专题18角的和差及余角与补角精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦角的和差及余角与补角核心知识点，系统梳理角的和差运算（含60进制）、角平分线及n等分线（射线性质与等分关系）、余角补角（定义、性质及数量关系），通过定义辨析、错误提示构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于分层题型设计（基础到拔高）与实际问题融入（如三角板、钟表、平面镜反射），培养学生几何直观与空间观念，强化逻辑推理与符号表达能力。课中辅助教师因材施教，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题18角的和差及余角与补角精讲学案 核心立意： 理解角的和差几何意义，掌握角平分线概念及角度计算；会作角的和差图形；认识余角、补角，熟记余角补角性质，会进行相关推理计算，进一步提升几何符号书写与简单逻辑推理能力。 角的和差： 两个角可以相加或者相减，角的和、差仍然是角；角度运算要注意60进制的进位与借位；可以利用尺规作图作出两个角的和与差。 角平分线： 从角的顶点出发，把一个角分成两个相等角的射线；若OC平分AOB，则AOC=BOC= AOB，AOB=2AOC=2BOC，角平分线一定在角的内部，是射线，不是线段、直线。 角的n等分线： 把一个角平均分成n份的射线，可用于角度分段计算。 余角定义： 如果两个锐角的和等于90，就称这两个角互为余角，简称互余。 补角定义： 如果两个角的和等于180，就称这两个角互为补角，简称互补。 余角性质： 同角（或等角）的余角相等。 补角性质： 同角（或等角）的补角相等。 一个锐角有余角，锐角、直角、钝角都存在补角；直角没有余角，钝角没有余角。 重点辨析 1.互余、互补只看角度数量关系，和两个角的位置没有关系，不需要挨在一起。 2.角平分线是射线，不能说成线段或者直线，必须位于角内部。 3.互余一定是两个锐角，一个角不能叫余角，只能说两个角互为余角。 4.计算余角用90去减，计算补角用180去减，分清二者基准度数。 1.混淆余角、补角基准，求余角用180计算，求补角用90计算。 2.误认为两个角挨在一起才叫互余、互补，忽略只看度数关系。 3.把角平分线当成线段或者直线。 4.钝角求余角，忽略钝角不存在余角。 5.角度做和差运算，度分秒60进制进位、借位出错。 6.几何解答题使用余角、补角性质时，不写推理依据。 题型 考察方向 难度 题型一 三角板中角度计算问题 ★★ 题型二 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型四 角平分线的有关计算 ★★★ 题型五 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型六 求一个角的余角 ★ 题型七 求一个角的补角 ★ 题型八 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型九 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记三角板固定角度：30、60、90、45，②将已知角度标注在图上，③分析图形利用角的和差列式计算，④重叠题型找准公共角，不虚构特殊角度。 1．下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 2．如图，将含角的三角板与含角的三角板按不同位置摆放，下列选项中，和不相等的是（   ） A． B． C． D． 3．一副三角板按如图所示的方式摆放，且的度数是的2倍，则的度数为___________． 4．一副三角板按如图位置摆放，其右侧两顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型二：几何图形中角度计算问题 解题思路：①观察图形写出角的和差关系式，②条件简单直接代入数值计算，③条件复杂设未知角为x列方程求解，④关注射线位置，防止漏解。 5．如图，，平分，平分，则的度数为______． 6．如图，已知，，，且，那么________． 7．两个一样的正方形纸片和如图摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 题型三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①钟表牢记分针每分钟转6，时针每小时转30、每分钟转0.5，②方位角以正南正北为基准画示意图，③结合角的和差列式求结果。 9．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 11．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型四：角平分线的有关计算 解题思路：①看到角平分线写出等分倍数关系，②结合图形运用角的和差推导计算，③射线位置不确定时要分类讨论。 12．如图所示，点在直线上，射线平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 13．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 14．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，点B在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为________． 题型五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①n等分线将大角平均分为n份，小角=大角，②分清所求角占几份，③可结合角平分线（2等分线）综合运算。 16．射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 17．，射线，是它的三等分线，则相邻两条等分射线所成的角为_________． 18．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 19．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 题型六：求一个角的余角 解题思路：①套用公式：余角=90-这个角，②只有锐角才存在余角。 20．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 21．若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 22．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 23．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型七：求一个角的补角 解题思路：①套用公式：补角=180-这个角，②锐角、直角、钝角均有补角。 24．已知，则的补角是（     ） A． B． C． D． 25．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 26．已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 27．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为____________． 题型八：与余角、补角有关的计算 解题思路：①设原角为x，②分别用(90-x)、(180-x)表示余角、补角，③依据题意列一元一次方程，④求出结果后检验是否符合条件。 28．若与互余，与互补，，则________． 29．将一副三角板按如下方式摆放，其中与不互补的是（　　） A． B． C． D． 30．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 31．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型九：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①熟记性质：同（等）角的余角相等，同（等）角的补角相等，②结合图形找到公共余角或者公共补角，③书写步骤必须写明该条推理依据。 32．已知， 所以∠1 ________∠3，根据是______ 33．如图，将两个直角三角形的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 34．如图，在中，若，于点，，，则___________． 35．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．如果一个角的补角比这个角的余角的3倍还多，求这个角的补角的度数． 2．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 3．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 4．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 5．【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18角的和差及余角与补角精讲学案 核心立意： 理解角的和差几何意义，掌握角平分线概念及角度计算；会作角的和差图形；认识余角、补角，熟记余角补角性质，会进行相关推理计算，进一步提升几何符号书写与简单逻辑推理能力。 角的和差： 两个角可以相加或者相减，角的和、差仍然是角；角度运算要注意60进制的进位与借位；可以利用尺规作图作出两个角的和与差。 角平分线： 从角的顶点出发，把一个角分成两个相等角的射线；若OC平分AOB，则AOC=BOC= AOB，AOB=2AOC=2BOC，角平分线一定在角的内部，是射线，不是线段、直线。 角的n等分线： 把一个角平均分成n份的射线，可用于角度分段计算。 余角定义： 如果两个锐角的和等于90，就称这两个角互为余角，简称互余。 补角定义： 如果两个角的和等于180，就称这两个角互为补角，简称互补。 余角性质： 同角（或等角）的余角相等。 补角性质： 同角（或等角）的补角相等。 一个锐角有余角，锐角、直角、钝角都存在补角；直角没有余角，钝角没有余角。 重点辨析 1.互余、互补只看角度数量关系，和两个角的位置没有关系，不需要挨在一起。 2.角平分线是射线，不能说成线段或者直线，必须位于角内部。 3.互余一定是两个锐角，一个角不能叫余角，只能说两个角互为余角。 4.计算余角用90去减，计算补角用180去减，分清二者基准度数。 1.混淆余角、补角基准，求余角用180计算，求补角用90计算。 2.误认为两个角挨在一起才叫互余、互补，忽略只看度数关系。 3.把角平分线当成线段或者直线。 4.钝角求余角，忽略钝角不存在余角。 5.角度做和差运算，度分秒60进制进位、借位出错。 6.几何解答题使用余角、补角性质时，不写推理依据。 题型 考察方向 难度 题型一 三角板中角度计算问题 ★★ 题型二 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型四 角平分线的有关计算 ★★★ 题型五 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型六 求一个角的余角 ★ 题型七 求一个角的补角 ★ 题型八 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型九 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记三角板固定角度：30、60、90、45，②将已知角度标注在图上，③分析图形利用角的和差列式计算，④重叠题型找准公共角，不虚构特殊角度。 1．下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 【答案】C 【分析】利用三角板的所有度数的和或差解题即可． 【详解】解：A、，故能画出； B、，故能画出； C、三角板中，没有两个角的和或差是，故不能画出； D、，故能画出． 2．如图，将含角的三角板与含角的三角板按不同位置摆放，下列选项中，和不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，不符合题意； B.，，不符合题意； C.，不符合题意； D.，，，符合题意． 3．一副三角板按如图所示的方式摆放，且的度数是的2倍，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据三角板摆放特征，得出、与直角的和为，再结合的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵、与三角板的直角组成一个平角， ∴， ∵的度数是的2倍，即， ∴， 解得． 4．一副三角板按如图位置摆放，其右侧两顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型二：几何图形中角度计算问题 解题思路：①观察图形写出角的和差关系式，②条件简单直接代入数值计算，③条件复杂设未知角为x列方程求解，④关注射线位置，防止漏解。 5．如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知，，，且，那么________． 【答案】 【分析】利用角的和差关系：，代入各个含x的角度，列一元一次方程求出x，再计算． 【详解】∵，，，且， ∴， 解得， ∴． 7．两个一样的正方形纸片和如图摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差运算，掌握角的和差关系是解题的关键． 由题可知，再根据即可求解． 【详解】根据题意，， ， ． 故选：B． 8．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 题型三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①钟表牢记分针每分钟转6，时针每小时转30、每分钟转0.5，②方位角以正南正北为基准画示意图，③结合角的和差列式求结果。 9．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 10．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 11．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型四：角平分线的有关计算 解题思路：①看到角平分线写出等分倍数关系，②结合图形运用角的和差推导计算，③射线位置不确定时要分类讨论。 12．如图所示，点在直线上，射线平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义和平角的性质，关键是先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平角为计算的度数． 【详解】解：∵射线平分，， ∴； ∴； 故选：A． 13．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 14．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 15．如图，点B在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义，由角平分线的定义得，，进而得，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①n等分线将大角平均分为n份，小角=大角，②分清所求角占几份，③可结合角平分线（2等分线）综合运算。 16．射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 【答案】 16 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行七等分，即可得每个小角的度数． 【详解】解：∵射线是的七等分线，， ∴每个小角的度数为． 故答案为：16． 17．，射线，是它的三等分线，则相邻两条等分射线所成的角为_________． 【答案】36 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键． 由三等分线的定义可知，将角平均分成三个相等的部分，每个部分的角度相等即可解答． 【详解】解：∵，射线，是它的三等分线， ∴每个等分角的度数为． ∴相邻两条等分射线所成的角为． 故答案为：36． 18．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 19．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 题型六：求一个角的余角 解题思路：①套用公式：余角=90-这个角，②只有锐角才存在余角。 20．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 互余的两个角的和为，， ∴ 的余角为 . 21．若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 22．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 【答案】 /度 【分析】设这个角为未知数，根据补角定义和题目条件列方程求出这个角的度数，再根据余角定义计算余角度数． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互为补角的两个角和为，且该角的补角是这个角的两倍， ∴ 可得方程 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ 互为余角的两个角和为， ∴ 这个角的余角为 ． 23．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 题型七：求一个角的补角 解题思路：①套用公式：补角=180-这个角，②锐角、直角、钝角均有补角。 24．已知，则的补角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为补角的两个角的和为，代入数值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 25．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 26．已知，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于是解题的关键．利用互补两角和为，求解即可． 【详解】解：互补两角和为， 的互补角为， 故选：B． 27．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 题型八：与余角、补角有关的计算 解题思路：①设原角为x，②分别用(90-x)、(180-x)表示余角、补角，③依据题意列一元一次方程，④求出结果后检验是否符合条件。 28．若与互余，与互补，，则________． 【答案】 【分析】根据与互余，与互补进行计算即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 29．将一副三角板按如下方式摆放，其中与不互补的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项中，，∴； B项中，，∴； C项中，，，，符合题意； D项中，，∴． 30．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 31．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 题型九：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①熟记性质：同（等）角的余角相等，同（等）角的补角相等，②结合图形找到公共余角或者公共补角，③书写步骤必须写明该条推理依据。 32．已知， 所以∠1 ________∠3，根据是______ 【答案】 同角的补角相等 【分析】根据已知条件判断和都是的补角． 再根据同角的补角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的补角相等）． 33．如图，将两个直角三角形的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识，根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：由题意可知，， ，， （同角的余角相等）， 故选：A 34．如图，在中，若，于点，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 35．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键．①由已知得，即可判断；②由角的和差得，即可判断；③由角的和差得，即可判断；④由角平分线定义得，，由角的和差得即可判断． 【详解】解：①和都是直角， ， ； 故此项正确； ②和都是直角， ， 变小，则变大； 故此项错误； ③由②得 ， ， ， ， 故此项错误； ④OM平分平分， ， ， ， ； 故此项正确； 故选：B． 解答题 1．如果一个角的补角比这个角的余角的3倍还多，求这个角的补角的度数． 【答案】这个角的补角的度数为． 【分析】设这个角的度数为未知量，根据补角、余角的定义结合题干给出的数量关系列方程求解，进而计算其补角度数． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 所以这个角的补角为． 答：这个角的补角的度数为． 2．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) 将逐渐增大．理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）略 3．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 4．如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为秒 (3)存在，t的值为15秒或秒 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据平分，得到，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）分及两种情况考虑，当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）当时，． （2）平分， 解得：（或者11.25） 答：当恰好平分时，t的值为秒． （3）当，重合时， 解得： 当时： 解得： 当时， 解得：（或者22.5） 答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒． 5．【知识背景】 如图1，射线在内部，且满足则称射线是的“四分位线”；若则称射线是的“四分位线”． 【知识应用】 如图2，射线是的“四分位线”． (1)求的度数； (2)若射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与重合时停止转动，在旋转过程中，设运动的时间为． ①若射线是的“四分位线”时，运动时间为多少秒？ ②若射线开始旋转时，也绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与的反向延长线重合时停止转动，当为定值，且射线恰好是的“四分位线”时，求的值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题考查结合新定义“四分位线”考查角的等分线，涉及角的旋转运动、角的和差计算等知识，关键是紧扣定义，结合角的旋转速度与时间的关系推导角度表达式． （1）根据“四分位线”的定义，直接代入计算； （2）①先求出的度数，再根据“四分位线”定义得到的度数，结合旋转速度计算时间； ②先推导旋转后与的表达式，根据“定值”条件确定的值，再结合“四分位线”定义求出，最终计算． 【详解】（1）解：∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∵射线是的“四分位线”， ∴， ∵射线的旋转速度为每秒， ∴运动时间， 即运动时间为秒； ②解：∵绕着点以每秒的速度逆时针旋转，初始， ∴旋转后， ∵射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵为定值， ∴，解得， ∵射线是的“四分位线”， ∴，即，解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $