专题01 三角形有关线段和角的综合（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形有关线段和角的综合 常考题型精准突破 ◆题型1三角形的三边关系 1. 【答案】C 【详解】解：对于A选项：2+2=4， 不能组成三角形： 对于B选项：2+3=5<6， ,不能组成三角形： 对于c选项：1+2=3>2， ∴能组成三角形： 对于D选项：，1+2=3， ∴，不能组成三角形. 2. 【答案】C 【详解】解：，'a=2cm,b=5cm .b-a<c<a+b,解得3cm<c<7cm, 观察选项，只有5cm在此范围内. 3. 【答案】c 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x, 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知10-7<x<10+7,即3<x<17, 由图中挡板高度为5，则3<x≤5， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意. 【答案】5 【详解】解：三角形三边长分别为2，X,5, 1/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .5-2<x<5+2,即3<x<7, 又x为奇数， .X=5. 5. 【答案】D 【详解】解：在△OAB中，OA=20m,OB=15m, .根据三角形的三边关系可得：OA-OB<AB<OA+OB, 即5m<AB<35m,选项中只有23m符合该范围. ◆题型2·根据三角形中线求长度 6. 【答案】D 【详解】解：CD是△ABC的中线，AB=12, BD=号AB=6, 故选：D 7 【答案】B 【详解】解：BD是AC边上的中线， .AD=CD ,△ABD的周长为30，AB=15, ∴.AD+BD=30-AB=30-15=15, ∴.CD+BD=AD+BD=15, .BC=9, .∴△BCD的周长=BC+CD+BD=9+15=24 故选：B 8. 【答案】8 【详解】解：.'BE是△ABD的中线 ∴AD=2AE 2/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=2 .AD=4, BD是△ABC的中线， .AC=2AD. ∴.AC=8 9. 【答案】4 【详解】解：'在△ABC和△BCD中，CD,BE是中线， .AD=BD=3,DE=CE, △BCE的周长-△BDE的周长=BC+EC+BE-(BD+DE+BE =BC+EC+BE-BD-DE-BE =BC-BD =7-3 =4cm 故答案为：4. ◆题型3·三角形中线与面积问题 10. 【答案】C 【详解】解：，△ABC的面积为6，AD为△ABC中BC边上的中线， 1 ∴.SAABD= 5×6=3 故选：C. 11. 【答案】B 【详解】解：：F点为CE的中点，且S△DFE=8cm2(阴影部分)， ∴.SADCE=2SA￥=16am, ,E点为AD的中点， ∴.SAADC=2S△DcE=32Cm, ,D点为BC的中点， ∴.S△ABc=2 SAACD=64Cm2 3/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B. 12. 【答案】B 【详解】解：，F是BE的中点，S△BFD=1, ∴S△BDE=2 SABFD=2, :点E为AD的中点， ..SAABD=2SABDE=2X2=4, :点D为BC的中点， ∴.SAABC=2 SA ABD=2×4=8. 故选：B. 13. 【答案】c 【详解】解：连接AE,BF,CD, :点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点， ∴.AD=DF,BE=ED,EF=FC ∴.SAADC=SACDF,SAED=S△ABE,SABEF=S△EFD,SA FBF=S△BFC,SAABD=S△BDF,S△AEF=S△AFC, 1 “.△ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是△ABC的7， ·阴影部分的面积是42× 6, 故选：C 14. 【答案】A 【详解】解：：点D为AC的中点， 1 S△Aam-2SaA8C=16, ,点E为BD的中点， 4/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ..SAADE= △ABD=8, 2 :点F为AE的中点， ·S期影二方SA ADE=4, 故选：A. ◆题型4·根据三角形的三边关系化简 15. 【答案】a+b+c 【详解】解：，三角形三边为a,b,C, ∴.a-b<c,a-c<b, ∴a+b+c-a-b-c+a-c-b =(a+b+c)-[-(a-b-c])+-(a-c-b]] =a+b+c+a-b-c-a-c-b) =a+b+c+a-b-c-a+c+b =a+b+c. 故答案为：a+b+c. 16. 【答案】2b 【详解】解：：a,b,c为△ABC的三边长， ..a-b<c,a+b>c, ∴.a-b-c<0,a+b-c>0, .a-b-c+a+b-c=-a+b+c+a+b-c=2b. 故答案为：2b. 17. 【答案】3a-b-c 【详解】根据三角形三边关系a+b>c,b<c+a,b+c>a, 可得a+b-c>0,b-c-a<0,b+c-a>0, ..a+b-c=a+b-c,b-c-a=a+c-b,c-a+b=c+b-a, ..a+b-c+b-c-a]-c-a+b] 5/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a+b-c+a+c-b-(b+c-a) =3a-b-C, 故答案为：3a-b-c 18. 【答案】0 【详解】解：解：因为a,b,c是三角形的三边长， 所以a+b+c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b-c>0, a+b+c-a-b-c-a-b+c-a+b-cl, =a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c, =0 故答案为：0 ◆题型5·与三角形的高有关的计算问题 19. 【答案】100° 【详解】解：，∠BCD=30°，∠ACB=80, .∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°， ,CD是边AB上的高， ∴.∠ADC=90°， ∴.∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=40°， .∵AE是∠CAB的平分线， .∠CAE=∠CAB=20, ∴，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB=180°-20°-80°=80° ∠AEB=180°-∠AEC=100° 20. 【答案】4 【详解】解：，BE是△ABC的中线，S△ABE=8, ∴.S△ABC=2 SA ABE=2×8=16. AD是BC边上的高线， 6127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SaA=Z·BC·AD, 将SAABC=16、BC=8代入， 得16=号×8×D, 解得AD=4. 21. 【答案】(1)∠ADC=114 【详解】(1)解：，AF是△ABC的高， .AF⊥BC, .∠AFC=90°， :∠CAF=56° ∠ACD=180°-∠AFC-∠CAF=34°， ,CE平分∠ACD, <DCE=克ACD=17 .∠CED=49°， ∴∠ADC=180°-∠DCE+∠CED=180°-17°+49=114°. (2)解：，AD是△ABC的中线，△ABD的面积是42， ∴.S△ACD=S△ABD=42, ,△DCE的DE边上的高与△ACE的AE边上的高相等，且DE:AE=3:4, ∴.S&DCE:S△ACE=3:4, 又：S△DcE+S△ACE=SAACD=42, 4 .SAACE=3+4 ×42=24, 即△ACE的面积为24. 22. 【答案】(1)如图O,BG即为所求.(2)BG=DE+DF,3)SAAD号AC~DF, BG=DE+DF: (4)不成立.理由如下： 如图②，过点B作BG⊥AC于点G. 7/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :S△ABD=S△ABc+S△ACD :AB:DR=AG-G+号AC~DF. .AB=AC, ∴.DE=BG+DF, ∴BG=DE-DF. GP B C D D 图① 图② 【详解】解：(1)略 (2)BG=DE+DF (3)因为SA ABC=SAABD+SAACD, 所以AC~BG=ABDE+3AC~DF. 因为AB=AC, 所以BG=DE+DF 故答案为：SABD,2AC~DF,BG=DE+DF, (4)略 ◆题型6·与平行线有关的三角形内角和问题 23. 【答案】(1)证明：：AB‖DE, .∠BFD=∠2， .∠BFD=∠1， ∴.∠1=∠2， .DF‖AC; (2)解：.DF平分∠BDE, ∴.∠BDF=∠2， .∠1=65°， 8/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结合(1)可知∠BDF=∠2=∠1=65°， ∴.∠EDC=180°-2×65°=50°， ∴.∠C=180°-∠1-∠EDC=65° 24. 【答案】(1)解：AB‖CD,∠EGF=27°， ∴.∠DFG=∠EGF=27° ,FG平分∠EFD, .∠EFD=2∠DFG=2×27°=54°， AB‖CD, ∴.∠AEF=∠EFD=54°. (2)证明：，：EM平分∠GEF,FG平分∠EFD, ∠FEM=∠GEM=GER,∠EFG=克∠EFD AB‖CD, ∴.∠FEG+∠EFD=180°， :,∠FEM+∠EFG=号∠GEF+号∠EFD=∠FEG+∠EFD=90°， ∴.∠EMF=180°-∠FEM+∠EFG=180°-90°=90°， ∴.EM⊥GF, .'NG⊥GF ∴.EM‖NG ∴.∠N=∠FEM,∠AGN=∠GEM, ∴.∠AGN=∠N. 25. 【详解】解：，∠ADE=155°， ∠EDC=180°-∠ADE=180°-155°=25°， DE‖BC ∴.∠C=∠EDC=25°， 又，∠A=90, ∴∠B=90°-∠C=65° 9127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26. 【详解】解：，∠BAC=80°，∠C=30°， ∴.∠ABC=180°-80°-30°=70°， ,BP平分∠ABC, ∠CBP3<ABC=35 AP‖BC, .∴.∠P=∠CBP=35」 27. 【详解】(1)解：.AMBN,∠A=40°， ∴.∠ABN=180°-∠A=140°， .'BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, ·∠CBP=∠ABP,∠PBD= ∠PBN, .∠CBD=∠CBP+∠PBD, ∠CBD=)ABP+号∠PBN=3∠ABN-70 1 1 (2)当∠ACB=∠ABD时， 又.∠BAC=∠DAB, ∴∠ABC=∠ADB, AM‖BN, ∴.∠ADB=∠DBN, ∴.∠ABC=∠CBP,∠PBD=∠DBN, ∴.∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN, ∴.∠ABC+∠CBP+∠PBD+∠DBN 1 =4∠ABN 1 4 ,×140°=35°， ∴.∠ABC=35°： (3)当点P运动时，∠APB:∠ADB=2:1, 理由：.AM‖BN, 10/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN, .BD平分∠PBN, ∴.∠PBN=2∠DBN, ∴.∠APB:∠ADB=∠PBN:∠DBN=2:1. 28. 【答案】(1) ∠DEC,理由如下： :∠BAC+∠AED=180°， ..AB DE ∴.∠BAC=∠DEC: (2) AD‖FG,理由如下： :AB‖DE ∴.∠BAD=∠ADE」 ,∠ADE=∠BFG, .∠BAD=∠BFG ..AD FG. (3)60° (3):AD⊥BC, ,∠ADB=90°. :AD‖FG, ∴.∠BGF=∠ADB=90 ,∠BFG=30, ∠B=60°. ◆题型7·与角平分线有关的三角形内角和问题 29. 【详解】(1)证明：CD⊥AB,EF⊥AB ∴.∠CDB=∠FEB=90° ∴.EF‖CD 11/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：CE平分∠ACB,∠ACB=90 ∴.∠ACE=45° .∠A=65° ,∠ACD=90°-∠A=25° ∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=20° ,EF‖CD ∴.∠FEC=ㄥDCE=20°： 30 【详解】(1)解：：∠BAC=60°，∠ABC=70°， .∠C=180°-60°-70°=50°， AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-50°=40°： (2)解：：∠BAC=60°，∠ABC=70°， 又，BF是∠ABC的角平分线，AE是∠BAC的角平分线， ∠AB0=3∠ABG=35,∠BA0=克∠BAC=30 .∠AOB=180°-∠AB0-∠BA0=115°， ∴.∠BOE=180°-∠AOB=65°. 31. 【详解】(1)解：，AD为边BC上的高，△ABC的面积为40， BCAD=40. AD=8, BC=10 ..BE=CE, cE=8c=5. (2)解：，∠C=68°，∠B=36°， ∴.∠BAC=180°-∠C-∠B=76°， ,∠BAE=∠CAE, 12/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CAE= ∠BAC=38°， ,∠ADC=90°，∠C=68°， ∴.∠CAD=180°-∠ADC-∠C=22°， ',∠DAE=∠CAE-∠CAD=16° 32. 【详解】(1)解：.BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠ABC=42°，∠ACB=48°， ∠PBC-克<ABC=21,∠BCP- ∠ACB=24°， .'∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， .∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=135°： (2)解：：BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠PBc=3<A8C,∠Bp=<ACB, .·∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP -180-ABC-ACB 2 =180°-2ABC+∠ACB 2 =1800-180-∠A =90+1∠A =90+2×800 2 =130°： (3)解：.BQ,CQ分别是∠CBM,∠BCN的角平分线， ∠CBQ3∠CBM,∠BCQ-<BCN, .∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC, C0cA+号 ∠ACB,∠BcQ7A+3∠ABC, .'∠CBQ+∠BCQ+∠Q=180°， 13/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷A+号A+∠Ac+∠ACB+2Q=180 ∠A+2I800-∠A+∠Q=180 0-90<4 (4)解：.BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠CBM的角平分线， ∠PBC=克∠ABC,∠CBQ=∠CBM, .∠ABC+∠CBM=180°， ∠PBC+∠CBQ=∠ABC+∠CBM=90, ∴.∠QBE=∠PBC+∠CBQ=90°， 由(3)知∠Q=90°- A. ∴.∠E+∠Q=90°， ∠E=号∠A, 2 :在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，∠QBE=90°， ∴.∠Q,∠E都是锐角， ∴.分四种情况讨论： ①∠Q=3∠E, 90-克A=3×<A ∴.2∠A=90°， ∴.∠A=45°： ②∠QBE=3∠E, 3 ∠A=90°， ∴.∠A=60°： ③∠QBE=3∠Q, 390-2A=90 ∴.270°-1.5∠A=90°， 14/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=120°， ④∠E=3∠Q, ∴390-1 解之得：∠A=135°， 综上可知：∠A的度数为45°或60°或120°或135° 33. 【详解】(1)解：，BP平分∠ABC(已知)， i2P8Cc=吉ABC-×80=40 Γ2 同理可得∠PCB=25° :∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形内角和定理）， ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质) =180°-40°-25° =115°. (2)由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, ,∠1+∠ADP=180°，∠2+∠AEP=180°，∠1+∠2=100°， ∴.2∠AED+2∠ADE=260°， ∴.∠AED+∠ADE=130°， ∴.∠A=180°-∠AED-∠ADE=50°， .∵∠A=50°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， .BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, ∴.2∠PBC+2∠PCB=130°， 即∠PBC+∠PCB=65°， ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=115°： (3)~BO是∠ABC角平分线，BF是∠ABE角平分线 ∠AB0=∠0BC=号∠ABC,∠FBA=∠FBE∠ABE, ,∠ABE+∠ABC=180°， ∴.∠FBO=∠FBA+∠ABO=90°， 15/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠F=24°， .∠F0B=180°-90°-24°=66°， OD⊥OB, .∠DOB=90°， ∴∠D0C=180°-90°-66°=24° ◆题型8·三角形折叠中的角度问题 34. 【答案】c 【详解】解：在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°， .∠C=180°-∠A-∠B=40°， 如图： 3 B 由折叠的性质可得∠3=180°)∠2=7.5°，∠C=∠C=40°，∠4=180°，∠1 ,∠4=180°-∠C-∠3=62.5°， ∠1=180°-2∠4=55° 35. 【答案】A 【详解】解：∠A=76°，∠C=32°， .∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-76°-32°=72°， ,将△ABC沿着DE折叠，使点B与点C重合， ∴.∠EBC=∠C=32°， ∴∠ABE=40° 故选：A. 36. 【答案】A 16/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：根据折叠的性质得，∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED, .∠ADE+∠FDE=180°-∠1， ∠AED+∠FED=180°-∠2， ∴.∠ADE+∠AED =1×180°-∠1+180°-∠2 =3×刘360-21+22 =125°， ∴，∠A=180°-∠ADE+∠AED =55°， 故选：A. 37. 【答案】D 【详解】解：如图， B ,△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA再一次对折，点C落在BE上的C处， ∠1=∠2，∠2=∠3，∠CDB=∠CDB=64°， .∠1=∠2=∠3， ∠ABC=3∠3， 在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB=180°， .∠3+∠C=180°-64°=116°， 在△ABC中，，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴.30°+2∠3+∠3+∠C=180°， 即30°+2∠3+116°=180°， ∴.∠3=17°， 17/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠C=116°-17°=99°， 故选：D. 38. 【答案】A 【详解】由折叠的性质可知∠BED=∠BED,∠BDE=∠BDE, ,∠1+∠BED+∠BED=180°，∠2+∠BDE+∠BDE=180 ∠BED+∠B0E=23600-21-22=×1360°-801=140° ∴.∠B=∠B=180°-∠BED+∠BDE=180°-140°=40° 故选：A. 39 【答案】A 【详解】解：∠A=65°，∠B=75°， .∠C=180°-∠A-∠B=40° 由折叠的性质可得∠CDE=∠CDE,∠DEC=∠DEC, ,∠2=15°，∠DEC+∠DEC-∠2=180°， .2∠DEC-15°=180°， ∴∠DEC=97.5°， ∠CDE=180°-40°-97.5°=42.5°， ∴.∠1=180°-42.5×2=95°， 故选：A ◆题型9·三角形内角和定理的应用 40 【答案】c 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：180°-50°-80°=50°. 41. 【答案】c 【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ACB=90°-∠A=90°-30°=60°， BE DF, 18/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CED=∠EDF=45 .:∠DCE=180°-∠ACB=180°-60°=120°， ∴.∠CDE=180°-∠CED-∠DCE=180°-45°-120°=15° 42. 【答案】B 【详解】解：如图，设DF分别交AC、BC于点H,点Q, H D ,∠CQH=∠FQB,∠C=∠F=90°， .∠CHQ=180°-∠B, ,∠DHA=∠CHQ=180°-∠β，∠D+180°-∠a+∠DHA=180°，∠D=30° .30°+180°-∠a+180°-∠β=180 .∠a+∠B=210 43. 【答案】A 【详解】解：根据题意得：∠PMN=90°， ∴.∠BMN+∠AMP=90°， ,∠BMN=60, ∴.∠AMP=30°， .∠A=100°， ∴.∠APM=50°， MP‖NQ, ∴.∠APM=∠AQN=50°， ∴，∠NQC=180°-50°=130° 44. 【答案】B 【详解】解：：在△ABC中，∠A=50°， 19/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， .'三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C, ∴.∠BXC=90°， ∴.在△XBC中，∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC=90°， ∴.∠ABX+∠ACX=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=130°-90°=40°」 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故本选项不 合题意： B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故本选项不合题意： C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故本选项符合题意： D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故本选项不合题意， 2. 【答案】c 【详解】解：如图，连接AB, 在△ABC中，BC-AC<AB<BC+AC, .AC=5m,BC=7m, .7-5<AB<7+5,即2<AB<12, ∴.A,B两点之间的距离可能是10m 3. 【答案】B 【详解】 20/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 解：E BC‖EF, ∴.∠BHF=∠F=45°， .∠DHB=180°-∠BHF=180°-45°=135°， ∴.∠FDB=180°-∠B-∠DHB=180°-30°-135°=15°， ∠ADE=180°-∠EDF-∠FDB=180°-90°-15°=75°. 【答案】A 【详解】解：过点E作EF⊥BC交BC于点F,如下图， B :AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， 1 1 1 :△ABC的面积为30，BD=5, SwwDBEF-分×5×Er-子x30, 4 解得EF=3, 即△BDE中BD边上的高为3. 5. 【答案】D 【详解】解：点E,F是线段AD的三等分点， :DF=号AD 31 21/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAABD=3S1 同理SAADC=3S2, ∴.SAABC=S△ABD+SAADC =3S1+3S2 =3S1+S2, S1+S2=4, ∴.S△ABc=3×4=12 6. 【答案】A 【详解】解：BC平分∠ACD,CF平分∠ACG, ∠BCD=∠BCA=<ACD,∠4=∠ACF=∠ACG, ,∠ACD+∠ACG=180°， :∠BCA+∠ACF=∠4+BCD=号∠ACD+号∠ACG=90=∠BCF. .CB⊥CF,①正确： :CD‖AB .∠4=∠AFC,∠BAC=∠ACG=40°，∠BCD=∠2， :∠4=∠ACF=号∠ACG=20, .∠BCD=90°-∠4=70°=∠2， .∠1=∠2=70°，②正确： ,∠1+∠2+∠3=180°， .∠3=180°-∠1-∠2=40°， .∠3=2∠4，③正确： ,∠1=∠BAC+∠ACE, ∴∠ACE=∠1-∠BAC=30°≠2∠4，④错误： 综上：正确的为①②③. 【答案】35 【详解】解：.在△ABC中，∠A=40°，∠BCA=105°， .∠B=180°-∠A-∠BCA=180°-40°-105°=35°， 22/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE‖AB, .∠ECD=∠B=35°. 8. 【答案】2 【详解】解：，△ABC的面积为16，点D是BC的中点， 5=54n5=-8 ,点E是AD的中点， =SAACD=4. :.SA ABC=S△DEc=2S 点F是CE的中点， :SA=5m56E=2 即△些乙（阴影部分）的面积为2， 9. 【答案】120°/120度 【详解】解：设∠A=∠B=X,根据三角形内角和定理可得∠C=180°-2X, ∠A=∠B, ∴∠A与∠B的差为不可能为90° 当∠C-∠A=90°时， 代入得180°-2x-x=90 解得X=30°， .∠C=180°-2×30°=120°，符合三角形内角定义， 当∠A-∠C=90°时， 代入得x-(180°-2x=90, 解得x=90°， ∴.∠C=180°-2×90°=0°，不符合三角形内角的定义，舍去， 综上所述，∠C的度数为120°. 10. 180° 【答案】 22.5° 【详解】解：：ab, 23/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAB+∠ABF=180°， ,AC1,BC1分别平分∠EAB,∠FBA, 1 1 ∠BACI=∠EACI2∠EAB,∠ABC1F∠FBC1F ∠FBA, 六∠aAC+∠ABC,-∠EAB+∠ABF=90e .∠C1=180°-∠BAC1+∠ABC1=90°， AC2,BC2分别平分∠EAC1,∠FBC1, ∴设∠EAC2=∠C1AC2=X,∠FBC2=∠C1BC2=y, ∴∠EAC1=BAC1=2x,∠FBC1=∠ABC1=2y, .∠BAC2=2x+x=3x,∠ABC2=2y+y=3y, :∠BAC1+∠ABC1=2x+2y=90°， ∴，x+y=45°， ∠C2=180°-∠BAC2+∠ABC2=180°-3x+y=45° 即4C<C-45-180° 22, 同理<C号<C,-10 23 =22.5°」 2G克46=1,250=180° 24, … <Cn÷180 2n 11. 【答案】(1)证明：如图，延长EF交BC于点H, E 1 3 4001 B H C 因为∠1+∠2=180°（已知），∠1=∠4（对顶角相等）， 所以∠2+∠4=180°（等量代换）， 24127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AB‖EF(同旁内角互补，两直线平行)， 所以上3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)， 又因为∠3=∠B(已知)， 所以∠B=∠ADE(等量代换)， 所以DE‖BC(同位角相等，两直线平行)： (2)解：因为DEBC(已知)， 所以∠ADE=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）. 因为∠AED=55°， 所以∠A=180°-45°-55°=80° 12. 【答案】(1)证明：.BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠ABE. 又.'∠ABC=2∠E, ∴.∠ABE=∠E, .AB‖EF (2)∠E+∠F=90°， 理由：：∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°， ∴.∠ADF=∠BCF ∴.AD‖BC ∴.∠BAD+∠ABC=180° .BE平分∠ABC,AF平分∠BAD :∠ABE=号∠ABC,∠BAF=号∠BAD ∠AB5+∠BMFr=<ABC+分<BMD-kABc+∠BM0Fx10=90 2 ∴.∠EOF=∠AOB=180°-90°=90° ∴.∠E+∠F=180°-∠EOF=90° 13. 【详解】(1)解：如图， 25/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM‖CN, ∴.∠C=∠AOB, .AB⊥BC, ∴.∠A+∠AOB=90°， ∴.∠A+∠C=90°： (2)解：如图， D A -M B--------G 过点B作BG‖DM, .'BD⊥AM, ∴.DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°， 又.AB⊥BC, ∴.∠ABG+∠CBG=90°， ∴.∠ABD=∠CBG, .AM‖CN,BG‖DM, ∴BGCN, ∴.∠C=∠CBG, .∴∠ABD=∠C: (3)解：BE‖CF,理由如下， 如图， 26/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D EA FM ----G 过点B作BG‖DM, ,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, ∴.∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE, 由(2)可得∠ABD=∠CBG, ∴.∠ABF=∠GBF, 设∠DBE=a,∠ABF=B, 则∠ABE=a,∠ABD=2a=∠CBG,∠GBF=B=∠ABF, ∴.∠ABG=B+B=2B, .AB⊥BC可得2B+2a=90°， .a+B=45°， ∴∠EBF=c+B=45°， :∠BFC=45°， ∴.∠EBF=∠BFC=45, BE‖CF. 27/27 专题01 三角形有关线段和角的综合 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形的三边关系 1．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 4．已知三角形三边长分别为2，x，5，则奇数_________． 5．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． ◆题型2·根据三角形中线求长度 6．如图，若是的中线，，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（   ） A．20 B．24 C．26 D．2 8．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 9．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． ◆题型 3·三角形中线与面积问题 10．如图，的面积为6，为中边上的中线，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图所示， 在中， D、E、F分别为的中点， 且（阴影部分），则的面积等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 13．如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 14．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，若的面积为32，则阴影部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 ◆题型 4·根据三角形的三边关系化简 15．已知三角形三边为，则___________． 16．若，，是的三边，试化简______． 17．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果是________ 18．为三角形三边长，化简的结果是___． ◆题型 5·与三角形的高有关的计算问题 19．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 20．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 21．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 22．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． ◆题型6·与平行线有关的三角形内角和问题 23．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 24．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 25．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 26．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 27．如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 28．如图，已知，．    (1)与哪个角相等？为什么？ (2)试判断与有怎样的位置关系，请说明理由． (3)若，，求的度数． ◆题型 7·与角平分线有关的三角形内角和问题 29．如图，中，，于，平分交于，．      (1)求证： ； (2)若，求的度数． 30．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 31．如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 32．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 33．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． ◆题型 8·三角形折叠中的角度问题 34．如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 36．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 37．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图所示，将沿翻折，点落到了点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（   ）度． A．95 B．100 C．105 D．120 ◆题型 9·三角形内角和定理的应用 40．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 41．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 42．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 43．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．下面给出的四个三角形都有一部分被挡板遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 3．一副三角板如图放置，直线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．如图，是的外角，，若，，则为______． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 9．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．若为“反直角三角形”，且，则的度数为___________． 10．如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 11．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 13．已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形有关线段和角的综合 常考题型·精准突破 题型1 三角形的三边关系 题型2 根据三角形中线求长度 题型3 三角形中线与面积问题 题型4 根据三角形的三边关系化简 题型5 与三角形的高有关的计算问题 题型6 与平行线有关的三角形内角和问题 题型7 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型8 三角形折叠中的角度问题 题型9 三角形内角和定理的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形的三边关系 1．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 2．由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：，， ，解得， 观察选项，只有在此范围内． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 4．已知三角形三边长分别为2，x，5，则奇数_________． 【答案】5 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再找出范围内的奇数即可得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 5．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． ◆题型2·根据三角形中线求长度 6．如图，若是的中线，，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形中线的定义，掌握三角形的顶点与对边中点的之间的线段叫做三角形的中线，是解题的关键． 根据中线的定义，即可求解． 【详解】解：是的中线，， ， 故选：D． 7．如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（   ） A．20 B．24 C．26 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，根据三角形中线的定义可得，由的周长为30，，求出，进而得出的周长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：B． 8．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 9．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． ◆题型 3·三角形中线与面积问题 10．如图，的面积为6，为中边上的中线，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线等分三角形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵的面积为6，为中边上的中线， ∴， 故选：C． 11．如图所示， 在中， D、E、F分别为的中点， 且（阴影部分），则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到即可求解． 【详解】解：∵点为的中点，且（阴影部分）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：B． 12．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点是的中点，，得出，根据点为的中点，得出，根据点D为的中点，得出． 【详解】解：是的中点，， ∴， 点为的中点， ， ∵点D为的中点， ∴． 故选：B． 13．如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质．由三角形中线的性质可得被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，据此解答即可求解． 【详解】解：连接， ∵点分别是线段的中点， ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， ∴阴影部分的面积是， 故选：C． 14．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，若的面积为32，则阴影部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故选：A． ◆题型 4·根据三角形的三边关系化简 15．已知三角形三边为，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的意义，整式的加减等知识﹒先根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，进行整式加减运算即可求解﹒ 【详解】解：∵三角形三边为， ∴， ∴ ﹒ 故答案为：﹒ 16．若，，是的三边，试化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和绝对值化简，整式的加减，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边． 根据三角形的三边关系化简绝对值后再相加即可求解． 【详解】解：∵，，为的三边长， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果是________ 【答案】 【分析】本题考査了三角形三边关系以及绝对值的意义，根据三角形三边关系可得，，，然后根据绝对值的意义化简即可. 【详解】根据三角形三边关系，，， 可得，，， ，，， ， 故答案为：. 18．为三角形三边长，化简的结果是___． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． ◆题型 5·与三角形的高有关的计算问题 19．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解： ，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 20．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 21．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 22．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）如图①，即为所求．（2）；（3）  ，； （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1） 略 （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4） 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． ◆题型6·与平行线有关的三角形内角和问题 23．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明： ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解： 平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 24．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 25．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 26．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线得到，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：，， ， 平分， ． ∵， ． 27．如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得 即可； （2）根据三角形内角和定理得，再根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，即可得结论； （3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，，结合角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， ，分别平分和， ， ， ， ； （2）当时， 又， ， ， ， ，， ， ， ； （3）当点运动时，：：， 理由： ， ，， 平分， ， ：：：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，其中理解题意，熟悉角之间的关系是解决问题的关键． 28．如图，已知，．    (1)与哪个角相等？为什么？ (2)试判断与有怎样的位置关系，请说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴． ∴； (2) ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． (3) 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行，证明，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相等，以及同位角相等，两直线平行，即可证明； （3）两直线平行，同位角相等，以及三角形内角和定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． ◆题型 7·与角平分线有关的三角形内角和问题 29．如图，中，，于，平分交于，．      (1)求证： ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，即可判断与平行； （2）由平分，可得的度数，由可求得的度数，从而可得的度数，再由即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，掌握这些知识是解决本题的关键． 30．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 31．如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合即可得到答案． （2）根据三角形内角和为以及，得到，继续根据三角形内角和为得到，继而得到． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 32．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 33．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型 8·三角形折叠中的角度问题 34．如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在三角形纸片中，，， ∴， 如图： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴． 35．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 36．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 37．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 38．如图所示，将沿翻折，点落到了点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，，再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求的度数． 【详解】由折叠的性质可知，， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 39．如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（   ）度． A．95 B．100 C．105 D．120 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则，据此求出，进而求出，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ◆题型 9·三角形内角和定理的应用 40．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 41．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 42．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点H，点Q，先根据三角形的内角和定理和对顶角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设分别交、于点H，点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 43．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 44．如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 综合攻坚·知能拔高 1．下面给出的四个三角形都有一部分被挡板遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故本选项不合题意； B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故本选项不合题意； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故本选项符合题意； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故本选项不合题意． 2．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵， ∴，即， ∴两点之间的距离可能是． 3．一副三角板如图放置，直线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，内错角相等，得到的度数，再利用平角得到的度数，根据三角形内角和得到的度数，最后利用平角即可得出结果． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 5．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 6．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 综上：正确的为①②③． 7．如图，是的外角，，若，，则为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 9．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．若为“反直角三角形”，且，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】设，根据三角形内角和定理可得，再分两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：设，根据三角形内角和定理可得， ∵， ∴与的差为不可能为 当时， 代入得 解得， ∴，符合三角形内角定义， 当时， 代入得， 解得， ∴，不符合三角形内角的定义，舍去， 综上所述，∠C的度数为． 10．如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 【答案】 【分析】根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ∴， ∵分别平分， ∴设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即， 同理， ， ∴． 11．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 12．如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ， ． (2)， 理由：，， ． ． ． 平分，平分， ，． ． ． ． 【分析】（1）根据角平分线以及平行线的判定方法证明即可； （2）先证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质即可证得； （3）利用（2）的结论，结合角平分线的定义求得，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ， ， ， ； （2）解：如图， 过点作， ， ，即， 又， ∴， ， ∵，， ∴， ， ； （3）解：，理由如下， 如图， 过点B作， 平分，平分， ，， 由（2）可得， ， 设，， 则，，， ∴， ∵可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $