18.4相似多边形（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似多边形与相似三角形的定义、性质及判定，通过天宫空间站图片观察形状相同大小不同的图形导入，衔接已有图形认知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过正方形、矩形是否相似的辨析培养数学思维的推理意识，结合矩形草坪小路等实例发展数学眼光的几何直观，用表格对比全等与相似强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第十八章 相似形 18.4 相似多边形 导入新课 观察并思考：下面两张图片是同一文件打印出的天宫空间站图片，它们在形状、大小有什么特点？ 形状相同，大小不同 这两个图形是相似图形。 今天，我们来学习相似图形 -------相似多边形 学 习 目 标 1 2 3 理解相似多边形和相似三角形的定义以及相关概念（重点） 掌握相似多边形（相似三角形）对应角相等、对应边成比例的性质（重点） 理解全等三角形与相似三角形的关系——全等三角形是相似三角形的特殊情况，相似比为1 新知探究 问题1：图(1)中的两个四边形形状相同吗?它们是否有相等的内角?相等内角的两边是否成比例?请设法验证你的结论。 问题2：再观察图(2)中的两个五边形，能否得出同样的结论? 用刻度尺和量角器量量看. ∠A=∠A' ∠B=∠B' ∠C=∠C' ∠D=∠D' 形状相同 相等内角的两边成比例 形状相同 对应角 ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'，∠E=∠E' AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DE与D'E'、EA与E'A'的比都相等 对应边 新知探究 总结归纳 相似多边形： 对应角相等、对应边成比例的两个边数相同的多边形，叫作相似多边形. 记作：五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'， 读作：五边形ABCDE相似于五边形A'B'C'D'E'， 注意：在写两个多边形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 相似比k: 相似多边形的对应边的比，是有顺序的。 相似比k表示第一个图形的边与第二个图形的对应边的比值. A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 新知探究 问题1:两个正方形一定相似吗？为什么？ 问题2:两个矩形一定相似吗？为什么？ 问题3:两个菱形一定相似吗？为什么？ 相似，因为它们的对应角相等，对应边成比例. 不一定相似，对应角相等，但边不一定成比例.如图所示 不一定相似，对应边成比例，但角不一定成相等.如图所示 💡 核心总结：判定多边形相似，必须同时满足“对应角相等”和“对应边的比相等”，二者缺一不可！ 你能得到什么结论？ 例1 如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ，求线段a、b的长度和∠D' 的大小. 典例分析 解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴ ∴ 解得. ∵∠C=∠C'=83° ∴∠D' =360°-(117°+77°+83°)=83°. 线段a、b的长度分别是31.5，27.∠D' 为83°。 对应角相等 对应边成比例 两个多边形 相似 性质 新知探究 在相似多边形中，最简单的相似图形是什么？ 相似三角形 三个角分别相等,三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. 记作：△ABC∽△ A'B'C'， 读作：△ABC 相似于△ A'B'C'. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' △ABC与 △ A'B'C'相似 例2 如图，△ADE∽△ ACB，请指出它们的对应顶点、对应边和对应角. 典例分析 解:对应顶点:A和A，D和C，E和B. 对应边:AD和AC，AE和AB，DE和CB. 对应角:∠A和∠A，∠ADE和∠C，∠AED和∠B. 分析： 对应角所对的边是对应边， 对应边所对的角是对应角． 相等的角是对应角， 对应角的顶点是对应顶点． 新知探究 1.两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么? 2.两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么? A B C 55° 35° A' B' C' 50° 40° a a b b a b A B C 45° 45° A' B' C' 45° 45° A B C A' B' C' 60° 60° 60° 60° 60° 60° a b a a b b 三个角分别相等,三条边对应成比例 例3 如图, △ABC∽△ADE, AE=50cm, EC=30cm, ∠A=45°. (1)如果∠C=40°，那么∠AED和∠ADE分别等于多少度? (2)如果BC=70 cm，求DE的长 典例分析 解:(1)∵△ABC∽△ADE, ∴∠AED=∠C=40°. 在△ADE中， ∠AED +∠ADE +∠A= 180°, 即40+∠ADE+45°=180°, ∠ADE=95°. (2) ∵△ABC∽△ADE ， ∴ 即 ∴ (cm)． 新知探究 1.设△ABC与△A'B'C'的相似比为k，△A'B'C'与△ABC的相似比 为k'，那么k和k'有什么关系? 2.当两个三角形的相似比等于1时，这两个三角形有什么关系? 3.全等三角形和相似三角形有什么关系? 相似比 k =1 ,表示两个三角形全等. 全等三角形 相似三角形 特殊的 k和k'互为倒数，k·k'=1. △ABC与△A'B'C' 的相似比为 k， △A'B'C' 与△ABC 的相似比为 k'， 新知探究 全等三角形与相似三角形的区别与联系 总结归纳 形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 全等三角形 相同 相等 相等 相等 ≌ 1 相似三角形 不一定相等 成比例 ∽ 正实数 基础巩固题 新知应用 1.下列说法中： ①所有的正三角形都相似； ②所有的正方形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似； ④所有的矩形都相似； ⑤所有的菱形都相似. 其中，正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 💡 核心总结：判定多边形相似，必须同时满足“对应角相等”和“对应边的比相等”，二者缺一不可！ B 基础巩固题 新知应用 2．如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B＝75°，则∠B′的度数是 ( ) A．15° B．25° C．75° D．105° C 3. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______ 。 18 相似三角形的对应边成比例 相似三角形的对应对应角相等 基础巩固题 新知应用 4.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，它们的相似比是4∶3，已知AB=12 cm，则EF=　　cm.  9 5.如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则k1与k2的关系是（ ） A．k2=k1 B．k1+k2=0 C．k1·k2=-1 D．k1·k2=1 D 相似比与叙述的顺序有关. 相似比是相似多边形的对应边的比，是有顺序的。 基础巩固题 新知应用 6.边长为10的正方形与边长为5的菱形相似吗?请说明理由. 7.判断: (1)相似三角形是全等三角形; （ ） (2)全等三角形是相似三角形; （ ） (3)相似三角形的相似比一定不等于1. （ ） 💡 核心总结：判定多边形相似，必须同时满足“对应角相等”和“对应边的比相等”，二者缺一不可！ 对应边的比相等，但对应角不一定相等 基础巩固题 新知应用 8.如图，矩形草坪长20m、宽10m，沿草坪四周有1m宽的小路.小路的内、外边缘所围成的矩形相似吗?请说明理由. 对应角相等 小路的内边缘所围成的矩形长为20m,宽为10m 小路的外边缘所围成的矩形长为22m,宽为12m 而，对应边不成比例，所以不相似。 新知应用 基础巩固题 9.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值. 解：根据题意可得 ∴ 解得 解：根据题意可得m=80,n=55, ∴ 解得 10.如果△ABC∽△A1B1C1， △A1B1C1 ∽ △A2B2C2， 那么△ABC∽△A2B2C2吗？ 新知应用 基础巩固题 因为△ABC∽△A1B1C1 所以∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1 因为 △A1B1C1 ∽ △A2B2C2 所以∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∠C1=∠C2 所以∠A=∠A2，∠B=∠B2，∠C=∠C2 △ABC∽△A2B2C2 能力提升题 新知应用 11.如图,AD=2,AC=4,BC=6,∠B=36°,∠D＝117°,△ABC∽△DAC.求AB,CD的长及∠BAD的度数． 解：∵△ABC∽△DAC， ∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°， ==， 又AD＝2，AC＝4，BC＝6， ∴AB＝3，CD＝， ∠BAD＝∠DAC＋∠BAC＝36°＋117°＝153°. 能力提升题 新知应用 12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥CA．若BE＝5，EC＝6，AC＝10，求AD的长． 解：∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠EAC． ∵ED∥CA， ∴∠DEA＝∠EAC． ∴∠DAE＝∠DEA． ∴ED＝AD． ∵ED∥CA， ∴△BED∽△BCA． ∴， ∵BE＝5，EC＝6，AC＝10， ∴， ∴ED． ∴AD． 课堂小结 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似的写法 相 似 多 边 形 有关概念 记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置. 相似多边形对应边的比叫做相似比 三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 感谢聆听! $