空间向量的应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量工具为核心，构建从基础表示到复杂应用的完整方法体系，实现位置关系、距离与夹角问题的系统化求解。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|4知识点+2题型(例1-5)|方向向量/法向量定义及求法，平行垂直向量判定法则|从点线面向量表示（概念生成）到法向量性质（原理推导），再到平行垂直应用（拓展）| |距离与夹角|2知识点+10题型(例6-25)|距离公式（点线/点面/异面线），空间角向量计算法|由距离公式推导（原理）到空间角求解（应用），结合探索性问题提升迁移能力|

空间向量的应用 一、用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点 1 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4.空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点 2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点 3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点 4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则， 使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 题型一 空间中直线的方向向量 例1（1）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ （2）（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 （3）（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 （4）（25-26高二上·青海海东·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 例2（1）（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 题型二 平面的法向量 例3（1）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 例4（1）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26·湖北·高二校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 例5（1）（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． （2）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． （3）（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： （1）平面的一个法向量 （2）直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 题型三 利用空间向量解决平行、垂直及其探索性问题 例6（1）（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 （2）（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． （5）（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 例6（1）（25-26高二上·河北保定·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． （1）证明：； （2）证明：平面平面 （2）（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． （3）（2026北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面； （4）（25-26高二上·四川南充·月考）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． （5）（24-25高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 二、用空间向量研究距离、夹角问题 知识点1：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 3、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点2：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则. 题型四：求点到直线的距离 例7（1）（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. （2）（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. （3）（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例8（1）（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． （3）（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. （4）（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 题型五：求异面直线的距离 例9（1）（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 例10（1）（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.   （2）（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 （3）（多选题）（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 （4）（多选题）（25-26高二上·安徽·期中）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 题型六：求点到面的距离的距离 例11（1）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2）（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． （5）（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 例12（1）（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． （2）（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． （3）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. （4）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. （5）（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 题型七：距离的综合问题 例13（1）（多选题）（25-26高二下·江苏南通·期中）棱长为1的正方体中，，， 分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（   ） A．直线与底面所成角的正切值为 B．异面直线与的距离为 C．若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D．若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 （2）（多选题）（2026·陕西榆林·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点轨迹所形成区域的面积是 （3）（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． （1）证明：、、、四点共面； （2）若，求点到平面的距离． （4）（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． （5）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. （6）（2026·湖南株洲·三模）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． （7）（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． （8）（25-26高二上·安徽安庆·期中）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 例14（1）（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为等腰梯形（如图1），，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至位置（如图2），且．        （1）证明：平面平面BCDE； （2）求点B到平面PDC的距离； （3）设M为棱PC上的动点，当EM与平面PDC所成角最大时，求平面BCDE与平面EBM夹角的正切值． （2）（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． （3）（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． （1）证明：平面； （2）已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （4）（25-26高二下·江苏连云港·期中）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由. （5）（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． （1）证明：平面； （2）点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． （6）（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． （7）（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 题型八：求异面直线所成角 例15（1）（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． （2）（安庆一中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·期中）如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（    ） A． B．和所成角为 C．点到直线的距离为 D．若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 （5）（25-26高二上·广东深圳·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． （6）（多选题）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 题型九：求直线与平面所成角 例16（1）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． （2）（25-26高二上·安徽安庆·期中）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 例17（1）（2026·河北·模拟预测）在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （2）（2026·北京大兴·三模）如图，在四边形中，，，，是中点，连接，将沿折起使点至点处，得四棱锥，且，点为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. （4）（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． （5）（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． （1）若是的中点，证明：平面． （2）若，，求直线与平面所成角的大小． （6）（2026·安徽安庆·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）若，，，，是线段上一点且，线段与过、、、四点的球面是否有公共点?若有公共点，求直线与平面所成角的正弦值. 例18（1）（2026·江西九江·模拟预测）如图，在直角梯形中， ．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． （1）证明：平面平面； （2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． （2）（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． （3）（2026·河北张家口·三模）在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． （4）（2026·安徽池州·二模）如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． （1）证明：平面平面ACD； （2）点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． （5）（25-26高一下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，上的点满足，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）点在上，若二面角的正切值为． （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． （6）（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 题型十：求二面角 例19（1）（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 例20（1）（2026·陕西·三模）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． （2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. （3）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在直三棱柱 中，已知，，  ，分别是线段，上的动点(不含端点)，． （1）求证： （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面与平面 的夹角的余弦值． （4）（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. （5）（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D． （1）证明：； （2）若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． （6）（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    （1）证明：平面； （2）若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． （7）（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值． （8）（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 例21（1）（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. （2）（2026·浙江·二模）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形．    （1）设为与的交点，在棱上，且． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）设是棱（不含端点）上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度． （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． （1）证明：平面； （2）点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． （4）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. （5）（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （6）（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    （1）已知，分别为，的中点，求证：平面； （2）若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. （7）（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. （8）（25-26高二下·江西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. （9）（25-26高二下·福建莆田·期末）如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 题型十一：空间角中的最值（范围）问题 例22（1）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. （1）若点为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. （4）（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? （5）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． （6）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 例23（1）（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. （1）求证：直线与直线为异面直线； （2）求直线与平面所成角的最大值. （2）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面．    （1）求证：底面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，求平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值． （3）（25-26高二上·安庆一中·期中）在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的半径； （3）求二面角的余弦值的最小值. （4）（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． （5）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. （6）（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． （7）（26-27高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 题型十二：空间角中的探索性问题 例24（1）（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． （2）（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． （1）证明：； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． （3）（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    （1）试用表示． （2）若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； （3）当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． （4）（25-26高二上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．    （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． （5）（25-26高二上·重庆黔江·期中）如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，.    （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． （6）（2026·浙江·三模）如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． （1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； （2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； （3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 例25（1）（25-26高一下·湖南长沙·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （2）（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． （3）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． （4）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. （5）（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （6）（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点． （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （7）（25-26高二上·江西九江·阶段检测）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. （3）问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 1.（25-26高二上·辽宁·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（     ）．    A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量的应用 一、用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点 1 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4.空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点 2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点 3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点 4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则， 使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 题型一 空间中直线的方向向量 例1（1）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【详解】因为，在直线上，所以可以是直线的一个方向向量. （2）（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【详解】由，则，故.故选：B （3）（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【详解】依题意，向量共线，则，所以.故选：B （4）（25-26高二上·青海海东·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线，所以，解得，，所以，故选：A. 例2（1）（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】因为， 所以，由已知，，所以，即，解得，所以.故选：D. （2）（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为.故选：D. （3）（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意有：平面的法向量为，平面的法向量为， 设直线的方向向量为，所以，令，得，而ACD中的向量与该向量均不共线，故选：B （4）（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，，则，所以点的坐标满足的关系式是.故选：C. 题型二 平面的法向量 例3（1）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，，设平面ABC的法向量为，则，令，则，则是平面ABC的一个法向量.故选：D （2）（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，所以，， 设平面ABC的法向量，则，令，则，因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例，故平面ABC的一个法向量是.故选：B （3）（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【详解】设点为平面内任意一点，有，所以，可得.选项A：，故在平面内； 选项B：，故在平面内；选项C：，故不在平面内；选项D：，故在平面内；故选：C （4）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：14. 例4（1）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，，是中点，则，因此， 对于A选项，，不是法向量，A错；对于B选项，，是法向量，B正确；对于C选项，，不是法向量，C错；对于D选项，，不是法向量，D错；故选：B． （2）（25-26·湖北·高二校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于选项A，，所以，根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则，在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；对于选项C，，则，在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则，在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 故选：A （3）（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，，所以， ，，对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，, ，与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确；故选：D. （4）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得，设是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由平面，可得，解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证，所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面，从而平面，所以.故选：C. （5）（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 【详解】对于A，假设平面，由，平面，平面，得平面，又平面，则平面平面，而平面与平面相交于点，即假设不成立，因此不平行平面，A不正确；对于B，由，，得，，又平面，则平面，B正确； 对于C，将沿折起，使到，且平面平面，取的中点，连接，由，得，平面，又平面平面，因此平面， 在平面内过作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正的边长为2，则，于是，C正确； 对于D，过点作平面，由选项C知，设，由，得，则，即，，，由， 得，即，解得，点，则，设平面的法向量，则，取，得，D正确．故选：BCD 例5（1）（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 【详解】因为，，，所以，设平面的一个法向量为，则，故可取，因为平面，所以，因为，所以，所以，故点的坐标满足即可，可取，故答案为：(答案不唯一). （2）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为，则，则，设平面的法向量为，，令，则，所以平面的一个法向量为.故答案为：（不唯一）. （3）（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： （1）平面的一个法向量 （2）直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为.设平面的法向量为.因为， 由，得，令，则.所以平面的一个法向量为. 题型三 利用空间向量解决平行、垂直及其探索性问题 例6（1）（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【详解】因为，所以，则，解得. （2）（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，直线与平面平行或直线在平面内，因此，“”不能推出“直线与平面平行”，所以充分性不成立.如果直线与平面平行，那么直线的方向向量与平面的一个法向量一定垂直，所以“直线与平面平行”可以推出“”，因此必要性成立.综上，“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：B （3）（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，又，即，解得：，所以，故选：C. （4）（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以，因为，， ，.所以平面的法向量的坐标可以是. （5）（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设，因，，则得.对于A，因，由可得不成立，故A错误；对于B, 因，由，可得不成立，故B错误；对于C，因，由，可得，故C正确；对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 例6（1）（25-26高二上·河北保定·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． （1）证明：； （2）证明：平面平面 【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为平面底面，为等边三角形， 所以底面．以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，．所以，，，．所以，．因为，所以，所以． （2）取的中点，连接，则．因为，， 所以，所以，即．因为，所以，即．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面． （2）（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【详解】（1）在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. （2）直线与平面相交．在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得，由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，而，且，则，由，得与不垂直，即向量不平行于平面，因此平面，且与平面不平行，所以直线与平面相交. （3）（2026北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面； 【解析】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为，所以，所以，即，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以，所以平面平面. （4）（25-26高二上·四川南充·月考）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【解析】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直，以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，显然，即，而平面，所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，由平面，得，即存在实数，满足：，即，解得，因此，即Q是的中点，所以线段上存在点，使平面，. （5）（24-25高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取中点，连接，如图，   又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，，，又，平面，平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故，故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ，则，，，若存在使得平面平面，且，，则，解得，，则，，设为平面的一个法向量，则，令，即， 设是平面的一个法向量，则，令，则，，可得．存在使得平面平面，此时 二、用空间向量研究距离、夹角问题 知识点1：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 3、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点2：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则. 题型四：求点到直线的距离 例7（1）（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【详解】已知，，，则，，， 所以点到直线的距离为：. （2）（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 （3）（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，平面，，因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，，直线​的方向向量， ，点到直线的距离. （4）（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，因为平面，且满足，故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系：故， 则，则在上的投影为，又，故点到直线的距离. 例8（1）（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，   由，得，由点E在棱BC上，且，得，的重心，则，，，，所以点G到直线AE的距离.故选：A （2）（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，则，所以，则点到直线的距离是.故答案为：. （3）（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【详解】如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得，则，，设，，则， 过点作，垂足为，则，则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为，故答案为：. （4）（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：   因为，所以，，，， 所以，，.设，则，故点到直线的距离.当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是.故答案为： 题型五：求异面直线的距离 例9（1）（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于．因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，．设异面直线与的公垂线方向向量为，则有，即，取．又因为，所以异面直线与的距离．所以异面直线与的距离是．故选：C. （2）（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，，则 ， 因为，所以即 所以，所以，所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是故选：B. （3）（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】点在上，点在上，则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则， 设为直线和的法向量，又因为，，，则，令，则，所以异面直线和的距离为，即的长度最小值为.故选：C. （4）（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面，又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则，故，点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离，设同时垂直于，则，取，则，故，所以的最小值为.故答案为： 例10（1）（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，，则，.设，则，所以.因为，所以，所以，则，故.因为，所以，即的最小值是.故答案为： （2）（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，.因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确；对于B，，.设，且，则，所以.令，则.则满足条件的一个向量.所以异面直线与间的距离为，所以B不正确；对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确；对于D，，，设平面的法向量为，则，所以，即，令，则，所以平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离，所以D正确.故选：AD. （3）（多选题）（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【详解】对于A选项，在正方体中，即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形，因此，故A正确.对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影，那么直线与平面所成角为，在中，，则，故B错误.对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.   则，那么 根据点到直线的距离公式：又，， 代入可得.故C正确.对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取，根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确故选：ACD. （4）（多选题）（25-26高二上·安徽·期中）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部．以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ，，，，则，故平面，则存在与平面的交点使得平面，故A正确；对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为，则，即，解得，显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离，则，即. 方法二：，， ，，由于，则四边形为平行四边形，则，又因为平面，平面，所以平面同理可得平面，又因为平面，，所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量，设直线与平面所成角为， 则，由于在三角形边界及其内部，则，令，， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得，当时，，则当时， 当时，，则当时，，则 ，故B错误；对C，由题意可知，，设，使得，，令，解得，设异面直线与的距离为，则，故C正确；对D，，当时，，，此时，即平面，则 ，则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心，如图2，正三角形边长为，取中点，可得，则，则，则点的轨迹长度为，故D选项正确.   故选：ACD. 题型六：求点到面的距离的距离 例11（1）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】设平面的法向量为，则，则，则点到平面的距离为，又，，则点到直线的距离为，则，故三棱锥的体积为. （2）（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，则，又平面的法向量为，则点到平面的距离为. （3）（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】设为平面的一个法向量，，则，即，故可取，则，因，则点到平面的距离． （4）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，取棱的中点F，连接，则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直，则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为是边长为的等边三角形，所以，所以．因为，所以，所以，所以．设平面的法向量为，则令，得，故点P到平面的距离是．故选：B （5）（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正方体的棱长为，由题意可得，解得，以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设，因为，所以，所以，设点到直线的距离为，，，则，设平面的法向量为，则，取，则，所以平面的法向量为，设三棱锥的高为，则，因为，所以四面体的体积为. 例12（1）（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【详解】由取的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：由，则，可得：，又因为为的中点，所以，即，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故选：A. （2）（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【详解】在直三棱柱中，，如图建立空间直角坐标系，   则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则， 取，可得；由，得，所以，又平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.故选：A （3）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【详解】由已知得，，，设向量与向量都垂直，则，即取，则，又平面平面，所以平面与平面间的距离.故答案为： （4）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【详解】由正方体结构性质可知且，且，所以四边形和四边形均为平行四边形，所以，又在平面外，平面，所以平面，平面，又，平面， 所以平面平面，所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系，则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则，所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为.故答案为：2 （5）（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为，，，，中边上的高为，则，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得，因此点到平面的距离，所以点到平面的距离的最大值为． 题型七：距离的综合问题 例13（1）（多选题）（25-26高二下·江苏南通·期中）棱长为1的正方体中，，， 分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（   ） A．直线与底面所成角的正切值为 B．异面直线与的距离为 C．若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D．若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系. 则， ，又平面的一个法向量显然为，设与平面夹角为，则，所以，故A正确；B选项，因为，，设异面直线公垂向量，又因为，所以，令，则，设异面直线与的距离为，B选项错误； C选项，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，同理可得，，因为平面，所以平面，设平面，因为平面，所以，因为直线与所成角为，所以， 则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确；D选项，连接，因为平面，所以三棱锥的高为，则，同理可得，，因为，且，所以，所以， ，因为，所以，所以， 因为，所以十面体的体积为，故D正确. （2）（多选题）（2026·陕西榆林·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点轨迹所形成区域的面积是 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则.对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，因为，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以.又，所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则，故C正确；对于D，如图，取的中点分别为点，点，连接，则.因为平面平面，   所以平面平面.又平面， 所以平面平面，故点的轨迹为.因为，所以，故D错误. （3）（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． （1）证明：、、、四点共面； （2）若，求点到平面的距离． 【详解】（1）因为为非零向量且不共线，所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，，所以， 同理可得，因为为的中点，所以， 因为,所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为. （4）（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】(1)在平面内作交于点，连接，由，，得，所以，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，又因为平面，所以，在直角中，由，，则，即，在中，由，，，所以，故，又，且，、平面，故平面，因为平面，所以； （2）由（1）知平面，，故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、，得到，，，则，设为平面的一个法向量， 则，取，解得，得，因为，设点到平面的距离为,由点到平面的距离公式得. （5）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)连接，并分别取中点，，连接.四棱台， 又 ，四边形为菱形 ，平面， 所以平面，又面，所以.又，平面，所以平面. （2）由（1） 四边形 为平行四边形，所以，又平面，所以平面.又 ，以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，， 则有.设平面的一个法向量为，所以，令，可得，又平面的一个法向量为，由已知可得，所以，得，所以，又，所以点到平面的距离为. （6）（2026·湖南株洲·三模）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． （1）若是的中点，求证：平面平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则，设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以，设平面的一个法向量为，由，则，令，则，所以， 因为，所以，所以平面平面. （2）设，则，设此时平面的一个法向量为，则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面与平面所成夹角为，且即，即，解得：或（舍去），所以平面的一个法向量为，又点，则，所以点到平面的距离：. （7）（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【详解】（1）在正三棱柱中，因为是正三角形，是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以．因为，，平面， 所以平面．因为平面，所以． （2）（2）方法一：在正中，因为，所以，．连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角，所以，所以． 在正三棱柱中，，，所以，．在中，由余弦定理，得，所以， 所以的面积．设点到平面的距离是，则，解得，所以点到平面的距离是． 方法二：设，过作交于点，由（1）平面，平面，所以．又因为，所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．,,,设，因为平面， 所以是平面的一个法向量．因为，所以，所以．因为，，设平面的法向量，因为，令，则，，所以是平面的一个法向量．因为，所以，所以点到平面的距离是． （8）（25-26高二上·安徽安庆·期中）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 【答案】(1)证明：取的中点，连结，，因为，所以，在中，，所以，在中，，在中， ，，，所以，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面. （2）连结，，， ，所以，且，由（1）可知平面，又因为平面，所以，，所以两两垂直，如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，  则， ，设平面的法向量为，则，    取，得，则，所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知，即，所以，即，所以，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，即，解得，故，而，可知点不在内. 例14（1）（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为等腰梯形（如图1），，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至位置（如图2），且．        （1）证明：平面平面BCDE； （2）求点B到平面PDC的距离； （3）设M为棱PC上的动点，当EM与平面PDC所成角最大时，求平面BCDE与平面EBM夹角的正切值． 【答案】(1)证明：由，，，可知四边形BEDC为菱形， 因此，为等边三角形，，翻折后，，取DE中点O，连接PO，因为等边三角形，故，且，在中，，∴，故．因，平面BCDE，故平面BCDE，又平面PDE， 故平面平面BCDE． （2）以O为原点，分别以OE，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，， 设平面PDC的法向量为，则，令，得，，故， ∴点B到平面PDC的距离为．   （3）设，则M的坐标为，所以，设直线EM与平面PDC所成角为，则，当时，直线EM与平面PDC所成角最大，此时M的坐标为，，，设平面EBM的法向量为，则，令，得，，故，平面BCDE的法向量可取，∴平面EBM与平面BCDE夹角的余弦值为． ∴，∴．即平面BCDE与平面EBM夹角的正切值为． （2）（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【详解】（1）记的中点为，连接，因为，，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以平行四边形是矩形，则，因为平面，平面，所以，即两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，因为为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，而，则，令，则，所以，则，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为，而，，所以，令，则，设平面的一个法向量为， 而，所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，所以，解得（负值舍去），所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为． （3）（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． （1）证明：平面； （2）已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有，因为，面， 面面，面面，所以面，又因为面，所以，因为四边形是矩形，所以，所以，因为，， ，面，面，所以面. （2）因为面，面，所以，又因为，所以是二面角的平面角，即，所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有即有令，则，， 所以，又，所以点到平面的距离.即，又因为，所以可解得，因此； ②设，则，即有，且，设面的法向量为，则有即有令，则，， 即，由已知是面的一个法向量，所以，解得． （4）（25-26高二下·江苏连云港·期中）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离； （3）二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.因为平面，而不在平面内，所以平面. （2）在平面内过点作，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系．又， 所以,所以，设平面的法向量，得,又，则点到平面的距离为. （3）以（2）中为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，， 设平面的法向量，，得, 设平面的法向量，则，得.又，得，因此二面角的余弦值 .设，则.所以，得，当时取到， 因此存在最小值，最小值为. （5）（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． （1）证明：平面； （2）点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则，又，平面，则平面，平面，故，由，为中点，得，而平面，所以平面. （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，，设平面的法向量为，则，取，得，记直线与平面所成角为，则，当时，；当时，，当且仅当时取等号，此时最大，平面的法向量为，，所以点到平面的距离. （6）（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 【详解】（1）连接，因为，所以四边形为矩形，所以，因为平面，所以平面．又平面，所以，所以，又，，所以，因为，所以，所以， 因为平面，所以平面． （2）过点作于点，由（1）知平面．因为平面，所以， 因为平面，所以平面，所以两两垂直，过点作交于点，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，所以，则， 所以，则． 所以． （i）设，则，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则．所以． 又，设直线与平面所成角为，则，整理得，解得或，所以或． （ii）设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以．因为，所以点到平面的距离为． 由（i）得或，当时，，此时点到平面的距离为；当时，，此时点到平面的距离为．综上，点到平面的距离为或． （7）（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【详解】（1）取的中点，连接、.由为中点，得且；由为中点，得且，故且，所以四边形为平行四边形，因此.又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形，因为，所以，高，，，，，， ，，，，设平面的法向量为，则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()，则，则，向量.设直线与平面所成角为，则, ，当时，取得最小值，此时取得最大值为：. 题型八：求异面直线所成角 例15（1）（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）（安庆一中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：  设，则，，，，可得，设直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：A． （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 设异面直线与所成角为，可得，而，则，由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去），则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确.故选：C （4）（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·期中）如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（    ） A． B．和所成角为 C．点到直线的距离为 D．若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 【详解】取中点，连接，因为，为中点，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面所以平面.以为原点，分别以过与垂直、平行的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，对于A：，，所以，A正确；对于B：，设和所成角为，则，又，所以，B错误；对于C：，则点到直线的距离 ，C正确；对于D：设，则，所以，，设平面的法向量为，则， 即，令，则，所以是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，解得，即，D正确.故选：ACD. （5）（25-26高二上·广东深圳·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则则又异面直线所成角的范围为 故异面直线与所成角的余弦值为故选：A （6）（多选题）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以,以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得,选项A:,,设平面的法向量,则,,列方程可得,代入向量得,令,则,所以,计算,所以直线不垂直平面,选项A错误；选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为,所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确；选项D:,,设平面的法向量,则,,列方程可得,代入向量得,可知,令,则,所,由前面可知平面的法向量，计算,所以平面不垂直平面，选项D错误. 题型九：求直线与平面所成角 例16（1）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:   则，，，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设直线和平面所成角为，可得. （2）（25-26高二上·安徽安庆·期中）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则，又平面，则平面，又平面，则.于是有，，即(*).因由对称性知，，代入（*）得，,故.故选：A. 解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则令，则，所以，所以.设直线与平面所成角为，所以， （3）（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系. 则，，，斜边的中点为的外心.由在底面的射影为，设，则.侧棱长， 故解得，取.于是.平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则     ,故选A. （4）（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标:，因点在线段上，设，其中，，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即，又，，则，由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大，当时，，此时取得最大值，代入得：. 例17（1）（2026·河北·模拟预测）在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，，为的中点，故，所以，又是中点，所以，在中，，，故，， 因此，，由可得，在中由余弦定理得：，在中： ，所以，又，平面，所以平面， （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则.直线与平面所成角的正弦值为． （2）（2026·北京大兴·三模）如图，在四边形中，，，，是中点，连接，将沿折起使点至点处，得四棱锥，且，点为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接交于，连接，因为，由题意是中点，又， 所以，则四边形为平行四边形，故点为中点，又点为中点． 所以，又平面，不在平面内，所以平面； （2）由（1）可知四边形为梯形中，且，，，故四边形是正方形，所以，，将沿折起使A点至P点处，有，， 因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为，O是中点，所以，又平面，平面平面，所以平面．以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴，建立如图所示的空间坐标系． 因为，可得，则，，，，，，．则，，设平面的法向量为，则，取，得，则．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为. （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)取的中点，连接与交于点，在底面矩形中，可得，，即，则， 可得，所以，因为平面， ，则平面，且，所以，因为，平面可得平面，且平面，所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，可得，，，设平面的法向量为，则，取，则，设，其中，则，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，整理可得，解得或（舍去），故. （4）（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)在三棱柱中，，， ，则.又四边形是正方形，则，，所以.又，平面，因此平面.又平面，所以.在等边中，为中点，则，又，平面，所以平面. （2）取中点为，中点为，则，.由（1）知，平面，平面，则.又，故，，平面，则平面，即两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为线段中点，所以.，，.设平面的法向量为，则，即，故可取.设直线与平面所成角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为. （5）（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． （1）若是的中点，证明：平面． （2）若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)连接交于，在三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面； （2）因为平面，平面，平面，所以，， 所以二面角的平面角，，，，在平面内作， 因为平面，平面，所以，即两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，，设， ，由，得， 所以，解得，即，，，， 设平面的法向量，所以，即，令，得，设直线与平面所成角为，所以，因为，所以，所以直线与平面所成角的大小为． （6）（2026·安徽安庆·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）若，，，，是线段上一点且，线段与过、、、四点的球面是否有公共点?若有公共点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)平面内取一点P，作于点E，作于点.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以.同理，，平面，所以平面. （2）假设线段上与过、、、四点的球面有公共点，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.则，即,,，，所以，设，则，所以，所以，所以.设球心，半径，因为,.所以球心一定在线段的中垂面上.所以，，则球心. 由得，解得.则球心，半径，设，则，所以，解得或（舍），所以，所以存在点N满足题意.，平面法向量，设与平面所成角为，则. 例18（1）（2026·江西九江·模拟预测）如图，在直角梯形中， ．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． （1）证明：平面平面； （2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，因为，，，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （2）因为，且，所以四边形是正方形，所以， 过作平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，又因为，所以， 所以，设平面的一个法向量为， ，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，所以. （2）（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以，由题意知面面，且面面，又面，所以平面，取边的中点记为，则．以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，易知，所以； （2）由（1）可知，所以，，，记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即，记直线与平面所成角为，则，考虑到，有，从而，所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中．， ，，记平面的一个法向量为， 则有，不妨取，解得，即，则点到平面的距离，整理得：，即， 解得或（舍去），所以当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． （3）（2026·河北张家口·三模）在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【详解】（1）在菱形ABCD中，，O为BD中点，由题可知，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面. （2）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，二面角的大小为120°，即因为，，所以，，则，，，， 所以，，设，则， 所以.设平面PCD的法向量为，则，取，得，，则.设直线与平面所成角为， 则，整理得，解得或，当时，，则；当时，，则.综上，或. （4）（2026·安徽池州·二模）如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． （1）证明：平面平面ACD； （2）点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取 的中点，由题意知，，所以 ，， 三点共线， 由得；由得 ，又，故，所以，又，且， ，平面，所以 平面，又平面 ，所以平面平面； （2）解法一：（几何法）（ⅰ）由（1）知平面，平面，所以，又，平面平面，所以是二面角的平面角，所以 ， 由 得，所以，即，即，由得，所以； （ⅱ）过作交 于，则 平面，由（ⅰ）知， 所以，由（ⅰ）知，所以，记 到平面 的距离为，所以，所以，即，记 与平面 所成角为，则，所以 与平面 所成角的正弦值为． 解法二：（建系法）（ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，， 由得，设平面 的法向量为，由得，故，取，可得，所以， 设平面的法向量为，记二面角的大小为，则，化简得，解得或（舍）， （ⅱ）由（ⅰ）知，取平面 的法向量为，又，记 与平面 所成角为， 则，所以 与平面 所成角的正弦值为． （5）（25-26高一下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，上的点满足，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）点在上，若二面角的正切值为． （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，交于点，连结． 由，且，则四边形是菱形， 则，且点是的中点，所以，，又，则为等边三角形，所以，所以，又，则，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面． （2）（i）由（1）可知，，，两两垂直，则以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，则，，， 在中，由余弦定理有，即， 则，所以，结合（1）有，，则，，，，所以，，， 设，（），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，即，显然，是平面的一条法向量，设二面角的平面角为， 又二面角的正切值为，则，则，所以，整理得，解得，或（舍去），即． （ii）结合（i）可知，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，即， 设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为． （6）（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【详解】（1）设，连接．因为四边形为菱形，所以 为的中点．在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故，又因为平面，平面，所以 平面； （2）以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴，过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，.在平面内过作，交的延长线于，连接.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.因为，所以，因为，，所以，所以，，即，所以.在中，，所以，， 则，因为为中点，所以，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，则.设点D到平面的距离为，则． 由（1）知平面，所以到平面的距离即为点D到平面的距离，所以到平面的距离为； （3）在（2）所建的坐标系中，设，则，因为，所以． 由，可得，解得，故.在正中，外接圆圆心为，外接圆半径．设三棱锥外接球的半径为，球心为．由球的性质可得，解得，则，所以，因为点在外接球上，则，所以，即，即．解得，所以，所以，.设平面的法向量为．则，即. 令，则，即．设直线和平面所成角为，则因为，所以．所以直线和平面所成角的余弦值为． 题型十：求二面角 例19（1）（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【详解】连接，设交于点，则平面，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面边长为，则，显然是平面的一个法向量，因为平面，所以是平面的一个法向量，设二面角为，则由图可知，为钝角，所以. （2）（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】取AB的中点O，连接OC，OG，设，，以为原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，则 , 设平面的法向量为 ，则，令，则；平面的法向量为，由图可知二面角为的平面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为 .故选：C （3）（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，所以平面，是底面圆的直径，，因为点在底面圆上，所以，因为，所以， 以点为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，所以平面的一个法向量为， 设二面角为，由图可知，则，所以，. （4）（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示：平面，平面，，由，，，平面，平面，又平面，所以，即是直角三角形，，在中，，，， ，．． 如图以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，由题意得二面角的平面角为，，， 设平面的法向量为，由，令，得， 又平面的一个法向量为，所以．， 设平面的法向量为，即，令可得， ，所以．综上，． 例20（1）（2026·陕西·三模）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为为中点，且，所以，即，又，，，平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为，所以．又，，所以，所以，则，由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，，由，，，平面，得平面，所以与平面所成角为， 所以，解得，，所以，则，，所以，，．设平面的一个法向量为，由，得，可取，设平面的一个法向量为，由，得，可取设二面角为．，则，所以二面角的正弦值为. （2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)，是.的中点，，又平面，平面  平面，    平面，平面面，，    ，平面面，平面平面，平面， 平面； （2），平面平面以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则点在平面内，，，，，，则，，， 设，则点坐标为，，， ，解得，  则点坐标为，知，，设平面的法向量，即，即，取，可得； 设平面法向量为，则，即，取，可得；    ， 即平面与平面所成角的余弦值为.     （3）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在直三棱柱 中，已知，，  ，分别是线段，上的动点(不含端点)，． （1）求证： （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面与平面 的夹角的余弦值． 【答案】(1)由题意，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设（），则，，，，所以，. 因为，所以，即. （2）因为，而，所以当时，取得最大值，此时取得最大值.此时，，.所以，，，.设平面的法向量为，，令，可得.设平面的法向量为，则，令，可得.设平面与平面 的夹角为，则. （4）（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)平面，平面，，又，，平面，平面，平面，从而，又，D是的中点，则， 由，平面，则平面，由平面，则， 又，，平面，平面； （2）由平面，平面，则，由平面，平面，则， 在中，即，所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得，，，，， 即，，设平面的法向量，由，得，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为. （5）（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D． （1）证明：； （2）若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接交于点E，连接．因为平面平面，平面平面，所以．又因为四边形为平行四边形，所以E为的中点，所以为的中位线，所以D为的中点．又因为为等边三角形，所以． （2）过A作平面垂足为O，连接，设，因为与底面所成角为，所以．在中，因为，所以．因为平面平面，所以．又因为四边形为矩形，所以，因为，所以． 因为平面平面，所以平面．因为平面，所以．又因为，所以O为的中点．以O为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则．因为，所以，因为，则得， 所以．设平面的法向量为， 由，得，故可取．设平面的法向量为， 由得故可取．因， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （6）（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    （1）证明：平面； （2）若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)取的中点为，连接．因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且，又因为分别为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面； （2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为与底面所成角为，即，所以．过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以．又因为平面，平面，所以.又因为平面，，所以平面，平面，所以．因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。又因为四边形是矩形，所以，所以，即．设，则．则，设平面的法向量为， 则，即.因为，即，则，令，则，所以； 设平面的法向量为，则，即，即， 令，则，所以．设平面与平面的夹角为，则，所以，即平面与平面的夹角为． （7）（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形，且为的中点  ，取中点，连接，，因则,且,又因是的中点， 且，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面∴平面. （2）在矩形中，，又∵面平面，平面平面，平面∴平面∵，  ，，平面 ∴平面∵ ∴平面又∵平面   ∴方法一：以为原点建立空间直角坐标系如图所示， ∵， ∴∴，， ，，∴，设平面的法向量为故可取 依题意，可取 为平面的一个法向量，∴设平面与平面夹角为，则∴平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：∵且，平面，平面，∴平面， 又由(1)得,因平面，平面，则平面，又，平面，∴平面平面，∴平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，∵平面，平面，∴，又∵平面平面，，∴平面与平面夹角为，在 中，，∴平面与平面夹角的余弦值为 （8）（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】(1)连结CF，因为，所以，所以四边形为平行四边形，因此；因为 F为BD中点，，所以.因为平面，平面，所以.又因为平面，，所以平面.又因为，所以平面. （2）因为平面，平面，所以，又因为，所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系.所以，设，则.设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以.，因此直线与平面所成角的正弦值为，解得.所以.设平面的一个法向量，，则，令，则，所以.设平面的一个法向量，，则，令，则，所以.平面与平面ADE夹角的余弦值为. 例21（1）（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）因为底面为直角梯形，，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. （2）因为，平面，平面，所以平面， 设平面平面，又平面，所以， 即，由平面，即平面，平面，所以，故或其补角为平面与平面所成角.因为平面平面，所以，即. （3）以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，. 取为中点，由可得，设，设，所以，，，设平面的法向量为，则，可取，由题可取平面的一个法向量为.设平面与平面夹角为，则，化简得，解得或，所以，所以或. （2）（2026·浙江·二模）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形．    （1）设为与的交点，在棱上，且． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）设是棱（不含端点）上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度． 【答案】(1)（ⅰ）证明如下：，，， ，，，  平面，平面，平面． （ⅱ）取的中点，连接，则，   因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，； （2）取的中点，因为平面，所以，所以，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，．所以，，设平面的法向量为． 由，得，取，即．设，， 则，同理：平面的法向量，设平面与平面的所成角为，则，解得，所以．故线段的长度为． （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接． （1）证明：平面； （2）点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：取AB中点M，连接NM，CM．   则，即四边形AMCD为平行四边形，所以，又因为，所以，由，，即，又，，平面,所以平面，又平面，故，又因为，则， 又，平面所以平面，又平面，所以， 又在中，且，在中，且，则，又为中点，所以，又，平面,所以平面． （2）由，，则，即，又，， 故以为坐标原点，以所在直线x分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，，，， 故，，因为，所以，，设平面的法向量，平面的法向量，则，取，解得，易知平面，即，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为． （4）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【答案】(1)连接，，O为的中点，且. ，，，且，又， ，，又，平面，平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，.，点M在棱上，，，.设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 易知平面的一个法向量为.二面角的大小为，，平方化简得，解得或（舍去），故. （5）（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)取PD中点N，连接MN，AN，因为M，N分别为PC，PD中点，所以，且， 因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以，，因为，所以，即，所以两两垂直，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，所以，因为平面，为棱的中点， 所以即为平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正弦值. （ii）假设线段上存在点满足条件，设，，则， 所以点到平面的距离，解得，则， 所以存在，使得点到平面的距离是. （6）（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    （1）已知，分别为，的中点，求证：平面； （2）若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)取的中点为，的中点，连接，，，则为的中位线，为的中位线，得且，且，而，，得且，得四边形为平行四边形，则，由平面，平面，得平面. （2）（i）由，，，可得，连接，可得四边形是正方形，即可得，所以，所以，即，又平面，平面，得，，平面，，得平面，如图建立空间直角坐标系，   令，则，即，，，，，所以，，设平面的法向量为， 则，令，得，，所以，由于面，所以平面的法向量可以取，设平面与面的夹角为，则，故平面与平面的夹角余弦值为. （ii）不存在，理由如下：假设在线段上存在一点，使得平面，设，，则，得，而平面的法向量为， 由平面，得向量与法向量为共线，即得，故无解，故不存在线段上的一点，使得平面. （7）（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 【答案】(1)因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，因为三角形是等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，，所以四边形为矩形，所以，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为， 则，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，所以平面与平面所成的夹角的余弦值为. （3）设，又，则，由（2）可得，所以，因为点为的中点，所以，所以， 因为直线与平面交于点，所以，解得，所以. （8）（25-26高二下·江西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)取棱的中点，连接，，则，且，因为为的中点，四边形是正方形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面 （2）由题意可得直线，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，设，则，，，.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，，所以， 设平面的一个法向量，则，即，令，解得，， 所以，设平面与平面的夹角为，则，解得，或（舍）， 所以，所以. （9）（25-26高二下·福建莆田·期末）如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 【详解】（1）作于点,连接，因为平面平面，平面平面，平面,所以，平面，平面，所以，，又，，平面,所以，平面，平面，所以，， 由，得 即,翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，,在平面四边形中，，那么, 又所以四边形是平行四边形，所以，,设，则，， 即，解得,所以，. （2）在原直角梯形中，作于点，那么四边形为矩形，,,所以为等腰直角三角形，，由于,所以，，所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形,, 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么 ,,,设平面法向量为，平面法向量为，那么， 取，则为平面一个法向量，, 取，则为平面一个法向量，, 所以，平面与平面所成角的余弦值为. （3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得 ，解得，所以，，点到直线的距离为 ,所以，. 题型十一：空间角中的最值（范围）问题 例22（1）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为平面，且平面，所以，且，，平面，所以平面，以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，，所以，，设为平面的法向量，则即取，可得，，所以为平面的一个法向量.设，，则，设与平面所成的角为，则==， 令，则有，当，即时，，此时当，由存在，得，解得，当时，，此时，即的最大值为，所以与平面所成角的正弦值的最大值为. （2）（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】取的中点为，连接，又，所以，且，是的平面角，由都在面内，故面，面内过作，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，由，则，且， 所以，则，当时，最大.故选：D. （3）（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. （1）若点为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，.因为是棱的中点，所以且.       因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，则.    因为平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，.因为是边长为2的等边三角形，所以，，.因为，，为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，则，.又，所以，所以.又因为，所以平面.    以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.    设，其中，则.设平面的法向量，所以，        令，得.设平面的法向量，所以，令，得.        设平面与平面的夹角为，则，.        令，则.令，当时，，当时，，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. （4）（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以． （2）设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为，． 当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时． （5）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接，因为底面为菱形，所以为的中点，可得,，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，由为公共边， 所以，所以. （2）解：过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以为直线于平面所成的角，即， 因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以为的垂心，因为底面是边长为的菱形，且，所以为等边三角形， 所以点为的重心，可得，则，且, 又因为，所以，以为轴，以为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， 设，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，设二面角的平面角为 ，则，令 ，则，所以，由于， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以的最小值为. （6）（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． （1）证明：； （2）若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面平面，所以，因为，所以； （2）（i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直， 以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，由可得取，则，，所以，设直线与平面所成角为，则； （法二：几何法）补体成长方体，过点作垂直于点，连接，，则平面， 所以为直线与平面所成角，在中，，所以，在中，，，所以． （ii）因为平面，平面，所以，因为，所以，又是四边形（不含边界）内的动点，则点在以为圆心，2为半径的圆上，令，，则，又，，，，，，，设平面的法向量为，则取， 设平面的法向量为，则取， 故，令，则，因为函数在上单调递减，则，则，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 例23（1）（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. （1）求证：直线与直线为异面直线； （2）求直线与平面所成角的最大值. 【答案】(1)证明：取中点，连接、，由分别为的中点，底面是正方形，故、，则，故、、、四点共面，因为平面，，平面，故直线与直线为异面直线； （2）由是正三角形，且为中点，故，由平面，平面，故，又，、平面，故平面，故可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、、、、，由分别为的中点，故、，则、、、，设，，则，设平面的法向量为，则有， 取，则、，即，有，设直线与平面所成角为， 则，当且仅当时，等号成立，故最大值为，即直线与平面所成角的最大值为. （2）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面．    （1）求证：底面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，求平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值． 【详解】（1）证明：因为是的中点，，所以．在中，，，．所以，所以，即．又平面，所以，又，底面，底面，所以底面． （2）解：以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立坐标系，由题可得：，，，，，（且长度相等），．又平面的一个法向量为，所以．综上：与平面所成角的正弦值为． （3）设，又，所以，又，，设平面的法向量为，所以，即令，则，，所以，又平面的法向量为．所以，又．所以，当时成立，此时与重合．综上所述：存在点与重合时，使得平面与底面所成锐二面角的余弦值的最小值为． （3）（25-26高二上·安庆一中·期中）在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的半径； （3）求二面角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明：在中，由，得，所以，且，即， 因为，，，平面，所以平面. （2）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设球心，半径，则，所以，解得，所以球O的半径为；     （3）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，因平面,则平面.则由（1），设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，  则，所以，设平面一个法向量分别为，则，即，取，则得； 平面的一个法向量为，则，即，取，则得，所以，令，则由得，则，于是当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. （4）（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，，在中，因为，所以，同理，，在中，因为，所以， 因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面. ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以，所以，且，所以，则，，， 设平面的法向量为，则，即，取，所以， 设与平面所成角为，所以， 设，所以，令，所以，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； （5）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明：连接，因为在平面ABC内的射影为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，四边形为平行四边形，所以平行四边形为菱形，故⊥，因为D，E分别是线段，的中点，所以，故⊥，因为，平面，所以⊥平面； （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为⊥，D是线段的中点，所以由三线合一可得，又，故为等边三角形，， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，点到平面BDE的距离； （3）点F为线段上的动点（不包括端点），设，，则，故，故，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，又平面的一个法向量为，故，令，则，因为，故，，平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. （6）（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以，又底面，底面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，为的中点，所以，平面，所以平面，又平面，所以平面平面. （2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，， 因为，则，则得，则，，，，设，若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得即，得方程组：，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知设平面的一个法向量为，则，故可取，设平面的一个法向量为， 则故可取，设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值，所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . （7）（26-27高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)由已知，得；又因为底面，底面，故； 因为，，，平面，所以平面，平面，故. （2）因为底面，底面，所以，又因为，所以，因此两两垂直.因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：   则.在中，，，所以为等边三角形，所以.又因为，，所以.在中，，，，所以，.因此，因为是中点，故.设平面的法向量为，，，则，，令，得，所以平面的法向量.设平面的法向量为，，，则，，令，则，所以平面的法向量.设平面与平面的夹角为， 则.故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且，得，，设平面的法向量为，，，则，，令，则，所以.因为，平面的法向量为，所以，因为，所以，所以，因此，若，则，得，，解得.当时，，此时，所以的值不存在；当时，，此时，所以，所以，得，①时，，因为函数在单调递减，且，，   所以，因此得； ②时，，因为函数在单调递增，且，，   所以，因此得.综上所述，当时，的值不存在；当时，.因此的取值范围是或不存在. 题型十二：空间角中的探索性问题 例24（1）（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，又因为，平面，所以平面. （2）存在点Q，使得直线与平面所成角为，且.理由如下：连接，由（1）知平面，平面，所以，又因为，故两两垂直，以为坐标原点，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设，则，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，因为与平面所成角为，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以存在点Q，使得直线与平面所成角为，且. （2）（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． （1）证明：； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系，则，， ，． （2），设平面的法向量为，则，令，则；，设平面的法向量为， 则，令，则，二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为，则，令，则，设，则，则，设直线与平面所成角为，则，化简整理得，解得或（舍去），存在点，位于线段的中点位置． （3）（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    （1）试用表示． （2）若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； （3）当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由向量的加减法运算的法则可得， 又因为且，，． （2）且为等腰直角三角形，，.设，则．因为平面，平面，所以， 即，所以.又因为，，所以，即.所以为平面的法向量．而平面与垂直，所以是平面的法向量.因为，所以，且，，所以 所以所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）分别以所在直线为x轴、y轴，过F作垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图：   设，则，，由（1）得，二面角的平面角为，即，，.由题意得，平面的法向量为，，即，，解得或（舍去）存在点F，此时． （4）（25-26高二上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．    （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）取中点，连接，由题意可知且，又因为是矩形对角线的交点，所以且，所以且，则四边形为平行四边形，所以且，又因为平面，平面，所以平面； （2）因为在图1中，且,在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则，以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：   则，，所以，又因为，平面，所以，所以，，设平面的一个法向量，则，则有，取，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点，设，所以， 则，设平面的一个法向量为，则，所以，取，由（2）知平面的一个法向量，则，要使平面与平面所成的二面角的余弦值为，则只需，即，整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的余弦值为. （5）（25-26高二上·重庆黔江·期中）如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，.    （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)由题可得、，，则，故、，又，则、、两两垂直，则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、、、，则、、，设平面与平面的法向量分别为、， 则有，，取，则、， 则，故，故平面平面； （2），，，则点到直线的距离； (3)假设存在，且，则，则， 设平面的法向量为，则，取，则，，即，由轴平面，故是平面的法向量，则，整理得，解得， 由，则，故存在，且. （6）（2026·浙江·三模）如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． （1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； （2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； （3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）的外心为AB中点的外心为CP中点，取线段AC中点，则设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，． （2）以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系．，设二面角的平面角为，则． 设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为，由，解得．由平面平面ACN，可得，解得．点为线段PB上靠近点的三等分点，可得 由，解得 即二面角的平面角为此时点到平面ACP的距离 （3）已知，点横坐标为1．点在yoz平面上，所以点横坐标为0． 可得．设，由（2）得平面ACN的法向量．由，解得即．根据条件，得，解得在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为 例25（1）（25-26高一下·湖南长沙·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为在梯形中，，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，因为线段与交于点，所以为线段的中点，所以中，因为平面，平面，所以平面. （2）平行四边形中，，所以四边形是菱形，，垂足为，所以，因为平面，平面，所以是二面角的平面角，因为平面平面，所以，即.可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为，则取，得， 平面的一个法向量为，由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， （3）假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为.设，因为，所以，设平面的一个法向量为，则取，得，，所以，因为，所以，故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. （2）（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接因为E为的中点，故，又为的中点，,得,故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，即， 故平面； （3）取的中点G，连接，则,且，结合题意可知四边形为矩形，此时，即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，（舍去），故. （3）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接，交于，连接，在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点，又为中点，所以，因为平面，平面，所以平面； (2)连接，菱形中，，，所以是等边三角形，又为中点，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，且平面，，所以平面； （3）不存在，理由如下：取的中点，因为分别是的中点，所以，又平面，所以平面，所以两两垂直，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，，所以，，设，，因为，所以，解得，，，即，所以,设平面的法向量，，令，得，显然是平面的一个法向量，所以，因为二面角为，所以，化简得，解得，因为，所以线段上不存在点，使二面角为． （4）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为在中，，，且，所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有， 设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为. 则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. （5）（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由题知，由余弦定理得， ∴，∴，∴，又，平面，， ∴平面； （2）如图，过作的垂线，垂足为，则，∵四边形为等腰梯形，∴.由（1）知，平面，∴，又，平面，，∴平面，∴，∴两两互相垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， ∴，设平面的法向量为，由得，令，得，∴，故与平面夹角的正弦值为； （3）存在.假设存在，设，则，设平面的法向量为，由得，令，得，∴，由题知，解得.综上，存在点符合，且． （6）（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点． （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：取中点F，连接，，，E是的中点，， 则以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，，，， ，，， ，即． （2）由（1）可得，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则令，则，，，依题意平面的一个法向量为，设二面角的大小为，由图知，为锐角，，即二面角的余弦值为． （3）在线段上不存在点Q，使得平面，理由如下： 假设存在点Q，使得平面，设，， ，由（2）可知，平面的一个法向量为，则，解得，故在线段上不存在点Q，使得平面． （7）（25-26高二上·江西九江·阶段检测）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. （3）问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，  与为等腰直角三角形且，不妨设，，.分别为的中点，，且.，，，，∴四边形为平行四边形，， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，   设，，则， ，设平面的一个法向量为，即，得设平面得一个法向量， ∴，即，得∴∴平面与平面所成角的余弦值为 （3）设平面的一个法向量为，，由（2）得， 取，，.假设存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为， 设， ∴，设直线与平面所成角为，则 ，整理得，解得或，此时点与点重合或与点重合，所以，当点与点P重合时或点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 1.（25-26高二上·辽宁·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则二面角的大小为，由题意，，则，所以， 即，得，所以，即二面角的大小为.故选：C. 2.（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（     ）．    A． B． C． D． 【详解】不妨设正方体的棱长为3，则，，，可得，， 设点在体对角线上的投影为，，，   则，可得，解得，则，即，且，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：在点的轨迹任取一点，则，则，整理可得，令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限； 解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：   则，，，可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径，即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限. 1 学科网（北京）股份有限公司 $