第17练 函数的单调性《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 依托三阶支架体系，以选择、填空、解答题分层，覆盖函数单调性概念理解、性质应用到综合证明，实现基础巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单调性定义与图像识别|选择题1-5直接考查增减函数判断及图像单调区间，培养几何直观| |性质应用|单调区间求解与简单推理|填空题7-9结合一次、二次函数求单调区间，体现运算能力| |综合深化|证明与实际应用|解答题11-12含单调性证明及最值求解，发展推理能力与应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第三章 函数 第 17 练 函数的单调性 一、选择题 1.函数y = 2x + 1在R上的单调性是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 2. 下列函数中，在区间(0, +∞)上是减函数的是（ ） A. y = 3x B. y = x² C. y = -2x + 1 D. y = x + 2 3. 如图是函数y = f(x)在区间[-3, 3]上的图像，则该函数的单调递增区间是（ ） A. [-3, -1] B. [-1, 2] C. [2, 3] D. [-3, 3] 4. 函数f(x) = x² - 4x + 3的单调递减区间是（ ） A. (-∞, 2] B. [2, +∞) C. (-∞, 3] D. [3, +∞) 5. 若函数f(x)在区间[a, b]上是增函数，则对于任意x₁, x₂∈[a, b]，当x₁ < x₂时，一定有（ ） A. f(x₁) > f(x₂) B. f(x₁) < f(x₂) C. f(x₁) = f(x₂) D. 无法确定 6. 如图，函数y = f(x)的图像经过点A(-2, 3)、B(0, -1)、C(2, 3)。则下列判断正确的是（ ） A. 函数在[-2, 0]上是增函数 B. 函数在[0, 2]上是增函数 C. 函数在[-2, 2]上是增函数 D. f(-2) > f(0) 二、填空题 7.函数y = -3x + 2在R上是________函数（填"增"或"减"）。 8. 函数f(x) = x² - 6x + 5的单调递增区间是________。 9. 若函数f(x)在区间[1, 4]上是增函数，且f(1) = 2，f(4) = 8，则f(2)的取值范围是________。 10. 已知函数f(x) = x² + 2(a - 1)x + 3在区间(-∞, 2]上是减函数，则实数a的取值范围是________。 三、解答题 11.证明函数f(x) = 2x - 3在R上是增函数。 12. 已知函数f(x) = x² - 2x - 3。 （1）将函数配方，写出顶点坐标和对称轴方程； （2）判断函数在区间(-∞, 1]和[1, +∞)上的单调性； （3）求函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第三章 函数 第 17 练 函数的单调性 一、选择题 1.函数y = 2x + 1在R上的单调性是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 【答案】A 【分析】判断一次函数的单调性，可根据斜率k的符号：k > 0时为增函数，k < 0时为减函数。 【详解】函数y = 2x + 1是一次函数，斜率k = 2 > 0。根据一次函数的性质，当k > 0时，函数在定义域R上是增函数，即y随x的增大而增大。故选A。 2. 下列函数中，在区间(0, +∞)上是减函数的是（ ） A. y = 3x B. y = x² C. y = -2x + 1 D. y = x + 2 【答案】C 【分析】判断函数在(0, +∞)上的单调性：一次函数看斜率；二次函数看开口方向和对称轴。 【详解】A. y = 3x，k = 3 > 0，是增函数；B. y = x²是开口向上的抛物线，对称轴x = 0，在(0, +∞)上是增函数；C. y = -2x + 1，k = -2 < 0，是减函数；D. y = x + 2，k = 1 > 0，是增函数。故选C。 3. 如图是函数y = f(x)在区间[-3, 3]上的图像，则该函数的单调递增区间是（ ） A. [-3, -1] B. [-1, 2] C. [2, 3] D. [-3, 3] 【答案】B 【分析】从函数图像上看，单调递增区间是图像"上升"的部分（从左往右看，y随x的增大而增大）。 【详解】观察图像：在区间[-3, -1]上，图像从左往右下降，函数单调递减；在区间[-1, 2]上，图像从左往右上升，函数单调递增；在区间[2, 3]上，图像从左往右下降，函数单调递减。因此单调递增区间是[-1, 2]。故选B。 4. 函数f(x) = x² - 4x + 3的单调递减区间是（ ） A. (-∞, 2] B. [2, +∞) C. (-∞, 3] D. [3, +∞) 【答案】A 【分析】二次函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的单调性由开口方向和对称轴决定。当a > 0时，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。 【详解】f(x) = x² - 4x + 3，其中a = 1 > 0，开口向上。对称轴为x = -b/(2a) = -(-4)/(2×1) = 2。因为开口向上，所以在对称轴左侧(-∞, 2]上函数单调递减，在右侧[2, +∞)上单调递增。故选A。 5. 若函数f(x)在区间[a, b]上是增函数，则对于任意x₁, x₂∈[a, b]，当x₁ < x₂时，一定有（ ） A. f(x₁) > f(x₂) B. f(x₁) < f(x₂) C. f(x₁) = f(x₂) D. 无法确定 【答案】B 【分析】增函数的定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x₁, x₂，当x₁ < x₂时，都有f(x₁) < f(x₂)，则称函数在该区间上是增函数。 【详解】根据增函数的严格定义：若函数f(x)在[a, b]上是增函数，则对任意x₁, x₂∈[a, b]，当x₁ < x₂时，必有f(x₁) < f(x₂)。这是增函数定义的直接表述。故选B。 6. 如图，函数y = f(x)的图像经过点A(-2, 3)、B(0, -1)、C(2, 3)。则下列判断正确的是（ ） A. 函数在[-2, 0]上是增函数 B. 函数在[0, 2]上是增函数 C. 函数在[-2, 2]上是增函数 D. f(-2) > f(0) 【答案】A 【分析】由图像读取三个关键点坐标，根据图像的升降趋势判断各区间单调性。 【详解】由图像可知：A(-2, -1)、B(0, 3)、C(2, -1)。 在区间[-2, 0]上，图像从A(-2, -1)上升到B(0, 3)，y随x的增大而增大，所以函数在[-2, 0]上是增函数，A正确。 在区间[0, 2]上，图像从B(0, 3)下降到C(2, -1)，y随x的增大而减小，所以函数在[0, 2]上是减函数，B错误。 C. 函数在[-2, 2]上先增后减，不是单调增函数，错误。 D. f(-2) = -1，f(0) = 3，所以f(-2) = -1 < 3 = f(0)，D错误。 故选A。 二、填空题 7.函数y = -3x + 2在R上是________函数（填"增"或"减"）。 【答案】减 【分析】一次函数y = kx + b的单调性由斜率k决定：k > 0为增函数，k < 0为减函数。 【详解】函数y = -3x + 2是一次函数，斜率k = -3 < 0。根据一次函数的性质，当k < 0时，函数在R上是减函数，即y随x的增大而减小。 8. 函数f(x) = x² - 6x + 5的单调递增区间是________。 【答案】[3, +∞) 【分析】二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定。先配方或求对称轴，再判断。 【详解】f(x) = x² - 6x + 5，a = 1 > 0，开口向上。对称轴x = -b/(2a) = 6/2 = 3。因为开口向上，所以在对称轴右侧[3, +∞)上函数单调递增。也可配方：f(x) = (x - 3)² - 4，顶点(3, -4)，开口向上，在[3, +∞)上递增。 9. 若函数f(x)在区间[1, 4]上是增函数，且f(1) = 2，f(4) = 8，则f(2)的取值范围是________。 【答案】2 < f(2) < 8（或写成(2, 8)） 【分析】利用增函数的性质：自变量越大，函数值越大。由于2∈(1, 4)，所以f(1) < f(2) < f(4)。 【详解】因为f(x)在[1, 4]上是增函数，且1 < 2 < 4，根据增函数的定义，有f(1) < f(2) < f(4)。已知f(1) = 2，f(4) = 8，所以2 < f(2) < 8。即f(2)的取值范围是(2, 8)。 10. 已知函数f(x) = x² + 2(a - 1)x + 3在区间(-∞, 2]上是减函数，则实数a的取值范围是________。 【答案】a ≤ -1 【分析】二次函数f(x) = x² + 2(a - 1)x + 3开口向上（a = 1 > 0），在对称轴左侧单调递减。要使函数在(-∞, 2]上递减，需对称轴在x = 2或其右侧。 【详解】f(x) = x² + 2(a - 1)x + 3，开口向上，对称轴为x = - = -(a - 1) = 1 - a。 因为开口向上，函数在(-∞, 1 - a]上单调递减。 要使函数在(-∞, 2]上是减函数，需要(-∞, 2]⊆(-∞, 1 - a]，即2 ≤ 1 - a，解得a ≤ -1。 因此实数a的取值范围是(-∞, -1]，即a ≤ -1。 三、解答题 11.证明函数f(x) = 2x - 3在R上是增函数。 【答案】证明见详解。 【分析】用定义证明函数的单调性：在定义域内任取x₁ < x₂，通过作差f(x₁) - f(x₂)判断符号，若f(x₁) - f(x₂) < 0，则函数为增函数。 【详解】证明：任取x₁, x₂∈R，且x₁ < x₂。 f(x₁) - f(x₂) = (2x₁ - 3) - (2x₂ - 3) = 2x₁ - 3 - 2x₂ + 3 = 2x₁ - 2x₂ = 2(x₁ - x₂) 因为x₁ < x₂，所以x₁ - x₂ < 0。 因此2(x₁ - x₂) < 0，即f(x₁) - f(x₂) < 0。 所以f(x₁) < f(x₂)。 由增函数的定义，函数f(x) = 2x - 3在R上是增函数。 12. 已知函数f(x) = x² - 2x - 3。 （1）将函数配方，写出顶点坐标和对称轴方程； （2）判断函数在区间(-∞, 1]和[1, +∞)上的单调性； （3）求函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。 【答案】（1）f(x) = (x - 1)² - 4，顶点(1, -4)，对称轴x = 1； （2）在(-∞, 1]上单调递减，在[1, +∞)上单调递增； （3）最大值为0，最小值为-4。 【分析】（1）通过配方将二次函数化为顶点式；（2）根据开口方向和对称轴判断单调性；（3）结合单调性和区间端点求最值。 【详解】 （1）f(x) = x² - 2x - 3 = x² - 2x + 1 - 1 - 3 = (x - 1)² - 4 所以顶点坐标为(1, -4)，对称轴方程为x = 1。 （2）因为a = 1 > 0，抛物线开口向上。 所以在对称轴左侧(-∞, 1]上，函数单调递减； 在对称轴右侧[1, +∞)上，函数单调递增。 （3）区间[0, 3]包含对称轴x = 1。 由（2）知，函数在[0, 1]上递减，在[1, 3]上递增。 所以最小值在x = 1处取得：f(1) = (1 - 1)² - 4 = -4。 比较区间端点： f(0) = 0² - 2×0 - 3 = -3 f(3) = 3² - 2×3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 因为0 > -3，所以最大值为f(3) = 0。 综上，函数在[0, 3]上的最大值为0，最小值为-4。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $