第2章 有理数的运算 单元卷 2026-2027学年青岛版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数运算，通过时代情境（如和平鸽科学记数法）、跨学科素材（新能源汽车费用计算）及创新题型（高斯定义运算），实现基础巩固与能力提升，适配初中数学有理数单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数概念、科学记数法、数轴动点|结合和平鸽事件考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/18|新运算定义、数据估计、高斯取整|设计WIFI密码题，培养符号意识与模型观念| |解答题|8/72|混合运算、实际应用（出租车行程/公司盈亏）|新能源汽车费用计算综合数据意识与应用能力，契合真题趋势|

第2章 有理数的运算（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、 下面的说法正确的是（　　） A. 正有理数和负有理数统称有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 2、和平鸽是和平、友谊、团结和圣洁的象征．2025 年 9月 3 日上午，北京天安门广场上8万羽和平鸽飞向苍穹，蓝天之下是山河万里，是国泰民安！让我们一起铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平，开创未来！数据8万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3、如图，某勘探小组测得点的海拔高度为20米，点的海拔高度为米（以海平面为基准），则点比点高（ ） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 50米 4、表示的意义是（ ） A. 5个相加 B. 5个相乘 C. 5个3相加的相反数 D. 5个3相乘的相反数 5、点在数轴上距离原点个单位长度，若一个点从点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6、 已知有下列四个算式：①；②； ③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7、 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 8、已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断①；②；③；④中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9、已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＞0 C. a、b同号 D. a、b异号，且正数的绝对值较大 10、对于数133，规定：第一次操作为：第二次操作为按此规律操作下去，则第888次操作后得到的数是（ ） A. 55 B.133 C. 250 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、计算的结果是______． 12、计算：______． 13、李叔叔经营一家水果超市，李叔叔随机抽取了五月份其中6天的营业额（单位：万元）分别为3、2、6、4、1、2，请你帮李叔叔估计一下五月份的营业额约是______万元． 14、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是______． 15、已知，均为有理数，现定义一种新的运算，规定．例如：．则______． 16、高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题16分，18--20，每题6分，21题8分，22--24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） （3） （4） 18、出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，若小明家距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？ 19、阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式 (第一步) (第二步) =1× 10 (第三步) (第四步) 解答下列问题： （1）第一步的依据是____________，第二步的依据是__________； （2）上面的解题过程是从第___________步开始出错的，请把正确的解题过程写出来． 20、某公司年月—月平均每月亏损万元，月—月平均每月盈利万元，月—月平均每月盈利万元，月—月平均每月亏损万元．这个公司年总的盈亏情况如何？ 21、数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 22、最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里，路程最多的一天和最少的一天路程分别是第几天？路程最多的一天比最少的一天多走几？ （2）求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶100需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 23、先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与 （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 24、【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、 下面的说法正确的是（　　） A. 正有理数和负有理数统称有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 【答案】B 【详解】A、正有理数、0和负有理数统称有理数，故本选项错误； B、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； C、整数还包括0，故本选项错误； D、零属于自然数的范围，这样的表达不正确，故本选项错误． 2、和平鸽是和平、友谊、团结和圣洁的象征．2025 年 9月 3 日上午，北京天安门广场上8万羽和平鸽飞向苍穹，蓝天之下是山河万里，是国泰民安！让我们一起铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平，开创未来！数据8万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：8万， 3、如图，某勘探小组测得点的海拔高度为20米，点的海拔高度为米（以海平面为基准），则点比点高（ ） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 50米 【答案】D 【详解】解：根据题意得：（米）， 即点比点高50米． 4、表示的意义是（ ） A. 5个相加 B. 5个相乘 C. 5个3相加的相反数 D. 5个3相乘的相反数 【答案】B 【详解】解：的表示的意义是5个相乘． 5、点在数轴上距离原点个单位长度，若一个点从点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【详解】解：点在数轴上距离原点个单位长度， 点表示的数为或， 当点表示的数为时，点所表示的数是：； 当点表示的数为时，点所表示的数是：； 综上所述，点所表示的数是或， 6、 已知有下列四个算式：①；②； ③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【详解】解：①错误； ②错误； ③错误； ④，正确， 有一个计算正确， 7、 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解： = = = ． 8、已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断①；②；③；④中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【详解】解：根据题意得：，， ∴故①正确； ∴，故②错误； ∴，故③错误； ∴，故④正确； 所以结论正确的是①④，共2个． 9、已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＞0 C. a、b同号 D. a、b异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【详解】∵ab＜0， ∴a，b异号， ∵a+b＞0， ∴正数的绝对值较大， 10、对于数133，规定：第一次操作为：第二次操作为按此规律操作下去，则第888次操作后得到的数是（ ） A. 55 B.133 C. 250 D. 1 【答案】B 【详解】解：第一次操作为， 第二次操作为， 第三次操作为， 第四次操作为， ．．． ∴操作结果，以3为周期，循环出现， ∵， ∴第888次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同， ∴第888次操作后得到的数是133． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12、计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 13、李叔叔经营一家水果超市，李叔叔随机抽取了五月份其中6天的营业额（单位：万元）分别为3、2、6、4、1、2，请你帮李叔叔估计一下五月份的营业额约是______万元． 【答案】93 【详解】（3+2+6+4+1+2）÷6=3（万元） 3 ×31=93（万元） 故答案为：93 14、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是______． 【答案】 【详解】解：由前三个式子得到规律计算该式得： ， 故答案为． 15、已知，均为有理数，现定义一种新的运算，规定．例如：．则______． 【答案】 详解】解：， 故答案为：． 16、高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题16分，18--20，每题6分，21题8分，22--24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）7 （2）18 （3） （4） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： 18、出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，若小明家距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？ 【答案】小明还要行驶11千米才能到家 【详解】解：根据题意，小明送完最后一名乘客的位置为： （千米）， ∴（千米）； 答：小明还要行驶11千米才能到家 19、阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式 (第一步) (第二步) =1× 10 (第三步) (第四步) 解答下列问题： （1）第一步的依据是____________，第二步的依据是__________； （2）上面的解题过程是从第___________步开始出错的，请把正确的解题过程写出来． 【答案】（1）乘法的交换律，乘法的结合律 （2）三， 【小问1详解】 解：第一步的依据是乘法交换律，第二步的依据是乘法结合律， 故答案为：乘法的交换律，乘法的结合律； 【小问2详解】 解：原式 ， 故从第三步开始出错，正确结果为． 20、某公司年月—月平均每月亏损万元，月—月平均每月盈利万元，月—月平均每月盈利万元，月—月平均每月亏损万元．这个公司年总的盈亏情况如何？ 【答案】这个公司年总盈利为万元 【详解】解：记盈利为正，亏损为负， 则总的盈亏情况为：（万元）， 答：这个公司年总盈利为万元． 21、数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 22、最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里，路程最多的一天和最少的一天路程分别是第几天？路程最多的一天比最少的一天多走几？ （2）求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶100需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】（1）路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，最多的一天比最少的一天多走49 （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400 （3）估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元 【小问1详解】 解：由题意得， ， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案：49． 【小问2详解】 由题意得， ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． 【小问3详解】 用汽油的费用：（元， 用电的费用：（元， （元， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 23、先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与 （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 【答案】（1）相等 （2） （3）5 【小问1详解】 解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 24、【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②；（2）6；（3）见解析． 【详解】解：（1）， 、同号， 、同为正数时，； 、同为负数时，； 故答案为：①② （2）最大 、同号， ， 、同为负数， 、为整数， 、分别为和，此时；或、分别为和，此时， 故答案为：6； （3）， 、异号， 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $