精品解析：海南华侨中学2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷

海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级期末考试数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内，的共轭复数对应的点位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 词元调用量是指每次使用时，输入提问词元和输出回答词元的总消耗数量，是衡量使用规模，算力消耗、计费的核心指标.某数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为（ ） A. B. C. 28 D. 84 6. 下列命题中正确的个数是（     ） ①如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为 ②已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为 ③已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为 ④已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则且 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 11. 在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为 C. 若平面，则线段的最小值为 D. 若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的表面积为__________． 13. 若，则_________. 14. 如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为__________；设直线与平面所成角分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求平均数和第一四分位数； （2）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 17. 某高中届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米. （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形的面积. 18. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上一点，将分别沿折起，使两点重合于，如图，连接. （1）求证：； （2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由； （3）若点满足（2），求二面角的余弦值. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）判断的形状； （2）已知，，点，是边上的两个动点（，不重合，且点靠近，点靠近），记，，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，使得对所有，都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2025-2026学年第二学期 高一年级期末考试数学科 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内，的共轭复数对应的点位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】，共轭复数为， 对应复平面内坐标，位于第三象限． 2. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，则， 又，，则. 3. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 4. 词元调用量是指每次使用时，输入提问词元和输出回答词元的总消耗数量，是衡量使用规模，算力消耗、计费的核心指标.某数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】众数a：频率分布直方图的众数是最高矩形的中点，是三个统计量里数值最大的； 中位数c：是左右两侧累计频率各为0.5的分界点，位置在众数的左侧； 平均数b：因为左侧存在数值很小的长尾拖尾，会将平均数向小值方向大幅拉动，是三个统计量里数值最小的. 因此三者大小关系为 . 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为（ ） A. B. C. 28 D. 84 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，正四棱台的对角面是等腰梯形. 易知，，. 分别取的中点为，则，. 所以棱台的高为. 所以棱台的体积为. 6. 下列命题中正确的个数是（     ） ①如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为 ②已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为 ③已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为 ④已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及百分位数的定义与计算方法，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于①，若一组数据的极差为0，可得这组数据都相等，则方差为0，故①正确； 对于②，由，可得样本数据，，，，，，，的第60%分位数为第5个数据，即分位数为7，故②正确； 对于③，由数据，，⋯，的平均数为， 则数据，，⋯，的平均数为，故③正确； 对于④，由数据，，⋯，的平均数，方差， 可得，即， 又由，所以，， 所以剔除后，则剩余这9个数的平均数为， 方差为，故④错误. 7. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平移后所得三角函数为，又因为关于平移后图像关于对称，所以，再根据的取值范围，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题. 8. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可. 【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确； 对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误. 对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误； 对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确； 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，，为的中点，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 已知，，若与的夹角是钝角，则且 D. 在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可判断A；根据平面向量的数量积运算结合平面几何知识可判断B；根据平面向量夹角为钝角的条件结合数量积的坐标运算公式可判断C；先建立平面直角坐标系，然后根据平面向量数量积的坐标运算公式可判断D. 【详解】由得是上靠近的三等分点，因此；为中点， 故， 因此，A错误； 、​分别是、方向的单位向量，二者的和向量在的角平分线上. 该和向量与点积为0，说明的角平分线垂直于，因此， 是等腰三角形，B正确； 若与的夹角是钝角，则且与不共线，由得； 若两向量反向共线，则有，得， 所以满足题意的的取值范围是且，C正确； 建立平面直角坐标系：设，由条件得； 则，，，D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为 C. 若平面，则线段的最小值为 D. 若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，将线线垂直转化为线面垂直找点P；选项B，连接，利用定义判断线面角为，通过边长关系计算正弦值；选项C，通过面面平行找到动点P的轨迹，利用余弦定理判断为钝角即得出最小值;选项D，通过球的相关知识，将球的关系转化成以为圆心的圆在平面内的弧长关系，找出轨迹，利用扇形的弧长公式计算轨迹. 【详解】选项A，因为，，所以平面， 因为平面，所以， 所以当点P与点重合时，选项A正确； 选项B，P是正方形的中心时，平面， 所以与平面所成角为， 因为，， 所以， 所以，选项B错误 选项C，过点作平面的平行平面，所以为线段的中点， 所以点， 在三角形内，， ， ，所以为钝角， 所以线段取最小值时为，选项C正确； 选项D，因为在平面的投影为， 所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线等价于以为圆心， 为半径的圆在平面的轨迹，如下图：为以为圆心，为半径扇形弧长， 所以，， 所以，所以， 由对称可知，所以， 所以由扇形弧长公式得，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式可求答案. 【详解】圆锥的侧面积为，底面积为， 所以表面积为. 13. 若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式先求出的值，再由正弦的二倍角公式结合同角三角函数的关系化简可得. 【详解】由，则， 所以， 由可得， 所以. 14. 如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为__________；设直线与平面所成角分别为，则__________. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】把三棱锥放到长方体中，利用长方体的外接球就是三棱锥的外接球列式计算；通过证明平面平面确定在平面的投影在线段上，从而做出三个线面角，然后计算的面积和的体积进而求出高，最后把三个线面角用边的比值表示出来即可得出结果。 【详解】由题意知，故三线两两垂直； 如图1构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 长方体的体对角线就是外接球的直径，设为， 则，即， 所以所求外接球的体积为. 如图2，取的中点，连接； 由可知，平面， 故平面，平面,即平面平面， 平面平面，作，垂足为，则平面，与平面所成角分别为， ，由上述过程可知，所以， 所以， 故答案为：，1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求平均数和第一四分位数； （2）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 【答案】（1）74，65 （2）6，3 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和25百分位数的计算公式即可. （2）利用成绩在，的频率，分别计算出两组的人数，再计算出抽样比例，即可计算两组学生中抽取的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： ， ， ， ， ， 平均数为：. 第一四分位数即第25百分位数，因为第一组频率为0.15， 前两组频率之和为，且，所以第一四分位数位于区间内. 设第一四分位数为x，则，解得，所以第一四分位数为65. 【小问2详解】 成绩在的人数为：（人）， 成绩在的人数为：（人）， 成绩不低于80分的总人数为：（人）. 抽样比例为：，从成绩在内的学生中抽取的人数为：（人）， 从成绩在内的学生中抽取的人数为：（人）. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1），为的中点，， 又底面为菱形，，是等边三角形. 又为的中点. 又，，平面， 平面. 又平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与可证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可. （2）利用的长度可计算，从而得到及，利用四棱锥中的关系可得，从而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，为的中点， . 又是等边三角形，，为的中点， . 又，， ， . 为的中点 ∴. 又底面为菱形，. . 17. 某高中届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米. （1）若，，求的值； （2）若，，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，再由正弦定理及平方关系，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式求出，再利用正弦的差角公式求出，再求出，即可求解. 【小问1详解】 在中，，， ， 在中，由正弦定理得， ，又， ， . 【小问2详解】 在中，，，所以为等边三角形， 则，， 所以， 设，则， ，， 又，， ， 则， 所以四边形的面积为 . 18. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上一点，将分别沿折起，使两点重合于，如图，连接. （1）求证：； （2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由； （3）若点满足（2），求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可证明； （2）连交于，连，由平面几何知识可得，再由线面平行的性质定理得，从而可得结果； （3）由得是二面角的平面角，由平面得到，再设正方形边长，由余弦定理求出即可； 【小问1详解】 因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在正方形中，点点是的中点，点是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 【小问2详解】 连交于，连，则为的中点， 因为在正方形中，点是的中点，点是的中点， ， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，所以， 【小问3详解】 由（2）可得，则， 由（1）知，平面，又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，所以， 设正方形的边长为4， 则， 所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）判断的形状； （2）已知，，点，是边上的两个动点（，不重合，且点靠近，点靠近），记，，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，使得对所有，都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）直角三角形 （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差的正弦公式和二倍角公式进行化简可得，进而可得结果； （2）①设，，利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解； ②假设存在常数和，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解． 【小问1详解】 在中，由，得． 所以，即． 又由已知，所以，所以，为直角三角形； 【小问2详解】 ①由（1）及已知，，， 则，． 在中，由，得，， 在中，由， 得，， 当，即时，． ②假设存在常数，，使对所有，成立． 由 ， 又， 则， 可得． 即对所有，都成立． 由为定值，所以， 因为，所以． 即，，则． 故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $