个数的求法 7. 理解充分条件、必要条件及充要条件 【考点1 集合的含义与表示】 1. 集合的概念：由某些确定的、不同的对象汇集而成的整体叫做集合。集合中的每个对象称为集合的元素。 2. 集合元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素必须是确定的。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的。 （3）无序性：集合中的元素没有顺序。 3. 元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”； （2）如果a不是集合A中的元素，记作a∉A，读作“a不属于A”。 4. 常见数集的记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N+） Z Q R 5. 集合的表示法： （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内。 （2）描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。 【即时训练】 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A．高个子学生 B．方程x²=1的实数解 C．美丽的校园 D．接近0的数 2. 下列关系中，正确的是（ ） A．0N B．π∈Q C．-1∉Z D．R 3. 用列举法表示“小于6的正偶数”组成的集合为（ ） A．{0,2,4} B．{2,4} C．{2,4,6} D．{0,2,4,6} 4. 已知集合A={1, 2, x}，且3∈A，则x= 。 5. 已知集合M={a, b, c}，下列说法正确的是（ ） A．aM B．d∈M C．{a}∈M D．{a,b}⊆M 【考点2 集合间的基本关系】 1. 子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B。 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B。 3. 集合相等：如果集合A和集合B的元素完全相同，那么A与B相等，记作A=B。 4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 5. 有限集的子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。 【即时训练】 1. 集合A={1,2,3}的所有子集为 。 2. 若集合A={1,2,3,4}，则A的子集个数为（ ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 3. 下列关系正确的是（ ） A．∅∈{0} B．∅⊆{0} C．{0}∈∅ D．{0}⊆∅ 4. 若集合A={x | x²-5x+6=0}，B={2,3}，则A与B的关系是（ ） A．A=B B．A⊆B C．A⫋B D．B⊆A 5. 已知集合A={1,3,m}，B={1,m²}，且B⊆A，则m的值为（ ） A．0或-1 B．1或-1 C．0或1 D．0或3 【考点3 集合的基本运算】 1. 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B。即A∩B = {x |x∈A且x∈B }。 2. 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B。即A∪B = {x | x∈A或x∈B}。 3. 补集：设全集为U，集合A是U的子集，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作UA。 即UA = {x | x∈U且x∉A}。 4. 常用结论： - A∩A = A，A∩∅= ∅，A∩B= B∩A - A∪A =A ，A∪∅=A ，A∪B= B∪A - A∩UA = ∅，A∪UA =U - A⊆B ⇔ A∩B = A，A⊆B ⇔ A∪B = B 【即时训练】 1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B=（ ） A．{1,2} B．{3,4} C．{1,2,3,4,5,6} D．{5,6} 2. 已知集合A={1,2,3}，B={4,5,6}，则A∪B=（ ） A．{1,2,3} B．{4,5,6} C．{1,2,3,4,5,6} D．∅ 3. 已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则UA=（ ） A．{1,2,3} B．{4,5} C．∅ D．{1,2,3,4,5} 4. 已知集合A={x | -1 < x < 4}，B={x | 1 ≤ x < 5}，则A∩B=（ ） A．{x | -1 < x < 5} B．{x | 1 ≤ x < 4} C．{x | -1 < x < 1} D．{x | 4 < x < 5} 5. 已知全集U=R，集合A={x | x>1}，则UA=（ ） A．{x | x<1} B．{x | x≤1} C．{x | x>1} D．{x | x≥1} 6. 已知集合A={1,2}，B={x | ax-2=0}，若A∩B=B，则a的值为（ ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或2或1 【考点4 命题与充分条件】 1.命题：能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 【即时训练】 1. “x=2”是“x²=4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. “x>3”是“x>1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. “两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. “x²=4”是“x=-2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. “a>b”是“a-b>0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1. （2024年·新疆真题）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （2024年·新疆真题）若集合，则下列结论中正确是（ ） A. B. C. D. 3. （2024年·新疆真题）集合用列举法表示为_. 4. （2024年·新疆真题）设集合，，则_. 5. （2023年·新疆真题）小于8的正整数组成的集合用列举法表示为（ ） A．{0,1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4,5,6,7} C．{0,1,2,3,4,5,6,7,8} D．{1,2,3,4,5,6,7,8} 6. （2023年·新疆真题）设全集，集合，集合． （1）求，； （2）求． 7. （2022年·新疆真题）已知集合A={0,1,2}，B={2,3}，则A∩B=（ ） A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{0,1,2} 8. （2022年·新疆真题）集合的子集个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年新疆（“三校生升高职”考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年新疆（“三校生升高职”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合的概念与运算 【复习目标】 1. 理解集合的概念，掌握集合中元素的三个特性 2. 掌握元素与集合的关系，能用符号∈或∉表示 3. 掌握集合的表示法，熟记常见数集的符号 4. 掌握集合之间的关系 5. 理解交集、并集、补集的概念及运算，会进行集合的基本运算 6. 掌握有限集子集个数的求法 7. 理解充分条件、必要条件及充要条件 【考点1 集合的含义与表示】 1. 集合的概念：由某些确定的、不同的对象汇集而成的整体叫做集合。集合中的每个对象称为集合的元素。 2. 集合元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素必须是确定的。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的。 （3）无序性：集合中的元素没有顺序。 3. 元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”； （2）如果a不是集合A中的元素，记作a∉A，读作“a不属于A”。 4. 常见数集的记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N+） Z Q R 5. 集合的表示法： （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内。 （2）描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。 【即时训练】 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A．高个子学生 B．方程x²=1的实数解 C．美丽的校园 D．接近0的数 【答案】B 【分析】本题考查集合中元素的确定性。集合中的元素必须是确定的，不能模糊不清。 【详解】“高个子”“美丽的”“接近0”均没有明确标准，元素不确定，不能构成集合；方程x²=1的实数解为1和-1，是确定的，能构成集合。 故选：B. 2. 下列关系中，正确的是（ ） A．0N B．π∈Q C．-1∉Z D．R 【答案】A 【分析】本题考查常见数集及元素与集合的关系。熟记自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R的范围。 【详解】0是自然数，A正确；π是无理数，不属于有理数集Q，B错误；-1是整数，属于Z，C错误；是实数，属于R，D错误。 故选：A. 3. 用列举法表示“小于6的正偶数”组成的集合为（ ） A．{0,2,4} B．{2,4} C．{2,4,6} D．{0,2,4,6} 【答案】B 【分析】本题考查列举法表示集合及正偶数的概念。正偶数指大于0的偶数，不包括0。 【详解】小于6的正偶数有2,4，用列举法表示为{2,4}。 故选：B. 4. 已知集合A={1, 2, x}，且3∈A，则x= 。 【答案】3 【分析】本题考查元素与集合的关系。若某元素属于集合，则该元素必在集合中出现。 【详解】因为3∈A，即3是集合A中的元素，而A中已有1和2，所以x=3. 5. 已知集合M={a, b, c}，下列说法正确的是（ ） A．aM B．d∈M C．{a}∈M D．{a,b}⊆M 【答案】D 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合关系的区别。用“∈”连接元素和集合，用“⊆”连接集合和集合。 【详解】a是M的元素，故a∈M，A错误；d不是M的元素，B错误；{a}是集合，不能说属于M，C错误；{a,b}的元素都在M中，故{a,b}⊆M，D正确。 故选：D. 【考点2 集合间的基本关系】 1. 子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B。 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B。 3. 集合相等：如果集合A和集合B的元素完全相同，那么A与B相等，记作A=B。 4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 5. 有限集的子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。 【即时训练】 1. 集合A={1,2,3}的所有子集为 。 【答案】∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3} 【分析】本题考查有限集子集的求法。 【详解】A有3个元素，子集有2³=8个。 2. 若集合A={1,2,3,4}，则A的子集个数为（ ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【答案】C 【分析】本题考查有限集子集个数的求法。 【详解】A有4个元素，子集个数为2⁴=16个。 故选：C. 3. 下列关系正确的是（ ） A．∅∈{0} B．∅⊆{0} C．{0}∈∅ D．{0}⊆∅ 【答案】B 【分析】本题考查空集的性质。 【详解】空集是任何集合的子集，B正确。 故选：B. 4. 若集合A={x | x²-5x+6=0}，B={2,3}，则A与B的关系是（ ） A．A=B B．A⊆B C．A⫋B D．B⊆A 【答案】A 【分析】本题考查集合相等的判断。 【详解】x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0，解得x=2或3，A={2,3}，与B完全相同，故A=B。 故选：A. 5. 已知集合A={1,3,m}，B={1,m²}，且B⊆A，则m的值为（ ） A．0或-1 B．1或-1 C．0或1 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查子集的定义及集合中元素的互异性。 【详解】因为B⊆A，所以m²∈A，且m²≠1。若m²=m，则m=0或1（舍）；若m²=1，则m=-1。故m=0或-1。 故选：A. 【考点3 集合的基本运算】 1. 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B。即A∩B = {x |x∈A且x∈B }。 2. 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B。即A∪B = {x | x∈A或x∈B}。 3. 补集：设全集为U，集合A是U的子集，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作UA。 即UA = {x | x∈U且x∉A}。 4. 常用结论： - A∩A = A，A∩∅= ∅，A∩B= B∩A - A∪A =A ，A∪∅=A ，A∪B= B∪A - A∩UA = ∅，A∪UA =U - A⊆B ⇔ A∩B = A，A⊆B ⇔ A∪B = B 【即时训练】 1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B=（ ） A．{1,2} B．{3,4} C．{1,2,3,4,5,6} D．{5,6} 【答案】B 【分析】本题考查集合的交集运算。 【详解】A和B共有的元素为3和4，故A∩B={3,4}。 故选：B. 2. 已知集合A={1,2,3}，B={4,5,6}，则A∪B=（ ） A．{1,2,3} B．{4,5,6} C．{1,2,3,4,5,6} D．∅ 【答案】C 【分析】本题考查集合的并集运算。 【详解】A∪B={1,2,3,4,5,6}。 故选：C. 3. 已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则UA=（ ） A．{1,2,3} B．{4,5} C．∅ D．{1,2,3,4,5} 【答案】B 【分析】本题考查集合的补集运算。 【详解】全集中不属于A的元素为4和5，故UA={4,5}。 故选：B. 4. 已知集合A={x | -1 < x < 4}，B={x | 1 ≤ x < 5}，则A∩B=（ ） A．{x | -1 < x < 5} B．{x | 1 ≤ x < 4} C．{x | -1 < x < 1} D．{x | 4 < x < 5} 【答案】B 【分析】本题考查用描述法表示的集合的交集运算。 【详解】在数轴上表示，A与B的公共部分为1≤x<4。 故选：B. 5. 已知全集U=R，集合A={x | x>1}，则UA=（ ） A．{x | x<1} B．{x | x≤1} C．{x | x>1} D．{x | x≥1} 【答案】B 【分析】本题考查实数集上的补集运算。 【详解】∁UA={x∈R | x≤1}。 故选：B. 6. 已知集合A={1,2}，B={x | ax-2=0}，若A∩B=B，则a的值为（ ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或2或1 【答案】D 【分析】本题考查交集的性质及含参方程的求解。A∩B=B等价于B⊆A。 【详解】A∩B=B说明B⊆A，即B可以是∅、{1}、{2}。 当a=0时，B=∅，符合；当x=1时，a-2=0，a=2；当x=2时，2a-2=0，a=1。 故选：D. 【考点4 命题与充分条件】 1.命题：能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 【即时训练】 1. “x=2”是“x²=4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断。先判断能否由条件推出结论，再判断能否由结论推出条件。 【详解】由x=2可推出x²=4，故充分性成立；由x²=4可得x=±2，不能推出x=2，故必要性不成立。所以“x=2”是“x²=4”的充分不必要条件。 故选：A. 2. “x>3”是“x>1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断。 【详解】若x>3，则必有x>1，故充分性成立；若x>1，不一定有x>3（如x=2），故必要性不成立。所以“x>3”是“x>1”的充分不必要条件。 故选：A. 3. “两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断。 【详解】若两个三角形全等，则其面积一定相等，故充分性成立；若两个三角形面积相等，两个三角形不一定全等，故必要性不成立。所以“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充分不必要条件。 故选：A. 4. “x²=4”是“x=-2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断。 【详解】由x²=4可得x=±2，不能推出x=-2，故充分性不成立；若x=-2，则必有x²=4，故必要性成立。所以“x²=4”是“x=-2”的必要不充分条件。 故选：B. 5. “a>b”是“a-b>0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】本题考查充要条件的判断。 【详解】若a>b，则a-b>0成立，充分性成立；若a-b>0，则a>b成立，必要性成立。所以“a>b”是“a-b>0”的充要条件。 故选：C. 1. （2024年·新疆真题）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查集合的交集运算。 【详解】A与B共有的元素为0，故A∩B={0}。 故选：B. 2. （2024年·新疆真题）若集合，则下列结论中正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查集合间的基本关系。 【详解】是B中的元素，所以， 故选：C. 3. （2024年·新疆真题）集合用列举法表示为_. 【答案】 【分析】本题考查列举法。 【详解】因为集合，所以=2，3，故集合用列举法表示为。 4. （2024年·新疆真题）设集合，，则_. 【答案】{1,2,3,5} 【分析】本题考查集合的并集运算。 【详解】，，{1,2,3,5}。 5. （2023年·新疆真题）小于8的正整数组成的集合用列举法表示为（ ） A．{0,1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4,5,6,7} C．{0,1,2,3,4,5,6,7,8} D．{1,2,3,4,5,6,7,8} 【答案】B 【分析】本题考查正整数集的概念及列举法。 【详解】小于8的正整数有1,2,3,4,5,6,7。 故选：B. 6. （2023年·新疆真题）设全集，集合，集合． （1）求，； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集与并集的概念运算即可. （2）根据补集的概念运算即可. 【详解】 （1）已知集合，集合， 则，. （2）已知全集，集合， 则. 7. （2022年·新疆真题）已知集合A={0,1,2}，B={2,3}，则A∩B=（ ） A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{0,1,2} 【答案】A 【分析】本题考查集合的交集运算。 【详解】A和B共有的元素只有2，故A∩B={2}。 故选：A. 8. （2022年·新疆真题）集合的子集个数． 【答案】8 【分析】根据子集的概念，列出集合的所有子集. 【详解】根据子集的概念可知，集合的子集分别为， ，共8个. 故答案为：8. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $