第18练 函数的奇偶性《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第三章 函数 第 18 练 函数的奇偶性 一、选择题 1.下列函数中，是偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = x³ C. f(x) = x² - 2 D. f(x) = 2. 函数f(x) = x⁵ - 3x³的奇偶性是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶 3. 观察下列函数图像，其中是偶函数的是（ ） A.y=2x B.y=x2+1 C.y=2x D.y=0 【答案】B 4. 若函数f(x) = ax² + bx + c是偶函数，则（ ） A. a = 0 B. b = 0 C. c = 0 D. a = b = 0 5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3) = 5，则f(-3)的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 0 D. 无法确定 6. 如图，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。设S₁为f(x)在[-2, -1]上与x轴围成的面积，S₂为f(x)在[1, 2]上与x轴围成的面积，S为g(x)在[-1, 1]上与x轴围成的面积，则下列结论正确的是（ ） A. S₁ = S₂ B. S₁ = -S₂ C. S = 2S₁ D. S₁ + S₂ = 0 二、填空题 7.函数f(x) = x⁴ - 2x²的奇偶性是________。 8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x > 0时，f(x) = x² + 2x，则f(-2) = ________。 9. 若函数f(x) = (m - 1)x² + mx + 3是偶函数，则m = ________。 10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0) = ________。 三、解答题 11.判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) = x³ + 2x； （2）f(x) = x² + x； （3）f(x) = |x|； （4）f(x) = x⁴ - 3x² + 1。 12. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) + g(x) = x² + 3x + 1。 （1）求f(x)和g(x)的解析式； （2）判断h(x) = f(x)·g(x)的奇偶性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第三章 函数 第 18 练 函数的奇偶性 一、选择题 1.下列函数中，是偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = x³ C. f(x) = x² - 2 D. f(x) = 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性，先检查定义域是否关于原点对称，再验证f(-x)与f(x)的关系：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x)为奇函数。 【详解】A. f(-x) = -x + 1 ≠ f(x)且≠ -f(x)，非奇非偶；B. f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)，是奇函数；C. f(-x) = (-x)² - 2 = x² - 2 = f(x)，是偶函数；D. f(-x) = = - = -f(x)，是奇函数。故选C。 2. 函数f(x) = x⁵ - 3x³的奇偶性是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶 【答案】A 【分析】判断奇偶性，计算f(-x)并与f(x)比较。也可利用性质：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数。 【详解】f(x) = x⁵ - 3x³。 f(-x) = (-x)⁵ - 3(-x)³ = -x⁵ + 3x³ = -(x⁵ - 3x³) = -f(x)。 所以f(x)是奇函数。 另解：x⁵和x³都是奇函数，奇函数减奇函数仍是奇函数。故选A。 3. 观察下列函数图像，其中是偶函数的是（ ） A.y=2x B.y=x2+1 C.y=2x D.y=0 【答案】B 【分析】偶函数的图像特征：关于y轴对称，即图像上任意一点(x, y)关于y轴的对称点(-x, y)也在图像上。 【详解】图A（y = 2x）是过原点的直线，关于原点对称，是奇函数；图B（y = x² + 1）是开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)，关于y轴对称，是偶函数；图C（y = 2^x）是指数曲线，既不关于y轴对称也不关于原点对称，非奇非偶；图D（y = 0）虽然既是奇函数又是偶函数，但题目问"是偶函数的是"，图B是最典型的偶函数代表。若从严格意义上，D也是偶函数，但通常考查的是图B这种典型的偶函数图像。故选B。 4. 若函数f(x) = ax² + bx + c是偶函数，则（ ） A. a = 0 B. b = 0 C. c = 0 D. a = b = 0 【答案】B 【分析】利用偶函数定义f(-x) = f(x)，通过比较系数确定参数条件。 【详解】f(x) = ax² + bx + c。 f(-x) = a(-x)² + b(-x) + c = ax² - bx + c。 由f(-x) = f(x)得：ax² - bx + c = ax² + bx + c。 比较系数得：-bx = bx，即2bx = 0对任意x成立，所以b = 0。 a和c可以是任意实数。例如f(x) = 2x² + 3也是偶函数。故选B。 5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3) = 5，则f(-3)的值为（ ） A. 5 B. -5 C. 0 D. 无法确定 【答案】B 【分析】奇函数的核心性质：f(-x) = -f(x)，即自变量取相反数时，函数值也取相反数。 【详解】因为f(x)是奇函数，所以f(-x) = -f(x)。 f(-3) = -f(3) = -5。故选B。 6. 如图，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。设S₁为f(x)在[-2, -1]上与x轴围成的面积，S₂为f(x)在[1, 2]上与x轴围成的面积，S为g(x)在[-1, 1]上与x轴围成的面积，则下列结论正确的是（ ） A. S₁ = S₂ B. S₁ = -S₂ C. S = 2S₁ D. S₁ + S₂ = 0 【答案】A 【分析】奇函数的图像关于原点对称，因此在对称区间上对应的区域面积相等（面积是正值）；偶函数的图像关于y轴对称。 【详解】对于奇函数f(x) = x³： 在[-2, -1]上，f(x) < 0，S₁是该区域面积的绝对值； 在[1, 2]上，f(x) > 0，S₂是该区域面积。 由于奇函数图像关于原点对称，[-2, -1]上的图像与[1, 2]上的图像关于原点对称，所以两区域面积相等，即S₁ = S₂。 注意：面积是正值，所以S₁ = S₂ > 0，S₁ + S₂ = 2S₁ ≠ 0。 对于偶函数g(x) = x²，S是[0, 1]上面积的2倍，但S与S₁之间没有必然的2倍关系（取决于具体函数）。故选A。 二、填空题 7.函数f(x) = x⁴ - 2x²的奇偶性是________。 【答案】偶函数 【分析】计算f(-x)并与f(x)比较，或利用"偶函数±偶函数=偶函数"的性质。 【详解】f(-x) = (-x)⁴ - 2(-x)² = x⁴ - 2x² = f(x)。 所以f(x)是偶函数。 另解：x⁴和x²都是偶函数，偶函数减偶函数仍是偶函数。 8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x > 0时，f(x) = x² + 2x，则f(-2) = ________。 【答案】8 【分析】偶函数的性质：f(-x) = f(x)。已知x > 0时的表达式，求f(-2)可转化为求f(2)。 【详解】因为f(x)是偶函数，所以f(-2) = f(2)。 当x = 2 > 0时，f(2) = 2² + 2×2 = 4 + 4 = 8。 因此f(-2) = 8。 9. 若函数f(x) = (m - 1)x² + mx + 3是偶函数，则m = ________。 【答案】0 【分析】偶函数满足f(-x) = f(x)，通过比较系数求参数。 【详解】f(-x) = (m - 1)(-x)² + m(-x) + 3 = (m - 1)x² - mx + 3。 由f(-x) = f(x)得：(m - 1)x² - mx + 3 = (m - 1)x² + mx + 3。 比较一次项系数：-mx = mx，即2mx = 0对任意x成立。 所以m = 0。 验证：当m = 0时，f(x) = -x² + 3，f(-x) = -(-x)² + 3 = -x² + 3 = f(x)，确实是偶函数。 10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0) = ________。 【答案】0 【分析】奇函数满足f(-x) = -f(x)。令x = 0，可推出f(0)的值。 【详解】因为f(x)是奇函数，所以f(-x) = -f(x)。 令x = 0，得f(-0) = -f(0)，即f(0) = -f(0)。 移项得2f(0) = 0，所以f(0) = 0。 这是奇函数的一个重要性质：若奇函数在x = 0处有定义，则必有f(0) = 0。 三、解答题 11.判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) = x³ + 2x； （2）f(x) = x² + x； （3）f(x) = |x|； （4）f(x) = x⁴ - 3x² + 1。 【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶；（3）偶函数；（4）偶函数。 【分析】判断函数奇偶性的步骤：①检查定义域是否关于原点对称；②计算f(-x)；③比较f(-x)与f(x)、-f(x)的关系。 【详解】 （1）f(x) = x³ + 2x，定义域为R，关于原点对称。 f(-x) = (-x)³ + 2(-x) = -x³ - 2x = -(x³ + 2x) = -f(x)。 所以f(x)是奇函数。 （2）f(x) = x² + x，定义域为R，关于原点对称。 f(-x) = (-x)² + (-x) = x² - x。 因为x² - x ≠ x² + x（除非x = 0），且x² - x ≠ -(x² + x) = -x² - x（除非x = 0）。 所以f(x)非奇非偶。 （3）f(x) = |x|，定义域为R，关于原点对称。 f(-x) = |-x| = |x| = f(x)。 所以f(x)是偶函数。 （4）f(x) = x⁴ - 3x² + 1，定义域为R，关于原点对称。 f(-x) = (-x)⁴ - 3(-x)² + 1 = x⁴ - 3x² + 1 = f(x)。 所以f(x)是偶函数。 12. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) + g(x) = x² + 3x + 1。 （1）求f(x)和g(x)的解析式； （2）判断h(x) = f(x)·g(x)的奇偶性。 【答案】（1）f(x) = x² + 1，g(x) = 3x；（2）h(x)是奇函数。 【分析】利用奇偶函数的性质：f(-x) = f(x)，g(-x) = -g(x)。将-x代入已知等式，得到关于f(x)和g(x)的方程组，联立求解。 【详解】 （1）已知f(x) + g(x) = x² + 3x + 1 ① 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(-x) = f(x)，g(-x) = -g(x)。 将-x代入①式：f(-x) + g(-x) = (-x)² + 3(-x) + 1 即f(x) - g(x) = x² - 3x + 1 ② 联立①和②： 两式相加：2f(x) = 2x² + 2，所以f(x) = x² + 1。 两式相减：2g(x) = 6x，所以g(x) = 3x。 （2）h(x) = f(x)·g(x) = (x² + 1)·3x = 3x³ + 3x。 h(-x) = 3(-x)³ + 3(-x) = -3x³ - 3x = -(3x³ + 3x) = -h(x)。 所以h(x)是奇函数。 另解：偶函数×奇函数=奇函数，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以h(x) = f(x)·g(x)是奇函数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $