第2章有理数及其运算分层特训- 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 分层设计基础与思维训练，以题载法构建有理数运算从概念到应用的完整逻辑链，渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|17题（1-17）|有理数大小比较、绝对值化简、正负数实际应用|概念（相反数/绝对值）→运算（加减乘除/乘方）→简单应用| |思维达标|3题（18-20）|绝对值比较规律归纳、裂项相消法、除方转化乘方|规律探究→方法迁移→创新应用，发展运算能力与模型意识|

第2章有理数及其运算分层特训01 基础达标 1．在0、、1、这四个数中，最小的数是（   ） A．1 B．0 C． D． 2．手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好，则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是    （    ） A． B． C． D． 3．表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 4．在数，，，，中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．某品牌酸奶的包装盒上标明“净含量：”，则下列四盒该品牌酸奶的净含量中，不符合标准的是（   ） A．203 B．198 C．195 D．193 6．2026年是农历丙午年，生肖属马，被称为“红马年”．2026的绝对值是（    ） A． B．2026 C． D．1 7．下列选项中，计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 8．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ） A． B． C． D． 9．用四舍五入法取近似数：11.3951精确到百分位是_______． 10．图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么__________． 11．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 12．已知点A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数是3，点A，B之间的距离为4，且点C到点A，B的距离相等，则点C表示的数是___________． 13．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简________． 14．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是_____． 15．计算． (1)； (2)． 16．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 17．每年十月底至十一月初，随着西伯利亚寒潮渐起，黄河三门峡湿地迎来了一年一度的“贵客”-首批迁徙而来的西伯利亚大天鹅．根据观测，这类天鹅在平缓迁徙阶段日均飞行距离约为公里，但实际每天飞行情况受天气、体力等因素影响，与日均飞行距离相比有出入．下表记录了这类天鹅一周七天的飞行情况，超过日均飞行距离的部分记为正，不足的部分记为负． 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录(公里) 0 (1)这周天鹅实际总共飞行了多少公里？ (2)已知西伯利亚到三门峡的总距离约为公里．根据这一周的实际飞行距离，试分析在开始迁徙后的天内，天鹅能否到达三门峡，并说明理由． 01 思维达标 18．按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 19．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 20．综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章有理数及其运算分层特训-2026-2027学年数学七年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B D B C D 1．C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，通过比较数的大小，负数小于正数和零，且负数的绝对值越大，值越小． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据题意，值越大信号越好，因此需要比较四个选项中数值的大小，找出最大的一个即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴信号最好， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 根据乘方运算的定义， 表示n个a相乘判断即可． 【详解】解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意． 故选： B． 4．B 【分析】本题主要考查了负数的定义，计算每个数的值，根据小于零的数是负数，判断负数的个数即可． 【详解】解：∵，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数， ∴负数有3个， 故选B． 5．D 【分析】根据“净含量：”的含义求出净含量的合格范围后再比较即可；本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：由条件得标准净含量的最小值为， 最大值， ∴只有选项不符合要求； 故选：D． 6．B 【分析】本题考查绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可求解． 【详解】解：2026的绝对值是2026． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了有理数的四则运算，有理数的分类，掌握相关运算法则是解题关键．通过计算各选项的值判断正负，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是负数，选项错误； B、，不是负数，选项错误； C、，是负数，选项正确； D、，不是负数，选项错误； 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据点在数轴的位置判断式子的正负，相反数的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据与互为相反数，与互为相反数，再结合表示数，的点的位置，可分别表示出数，的点的位置，然后从左到右依次写下来，并用小于号连接即可． 【详解】解：如图， 由数轴可知， 故选：D． 9．11.40 【分析】本题考查近似数，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．根据四舍五入法将11.3951精确到百分位即可． 【详解】解：（精确到百分位）， 故答案为：11.40． 10． 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、相反数、代数式求值，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． 先根据正方体的平面展开图的特点和相反数的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对的面上，与处在相对的面上， ∵折好后相对面上的数互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 11．0 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号、化简绝对值、整式的加减运算等，解题的关键是根据a、b、c在数轴上的位置得出，．根据a、b、c在数轴上的位置判断出，得出，，去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 12．5或1 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，首先根据点表示的数是3，点之间的距离为4，求出点B表示的数为或，然后根据点C到点A和点B的距离相等，得出点C是点A和点B的中点，计算点C表示的数即可． 【详解】解：点A表示的数是3， 点A、B之间的距离为4， 则点B表示的数为或． 点C到点A、B的距离相等，因此点C是线段的中点． 当点B表示7时，点C表示的数为； 当点B表示时，点C表示的数为． 故答案为：5或1． 13． 【分析】本题考查了绝对值的化简、整式的加减，关键是掌握绝对值的化简法则、去括号法则和合并同类项法则．根据、、在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后去括号，合并同类项求解． 【详解】解：∵，且， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数即可得到答案． 【详解】 解：由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数，可知，“”所表示的数是， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法即可． （2）先计算乘方，化简绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 17．(1)这周天鹅实际总共飞行了公里； (2) 天鹅能到达三门峡，理由如下： 根据这一周的实际飞行距离，估计天的飞行里程为(公里)， ， 天鹅能到达三门峡. 【分析】本题整体考查正负数的实际意义及有理数的混合运算在行程问题中的应用，核心是利用正负数表示实际量的偏差，通过有理数的加减乘除运算解决实际问题． （1）先计算七天飞行偏差的代数和，再计算7天的基础飞行距离，将偏差和与基础飞行距离相加，得到这周实际总飞行距离； （2）根据这一周的实际总飞行距离，计算出四周（28天）的总飞行距离，即用周实际总飞行距离乘以4，最后将该距离与公里比较，判断能否到达． 【详解】（1）解：首先计算一周七天的飞行偏差总和：． 一周的基础飞行距离为：． 因此，这周天鹅实际总飞行距离为：； （2）略 18．(1)① ，②，③ (2)①异号， ；②同号， ；③ (3) 【详解】（1）解：①，， ； ②，， ； ③ ， ， ． （2）解：根据小问（1）的结果可得出： ①当 ， 异号时，有， ②当 ， 同号时，有， ③当 ， 中至少有一个为0时，； （3）解：可整理成， 由小问2结论可得到，等式成立时，与同号或者， 即． 19．(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 20．（1）1，−2；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义计算； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，； （2）① ， ② ， 故答案为：，； （3）原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $