第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 系统整合二面角传统法（定义法、三垂线法、射影面积法）与向量法，构建“方法梳理-题型应用-素养提升”的完整训练体系，突出几何直观与代数运算的融合。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4种方法|定义法取特殊点作棱垂线；三垂线法定“三垂”步骤；射影面积法用面积比求余弦；向量法通过法向量夹角结合图形判断锐钝|从二面角定义出发，由几何直观（传统法）到代数化（向量法），形成“概念-方法-应用”递进逻辑| |题型精讲|6题型（含探索性问题）|传统法解规则几何体；射影面积法适用于可求面积投影；向量法处理定值、最值、参数及探索性问题|题型覆盖基础计算到综合探究，典例含正方体、圆锥、折叠体等模型，体现“以题载法”，培养空间观念与推理能力|

第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 4、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 第二部分 题型精讲 题型01求二面角（传统法） 【典例1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的线面关系找出二面角的平面角计算即可. 【详解】如图，在正方体中，连接交于， 由为正方体，从而，， 又，平面， 平面，因为平面， 从而，从而为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则，，， 从而. 即二面角的正切值为 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 【变式1】（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角平面角的定义得到为二面角的平面角，然后计算即可. 【详解】如图，取中点，连接， 根据长方体的性质和可得，，， 所以，， 又平面，平面， 所以为二面角的平面角， 则，，， 所以. 【变式2】（25-26高一下·山东·期末）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，且．则二面角的余弦值为__________． 【答案】/0.25 【分析】作于，连接，证明就是二面角的平面角，借助于，利用余弦定理求解即得. 【详解】由题意，，， 因此.过作于，连接，由全等可得， 因此就是二面角的平面角，设为. 在中，，， 因，又， 则得，解得，同理. 在中，由余弦定理： . 【变式3】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 题型02利用面积投影法求二面角（定值） 【典例1】3．（24-25高二下·全国·课后作业）在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，则平面与平面所成的锐二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形与四边形均为直角梯形，A，D，C，B是直角顶点，其他面均是矩形，∴这个六面体是四棱柱． 由题意可知两两垂直， 平面． 同理都垂直于平面，∴矩形是矩形在平面上的射影． ∴设平面与平面所成的锐二面角为，则． 故选：B. 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）在空间中，点A、B、C在平面上的投影分别为、、．若是等腰直角三角形，且是等边三角形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________． 【答案】/ 【分析】利用设值法来求解，将问题从一般到特殊，再利用射影面积公式：来求解． 【详解】设等腰直角三角形中，，，则， 点在平面上的投影分别为、、， 设， 是等边三角形，设其边长为，则： ， 令，则代入上式得： ， 由前两式知：，取（不符合题意），代入中， ， ， 解得：， ， 即， 设平面与平面所成的锐二面角为，根据射影面积公式： ． 【变式1】四边形是边长为的正方形，和都与平面垂直，在平面同侧，且，则平面与平面所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】设平面与平面所成角的大小为，根据和都与平面垂直，则在平面上的射影为，分别求得和由求解. 【详解】设平面与平面所成角的大小为， 在平面上的射影为，易得. 如图所示：    易知， ， 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·河南安阳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为______；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为______． 【答案】 【分析】设平面交于点，可知平面截正方体所得截面为，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积，再由二面角余弦公式求值即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可证， 四边形是平行四边形， ，， 又，， ，，则为的中点，，同理， 所以截面是边长为的菱形，其对角线，， 故截面面积． 设平面与底面ABCD所成锐二面角为， 因为截面在底面的射影为正方形， 所以. 故答案为：；. 题型03利用向量法求二面角（定值） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的所有棱长都为2，平面与平面夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，结合公式求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接与， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以且平面⊥平面， 所以平面， 在矩形中，，分别为，的中点， 所以， 以为原点，以，，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正三棱柱的所有棱长都为2，可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以； 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 故答案为：. 【典例2】（25-26高二上·山西晋中·期中）已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】如图作，垂足为，作，垂足为，分别求出相关边长，由结合向量的数量积的运算律，计算得到，利用空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足为，作，垂足为， 因，则， 在中，由三角形面积相等可得， ， 同理可得， ，则. 由图知，，则，因， 则有 解得，故， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·天津武清·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______；二面角的正弦值为_______． 【答案】 /0.8 【分析】建立空间直角坐标系，求得结合向量的夹角公式，即可求出直线与所成角的余弦值；分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 【变式2】（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________.    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】    如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为： 题型04利用向量法求二面角（最值或范围） 【典例1】（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得. 【详解】如图，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为，由题意，为锐角，则 ， 当时，，则； 当时，， 因在单调递减，故， 此时，则得， 综上，可得， 故二面角的最大值为. 【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______.    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】连接，因为在平面内的射影为， 所以垂直于平面内这两条线段， 又因为底面是边长为2的等边三角形，是线段中点， 所以， 因此建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 设，， 则， 设平面的法向量为， 因此有， 设平面的法向量为， 因此有， 所以， 令， 所以， 设， 则, 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，结合二次函数的单调性求解值域. 【变式1】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取棱的中点，连接，证得平面.所以平面平面.因为平面平面，过点作，垂足为，则平面.由平面平面，所以平面过，即三点共线.建立恰当坐标系，根据二面角余弦值的向量求法，结合函数的最值可得其最大值. 【详解】由题可知，等腰梯形中，且. 分别取棱的中点，连接，则. 连接.则. 所以因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，过点作，垂足为，则平面. 因为平面平面，所以平面过，即三点共线. 连接易知. ，. 所以. 又. 如图以点为坐标原点，所在直线为轴，过M垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量. 则，所以， 所以，令，则. 设，因为， 所以， 设平面的一个法向量. 因为, 所以，所以. 令，则. 所以. 所以. 当时，； 当时，. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题设可得构建为原点的空间直角坐标系，根据已知标注相关点的坐标，设，，，可得的坐标，进而求面与面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示得到关于的表达式，由二次函数的性质即可求其最大值. 【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌， ∴，设，则， ∵为的中点，则， ∴，即， 以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、， 设，，，则，而，， ∴、、， ∴， ∴、、、， 设面的一个法向量，则， 即，令，则， 设面的一个法向量 ，则，即， 令，则， 面与面所成锐二面角的平面角为，则， 当时 ，即的最大值为. 故答案为：. 【变式3】如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则_____________． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为1，，以为坐标原点，，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定、坐标进而得到、的坐标表示，求面、面的法向量，结合图形根据法向量夹角与二面角的关系，有关于的二面角余弦值的函数，求最值即可得的值 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，，则易得，， 则，，设平面的一个法向量为 则，令，得平面的一个法向量为 由平面为xOz平面，可知其一个法向量为 由图知：平面与平面所成的二面角为锐角，设其为，则 当即时，取最小值，取最大值，此时最小角，即 【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，构建空间坐标系并用坐标表示相关点坐标，将平面中两相交线段用向量的坐标形式表示求法向量，根据平面法向量夹角与二面角的关系，结合向量的数量积坐标公式得到二面角余弦值 题型05已知二面角求参数 【典例1】（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·吉林·期中）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答. 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为和. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【答案】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：    【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 故答案为：1 题型06二面角中的探索性问题 【典例1】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 【典例2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2)存在，． 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【详解】（1）略． （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 【变式1】（25-26高一下·河北衡水·期末）如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图1，在梯形中，取边的中点，连接. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且， 所以平面 (2) (3)侧棱上不存在点，使得二面角的余弦值为. 【分析】（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得 ；翻折前后边长不变，结合的长度条件，用勾股定理逆定理证得 ；再依据线面垂直判定定理，证得平面； （2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥的高线，算出高线长度与底面面积，再利用棱锥体积（底面积乘以高除以3）的公式求解体积即可； （3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱长度约束参数取值范围，判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）如图2，取棱的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， 因为，且为线段的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积. （3）假设存在满足条件的点. 如图2，作，垂足为，作，垂足为. 由（2）可知平面平面，又，且平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，，所以平面. 因为平面，所以， 则为二面角的平面角. 由翻折知，，且， 在中，由余弦定理： ， 又，故， 设，在中： ， 因为，且， 所以，， 所以，则，故， 由题意可得， 所以， 因为平面，且平面，所以， 所以，则，解得，故. 因为侧棱线段总长，， 所以点落在的延长线上，线段上不存在满足条件的点， 所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为. 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接，交于，连接， 在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 连接，菱形中，，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，， 所以平面； (3)不存在，利用平面夹角的向量坐标公式列式计算即可判断 【分析】（1）中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可； （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）不存在，理由如下：取的中点， 因为分别是的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，， 设，， 因为，所以， 解得，，，即， 所以, 设平面的法向量， ，令，得， 显然是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为， 所以，化简得，解得， 因为，所以线段上不存在点，使二面角为． 【变式3】（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由见详解. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，计算两个平面法向量数量积为0即可证明. （2）利用向量法求出平面法向量，利用向量法表示出二面角的大小，建立方程求解分析即可. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，且平面， 所以以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则， 又，在棱上，，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以，所以平面平面. （2）存在点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由如下： 设点在线段上，且，则， 当时，重合，得不到二面角不满足题意， 当时，重合，此时二面角即为， 因为平面，即平面，且平面， 所以平面平面，即二面角为直二面角，不满足题意，所以， 由， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则 ，即或， 当时，解得：，当时，无解，故， 即，所以存点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 4、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 第二部分 题型精讲 题型01求二面角（传统法） 【典例1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【变式1】（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·山东·期末）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，且．则二面角的余弦值为__________． 【变式3】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 题型02利用面积投影法求二面角（定值） 【典例1】3．（24-25高二下·全国·课后作业）在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，则平面与平面所成的锐二面角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）在空间中，点A、B、C在平面上的投影分别为、、．若是等腰直角三角形，且是等边三角形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________． 【变式1】四边形是边长为的正方形，和都与平面垂直，在平面同侧，且，则平面与平面所成角的余弦值为________. 【变式2】（23-24高一下·河南安阳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为______；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为______． 题型03利用向量法求二面角（定值） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的所有棱长都为2，平面与平面夹角的余弦值为________． 【典例2】（25-26高二上·山西晋中·期中）已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为__________. 【变式1】（24-25高一下·天津武清·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______；二面角的正弦值为_______． 【变式2】（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________.    【变式3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________． 题型04利用向量法求二面角（最值或范围） 【典例1】（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为______.    【变式1】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【变式3】如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则_____________． 题型05已知二面角求参数 【典例1】（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·吉林·期中）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______． 题型06二面角中的探索性问题 【典例1】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【典例2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26高一下·河北衡水·期末）如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【变式3】（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $