第20卷 综合训练卷 2027年湖北省（技能高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以湖北省技能高考考纲为依据，采用“一考一讲”模式，通过综合检测实现知识整合与应试能力强化，覆盖向量、数列、几何等核心模块，注重数学思维与应用能力的考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-6、多选7-8|判断辨析、概念应用|从向量夹角、充分必要条件等概念出发，构建数学抽象与逻辑推理链条| |几何应用|单选2、填空10、解答14|空间计算、位置关系|以球体积公式、直线与圆位置关系为核心，体现空间观念与几何直观的应用| |代数应用|单选3、填空11、解答13|数列求和、函数最值|通过等差数列通项与前n项和公式，展现运算能力与模型意识的结合| |概率统计|单选4|古典概型计算|基于等可能事件，培养数据意识与数学应用能力|

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学45分钟训练卷》，以湖北省技能高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖北省（技能高考）《数学45分钟训练卷》 第20卷 综合卷 时间：45分钟 总分：90分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分） 1．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 3．某公司2020年研发投入为80万元，计划每年投入增长，则研发投入首次超过150万元的年份是（    ）（参考数据：） A．2026 年 B．2027 年 C．2028 年 D．2029 年 4．同时掷两枚硬币，一正一反的概率是（    ） A． B． C． D． 5．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（ ） A．2 B．4 C． D． 6．设,，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或未选的得0分） 7．下列关于条件关系的说法中，正确的有（ ） A．" "是""的充分条件 B．" "是""的必要条件 C．"三角形是直角三角形"是"勾股定理成立"的充分条件 D．"四边形是正方形"是"四边形是矩形"的充分条件 8．下列说法正确的有（    ） A．是第二象限角 B． C．小于的角一定是锐角 D． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，若小题中有两空，则对一空得3分，对两空得5分） 9．化简：=_____． 10．已知某球的小圆周长为，球心到小圆截面的距离为，则这个球的体积是________． 11．函数的最小值为________. 12．单位圆上点对应角的余弦值是______. 四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．某智能制造实训基地投入新设备后，零件良品产出数量持续稳定增长，每月良品产出数量构成等差数列.根据实训基地生产台账记录，设备投产首月良品产量为150个，前4个月累计产出良品660个.结合等差数列定义的充要条件、通项公式与前项和公式，完成下列求解： (1)求该等差数列的首项与公差； (2)求该数列的通项公式； (3)求设备投产前10个月的良品总产量 . 14．已知圆的圆心在直线：上，且圆过点和. (1)求圆的标准方程；若直线过点且与圆相交于、两点，，求直线的方程； (2)已知直线与直线平行，且直线上存在唯一一点，使得，求直线的方程. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学45分钟训练卷》，以湖北省技能高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖北省（技能高考）《数学45分钟训练卷》 第20卷 综合卷 时间：45分钟 总分：90分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分） 1．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的内积 【分析】根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】，夹角为， 则， 故选：. 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的方程，所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线（即）的距离， 因为，所以直线与圆相切， 故选：B. 3．某公司2020年研发投入为80万元，计划每年投入增长，则研发投入首次超过150万元的年份是（    ）（参考数据：） A．2026 年 B．2027 年 C．2028 年 D．2029 年 【答案】B 【知识点】指数函数的应用、指数式与对数式的互化 【分析】设经过年该公司的研发资金开始超过万元，则，求解不等式即可. 【详解】设第年后投入超过150万元，则， 即 ，两边取对数得：， 所以，故，即年. 故选：B. 4．同时掷两枚硬币，一正一反的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定同时掷两枚硬币所有可能出现的结果，再找出一正一反的结果数量，最后根据古典概型概率公式计算概率即可. 【详解】同时掷两枚硬币的基本事件：正正、正反、反正、反反， 一正一反有2种，则一正一反的概率为. 故选：B. 5．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D. 6．设,，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常用数集或数集关系应用、补集的概念及运算 【分析】先明确全集和集合中的元素，再根据补集的定义求解. 【详解】已知，， 所以. 故选：A. 二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或未选的得0分） 7．下列关于条件关系的说法中，正确的有（ ） A．" "是""的充分条件 B．" "是""的必要条件 C．"三角形是直角三角形"是"勾股定理成立"的充分条件 D．"四边形是正方形"是"四边形是矩形"的充分条件 【答案】AD 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据充分条件与必要条件的概念逐项分析即可. 【详解】A选项， 能推出 ，故充分性成立， 所以" "是""的充分条件，故A正确， B选项，需要或， 故不是的必要条件，故B错误， C选项，勾股定理是普适性真命题，其成立与否和单个三角形的形状无关， 因此“三角形是直角三角形”不是“勾股定理”的充分条件，故C错误， D选项，正方形一定是矩形，故充分性成立，故D正确， 故选：AD. 8．下列说法正确的有（    ） A．是第二象限角 B． C．小于的角一定是锐角 D． 【答案】BD 【知识点】任意角的概念判断及应用、确定已知角所在象限、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据角的定义，以及诱导公式和特殊角的三角函数值，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据角的定义，可得是第三象限角，所以A不正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，根据角的定义，小于的角不一定是锐角，可以是负角，所以C错误； 对于D中，由的终边位于第二象限，所以，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，若小题中有两空，则对一空得3分，对两空得5分） 9．化简：=_____． 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量运算中的三角形法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 10．已知某球的小圆周长为，球心到小圆截面的距离为，则这个球的体积是________． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】先根据小圆周长求出截面小圆半径，再结合球心到截面的距离，利用球半径、截面小圆半径、球心到截面距离的勾股关系求出球半径，最后代入球的体积公式计算得到结果. 【详解】设球的半径为，截面小圆的半径为，球心到小圆截面的距离为. 因为小圆周长为，代入得，解得. 根据球的截面性质，球心到截面的垂线垂足为截面小圆的圆心， 因此，又，故. 由球的体积公式得. 故答案为：. 11．函数的最小值为________. 【答案】0 【知识点】求二次（型）函数的最值 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】函数的对称轴为， 该函数图像开口向上，故最小值在处取得， 则该函数的最小值为. 故答案为：0. 12．单位圆上点对应角的余弦值是______. 【答案】/0.5 【知识点】由单位圆求三角函数 【分析】根据单位圆中横坐标就是余弦值求解即可. 【详解】单位圆上点对应角的余弦值是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9．某智能制造实训基地投入新设备后，零件良品产出数量持续稳定增长，每月良品产出数量构成等差数列.根据实训基地生产台账记录，设备投产首月良品产量为150个，前4个月累计产出良品660个.结合等差数列定义的充要条件、通项公式与前项和公式，完成下列求解： (1)求该等差数列的首项与公差； (2)求该数列的通项公式； (3)求设备投产前10个月的良品总产量 . 【答案】(1)， (2) (3)1950 【知识点】求等差数列的通项公式、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式即可求解. （2）根据等差数列的通项公式即可求解. （3）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，数列首项 ，，则，解得 . （2）由得，. （3）由题意得，，则. 10．已知圆的圆心在直线：上，且圆过点和. (1)求圆的标准方程；若直线过点且与圆相交于、两点，，求直线的方程； (2)已知直线与直线平行，且直线上存在唯一一点，使得，求直线的方程. 【答案】(1) ;或 (2)或 【知识点】由两条直线平行求方程、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆的实际应用 【分析】（1）先利用圆心在已知直线上及过两点的等距条件，解出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程；再根据弦长公式反推出圆心到所求直线的距离为1，最后分斜率存在与否讨论，用点到直线距离公式求出两条满足条件的直线方程. （2）将垂直条件转化为以AB为直径的圆，设平行直线方程，由唯一交点即相切，利用圆心到直线距离等于半径解出参数. 【详解】（1）设圆的标准方程为为圆心，为半径）， 根据题意列条件 ①圆心在上：； ②圆过、：. 将代入得， 化简得. 代入得，半径， 故圆的标准方程为： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式， 代入、：. 斜率不存在：直线方程为，圆心到直线距离为，舍去； 斜率存在：设直线的斜率为，方程为，整理为. 由点到直线距离公式，得. 因此直线的方程为：或，整理为一般式：或. （2）若，则点在以为直径的圆上. 的中点为， 故以为直径的圆的方程为. 直线与：平行，设的方程为； 直线上存在唯一一点满足条件，所以直线与以为直径的圆相切. 以为直径的圆的圆心为，半径为， 直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径，即. 化简得. 因此直线的方程为：或. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $