（暑假作业）基础与拔高专题：整式的乘除-2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

**基本信息** 以基础巩固与拔高达成为双主线，通过幂的运算、乘法公式等核心方法，构建从概念应用到新定义拓展的整式乘除知识体系，渗透抽象、推理与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|17题（如3、7、17题）|整体代入求值、系数分析求参数、面积法验证公式|从幂的运算到乘法公式，再到几何直观应用，形成“运算-公式-模型”递进链条| |拔尖闯关|3题（18、20题）|新定义迁移应用、对称多项式推理|以“完美数”“对称多项式”为载体，深化公式变形与逻辑推理，体现知识拓展性|

（暑假作业）基础与拔高专题：整式的乘除-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 01 基础闯关 1．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 6．已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 7．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 9．某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 10．若，则_____． 11．若，，则的值为________． 12．已知，则的值为________． 13．如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 14．观察下列运算并填空． ； ； ； ； ； …… 试猜想：当且为整数时，________． 15．计算：． 16．先化简，再求值：，其中，． 17．学完整式的乘法公式后，爱思考的小丽同学为了探究公式之间的联系，她把一个长为，宽为的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2）．请你根据小丽的操作回答下列问题： (1)图1中每个小长方形的长和宽分别为________，图2中大正方形的边长为________，中间小正方形（阴影部分）的边长为________（均用含a，b的式子表示）； (2)小丽发现可以用两种方法求图2中小正方形（阴影部分）的面积，请你帮她写出来（直接用含a，b的式子表示，不必化简）：方法1：________，方法2：________． (3)根据（2）中的结论，探究，，间的等量关系； 02 拔尖闯关 18．定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； (1)在6，26，99中，是“完美数”的是________； (2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； (3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 19．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 20．探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式是关于的多项式，且满足两个条件：1．是一个“二元对称多项式”；2．多项式经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． (1)任务1：，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． (2)任务2：已知关于的多项式：，（为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． (3)任务3：已知关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”，求的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：整式的乘除-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C B B A C 1．D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中的取值范围为，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 2．A 【详解】解：选项A、，计算正确； 选项B、与不是同类项，不能合并，计算错误； 选项C、，计算错误； 选项D、，计算错误． 3．C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 4．C 【分析】两个幂的指数相同，可逆用积的乘方运算简化计算． 【详解】解： ． 5．B 【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：． ∵， ∴，， ∴． 6．B 【分析】利用完全平方公式变形，将用已知的与表示，代入计算即可 【详解】解：， ． 7．A 【详解】解：． ∵计算结果不含的一次项， ∴， 解得． 8．C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 9． 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 10． 【分析】将等式左边展开，利用多项式相等对应项系数相等，求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开等式左边，， ∵ ∴可得方程组， 解得：， ∴． 11． 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 12． 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 13． 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序得， ∵， ∴， ∴输出的x为． 14． 【分析】观察已知算式得到规律即可． 【详解】解：观察几个算式可知，结果都是完全平方式，且…， 由此可知，最后一个式子为完全平方式，且底数． ∴ 15． 【分析】先根据同底数幂除法、幂的乘方、同底数幂乘法依次计算，再按照整式加减合并同类项即可求出答案． 【详解】解： ． 16．， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 17．(1)，；； (2)； (3) 【分析】（1）观察图形结合条件即可； （2）方法1：直接用正方形面积公式，方法2：用整体减部分的思路，大正方形面积减去4个小长方形的总面积即可得到阴影面积； （3）由（2）可知两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，数值必然相等，据此列等式即可． 【详解】（1）解：∵图1的大长方形长为、宽为，沿虚线平均分成4个完全相同的小长方形， ∴每个小长方形的长是，宽是； ∴ 图2的大正方形的边长是小长方形的长加宽，即； 中间阴影小正方形的边长是小长方形的长减去宽，即； （2）解：方法1：∵阴影小正方形边长为， ∴面积为； 方法2：大正方形面积是， ∵每个小长方形面积是， ∴4个的总面积是， ∴阴影面积为； （3）解：两种方法计算的是同一个阴影部分的面积，数值必然相等， ∴． 18．(1) (2)（答案不唯一） (3)证明：，都是“完美数”， 可设，，其中，，，都是非负整数． 对式子变形配方： 整理得． ， ，，，都是非负整数， ，都是整数，平方后均为非负整数． 可以表示为两个非负整数的平方和． 也是“完美数”． 【分析】（1）根据定义，逐一验证三个数能否表示为两个非负整数的平方和，即可得到结果． （2）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （3）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【详解】（1）解： 对三个数逐一验证： 6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”； ，符合“完美数”的定义，是“完美数”． 99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”． （2）对配方得： ． 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可． 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一． （3）略 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案； （3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)①④ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“二元对称多项式”的定义逐一判断即可； （2）可求出，根据是“二元对称多项式”，可得，则可求出，据此计算出的结果，再根据定义判断即可； （3）可证明多项式和都不是“二元对称多项式”，则由“二元对称关联多项式”的定义得到多项式是“二元对称多项式”，则；可知多项式不能由多项式和进行加减计算得到，则由“二元对称关联多项式”的定义可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； ∴①④是“二元对称多项式”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵是“二元对称多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 多项式交换x、y的位置为多项式， ∵多项式与多项式相等， ∴也是“二元对称多项式”． （3）解：多项式交换x、y的位置为多项式，交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式” 多项式交换x、y的位置为多项式交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， ∵关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”， ∴多项式是“二元对称多项式”， ∴， ∴； ∵多项式和多项式中未知数x、y的次数都为1，而多项式中未知数x、y的次数含有2次， ∴多项式不能由多项式和进行加减计算得到， ∴由“二元对称关联多项式”的定义可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $