19.1 二次函数（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过克莱因瓶、喷泉彩虹等情境导入，结合旧知回顾函数与一次函数，搭建从具体实例到抽象定义的学习支架，引导学生理解二次函数的一般形式及自变量取值范围。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过圆面积、围栏面积等实例抽象概念，培养数学眼光中的创新意识与数学思维中的推理能力。结合实际问题建模，如药品价格变化，发展数学语言中的模型意识，助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第十九章 二次函数和反比例函数 19.1 二次函数 1 2 3 通过具体情境探究，理解二次函数的概念并能准确辨析. 掌握二次函数的一般形式，熟练识别二次项系数、一次项系数及常数项. 学会建立二次函数模型，并能结合实际背景确定自变量的取值范围. 学 习 目 标 课前导入 世界上存在这样一个神奇容器，就算把地球上全部的水倒进去，也永远装不满，你知道它是什么吗？ 同学们想一想，普通水杯、水壶都可以装满水.但数学中就有这么一个 “瓶子”，无论倒入多少水，永远装不满.它就是数学家菲利克斯・克莱因提出的 —— 克莱因瓶. 它并不是现实世界能制造出来的瓶子，它没有传统意义的内部和外部，内外连成同一个曲面，所以永远无法被装满。 提出它的这位数学家菲利克斯・克莱因，同样对函数有着深刻的见解，他曾说过这样一句话：“函数是数学的灵魂”. 喷泉喷出的温婉水柱，雨后的彩虹，抛出去的铅球...... 这些多姿多彩的曲线运动，其背后的数量关系该如何用函数来刻画？让我们带着疑问开始今天的学习． 课前导入 …… 旧知回顾 什么是函数？ 什么是一次函数？ 在一个变化过程中，有两个变量 和 ，对于 的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，就称 是 的函数. 一般地，形如的函数. 正比例函数是特殊的一次函数 判断下列每个问题中的两个量是否构成函数关系.如果是，指出哪一个是自变量，哪一个是因变量，并分别写出函数表达式. (1)圆的面积A和它的半径r的关系； 由圆面积公式得关系式为： 对于r的每一个值，A都有唯一确定的值与之对应，即A是r的函数，其中r是自变量，A是因变量. 探究1 解析 新知探究 (2)如图19-1,利用成直角的墙角,用20长的栅栏围成一个矩形小花园，花园的面积)和它一边长的关系； 探究1 一边长为 ，则另一边长为. 则： 对于的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，即是的函数，其中是自变量，是因变量. 解析 新知探究 (3）如图19-2，正方形中圆的半径是4cm，绿色部分的面积)和正方形边长的关系； 探究1 绿色部分面积 = 正方形面积 - 圆面积. 则： 对于的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，即是的函数，其中是自变量，是因变量. 解析 新知探究 (4)某种药品现价26元/盒，计划两年内每年的降价率都为，那么，两年后这种药品的价格（元/盒）和年降价率的关系. 探究1 这种药品的现价是26元/盒，一年后的价格是 元/盒，再经过一年后的价格是 元/盒，即两年后的价格 ． 对于年降价率的每一个值，价格都有唯一确定的值与之对应，即是的函数，其中是自变量，是因变量. 解析 新知探究 观察以上4个问题所列出的表达式，它们有什么共同的特点? 观察发现 新知探究 自变量的最高次数为2 右侧是关于自变量的二次多项式. 是二次项 是二次项系数 是一次项 b是一次项系数 c是常数项 特征 一般地，形如(，，是常数，≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 ， 分别是二次项、一次项的系数，常数项． 二次函数定义 归纳 新知探究 二次函数必须同时满足三个条件: (1)函数解析式为整式; (2)化简后自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为0. 一般地，形如(，，是常数，≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 ， 分别是二次项、一次项的系数，常数项． 新知探究 为什么二次函数一般形式中要规定 当 时 当 时 + 当 ， 时 ＋ 当 时 总结：只要满足， 可以为任意实数. 新知探究 新知应用 1.下列函数是否是二次函数？若是，， ③ ⑤ ⑥ 新知应用 2.关于函数 A．1 B．-1 C．1或-1 D．0 解析： 函数是二次函数， 且， 解得：． B “次数求值，系数验证” 巩固练习 1.下面函数中，哪些是二次函数？写出每个二次函数中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解析：是二次函数 每个二次函数中的二次项系数、一次项系数和常数项分别如下： 巩固练习 2.已函数 【分析】：根据二次函数的定义，得出的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算即可. 解：函数是二次函数， 且， 解得：． 无限制条件：自变量取值范围是全体实数 实际问题中，自变量的取值范围必须使实际问题有意义 探究1中得出的四个关系式中自变量取值范围如何确定？ 圆面积 靠墙围栏 挖空正方形 药品价格 结论 半径 边长且 正方形边长（外框包住内圆） 降价率 新知探究 例：如图 19-3，某中学计划将校园内边长为 的正方形花坛按原形状扩建，如果将正方形花坛的边长增加 ，则周长增加的部分和面积增加的部分分别是的函数 .求这两个函数的表达式. 解：拓宽后边长为 则：周长增加部分：= 面积增加部分：= 综上：两个函数的表达式分别为：= 典例分析 巩固练习 写出下列各函数的表达式，指出它是什么函数，并确定函数的自变量的取值范围. (1)矩形的周长为,它的面积是它的一边长)的函数. 解：由题意知矩形的另一边长为 则： 该函数为二次函数 综上：函数表达式 ，是二次函数，自变量的取值范围是 巩固练习 （2）如图，最下面是一个长方形，上面是10个小正方形.如果长方形的长为,宽为小正方形边长的一半，那么这个图形的总面积是每个小正方形的边长)的函数. 解：由题意知长方形的长为 则：图形总面积 该函数为二次函数 要使函数有意义，需满足： 综上：函数表达式是二次函数，自变量的取值范围是 本地考题 1.二次函数( ) A． B． C． D． B 2.若 -2 本地考题 3.下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件件．利润元与每件进价的关系． A．① B．② C．③ D．①③ C 二次函数定义： 一般地，形如. 二次函数的特殊形式： （1）当＝0时， ； （2）当＝0时， ； （3）当＝0，＝0时，. 课堂总结 教材习题19-1第1题 布置作业 感谢聆听! $