湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题

2027届高三8月检测(2026年高考真题仿真) 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.A2.A3.B4.A5.B6.C7.B8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=t x 3 1B.5 14.215 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)略，22 【详解】(I)设PD的中点为E,连接EA,EN, 因为E'N是pDPC的点，所以在△PDC中，ENWDG,BN=DC, 因为ABCD为正方形，M为AB中点，所以AMDC:AM=DC, 所以AMIIEN,AM=EN,即四边形AMNE是平行四边形， 所以MNIIAE,又因为AEc平面PAD,MN文平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在正方形ABCD中，DA⊥DC, ZA A M B 所以以{DA,DC,DP}为正交基底建立空间直角坐标系0-z, 因为PD=AD=2,所以C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2), 所以PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2).设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,2), m·PB=0「2x+2y-2z=0 所以 mPC=0y-2:=心解彩-0家，=得：-所以后=0 即 z=1 又平面PAD 。的-个法向量为万=(0,10，所以cos(m,)=mV2), 2 所以平面P4D与平面PBC夹角的余弦值为2· x2,y2 16.【答案】(1)。+ 82 =1(2)见答案 详解a)设椭圆方程为+=Q>b>0),由离心率es因 2,得V a 21 由短轴的一个端点为(0，V2),得b=V2, 圆为。+之所以020，所巴，一8所以稻圆方程羽、十y =1. 2 (2) x2 y2 由(1)知椭圆方程为 =1 82 x2 y2 =1 82 联立 1 ,解得〔x=2或「x=-2, y= 2 y=1y=-1 1 因为点M在第一象限内，所以M(2,),设直线，的方程为y=2x+m. 1 y=二x+m 21 由 x2 y2 ，得 =1 82 x2+2mx+2m2-4=0 设直线MA,MB的斜率分别为k,飞2， 65习 设A)6,）则=片 七3-2 由x2+2mx+2m2-4=0,得x+x3=-2m,xx2=2m2-4, k+k=+10-s-2)+0-1x-2) x-2x2-2 (x-2)(x2-2) （合+--24+m--2》5+m-2g+-4a- (x-2)(x2-2) (x-2)(x2-2) 2m2-4+(m-2)(-2m）-4(m-）_2m2-4-2m+4m=4m+4=0.」 (x-2)(x2-2) (x-2)(x2-2) 即k,+k,=0.故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 17.【答案】)证明见解折(2f3)-(2m-)3+3 4 【详解】（山）证明：由已知可得-+1，即 antdn =1. n+l n "n+l n 是以导=1为首项，1为公若的等差数列： an 所以 (2)由(1)得： a=1+(n-1)1=n,所以a,=n2, n 所以/)+2++，故G=x+2r++m 3 m+1 可得f'(3)=3+232++m3①， 所以3f(3)=1×32+2×3+3×34++(m-1)3"+m.3m②. 由①-②有：-2f'(3)=3'+32+3+…+3m-m3m1 _30-3）m-3m0-2m3-3 1-3 233所以r)-m3+3 4 1R【路1山智25（到 【详解】(1)由正弦定理及acosC+ 2c=b,得sinAcosC+ sinC sinB 2 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 所以sin4cosC+2sinC=sindcosC+.cos4sinC,，即2sinC=cos4sinC, 1 又C∈(0，，所以sinC>0'所以cosA= 2 而A∈(0，)，所以A= 3 C (2②)因为D是BC中点，所以D=(aB+4C), 所以D-(aB+4C=aB+4C+24C, 所以6=4e+B+2bcos∠B1C.即F+c2+be=24 又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c=2W2时等号成立， 商以cSg所以5csin1≤25.即△BC西新的蓝大值为2N5 (3)因为(OA+0B)AB=(OB+0C)BC=0, 所以(OA+OB)(OB-OA=(OB+0C(OC-0B)=0, 所以0A=OB2,OB2=0C2,即|0 4H08H0C1, BC的外心，所以∠B0C=2∠BAC,∠AOC i钱角三角形可知名<∠ABC<子，则cos乙40Ce0,) 所以sm☑B0C-osZ40Ce(4引 19.【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 1 3 3 10 10 5 12n-30 (2)1 n(n-1） (3)见答案 【详解】(1)当n=5时，集合U=L,2,3,4,5},从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a, b’C’总的取法数为C3=3×2×1=10,」 分别是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(13,4)，(1,3,5)，（1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5). (3,4,5). [0,c-b与b-a均不为1， 由于随机变量X=1,c-b与b-a均为1， 2,c-b与b-a仅有一个为1 当x=0时，甲c-b1且6a1满远的合只有L3,所P(X=0)=0 当X=1时，即c-b=1且b-a=1,满足的组合只有(12,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以 PX=O 当x=2时，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=)=1-1-3=6-3 1010105: 所以，当n=5时，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 1 3 3 10 10 5 (2)对于一般的n(n≥5)，从集合U=1,2,3,,n}中一次取出3个不同的数a,b,c(a<b<c), 总取法数为C= (n-1(n-2）_n(n-1)n-2） 3×2×1 6 当X=0时，即c-b≠1且b-a≠1，所以c-b≥2且b-a≥2， 令d'=a,b=b-1,c'=c-2,由于1≤a<b<c≤n,且b≥a+2,c2b+2≥a+4,则 1≤a'<b'<c'≤n-2, 从n-2个数选出3个不同的数(a,b,)的方法数为C2,因此满足条件的组合数为C-2, (n-2)(n-3)(n-4) 所以PX=0)=C 6 _(n-3)(n-4) n(n-1)(n-2) n(n-1) 6 当X=1时，即c-b=1且b-a=1,所以a,b,c是三个连续的整数，即a,a+1,a+2, 。可以2”3一…n-2共n-2种选样，所PK=)-”2= Ci n(n-1)i 当X=2时，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1):因此， 8n=Dx=1=02w-2j=12-a4 n(n-1)n(n-1) =12n-30 n(n-1) 合T变Y~引两做（们-，Pr≥-1PV=0小=1-C[=1- ②可知5(x)2-0 E(x)+PV=)=12n-30+”-12m-30n n(n-1）22”n(n-)2-, nn、12n-30n 要证明E(y)P(Y≥)>E(X)+)P(Y=),即证明22>n-可2，即需证 112n-30、1 2n2(n-1)2”, 112n-30≥1(n25): ①先证明2n2(n-1)n ◆9e-9n2山 2n2(n-1) =m3-3m2-22n+60_(n2-3n-22)n+60 2n2(n-1) 2n2(n-1) 当n=5时，f(5)=0:当n=6时，f(6)=36>0, 令函数8(x)=x2-3x-22,则g(x)=2x-3,当x≥5时，g(x)>0,所以8(x)在x≥5时单调递增 且g(7)>0, 所以随着n(n≥5)的增大，f(n)也逐渐增大， t45s有70时0》：9： g证片a:由片 11_2”-n 于元2°=n-2°，且n-2”>0'2”-m>0对任意n≥5都成立， 所哈a现 112n-30、1 综上所述，27a->2,即E()P≥)>E(X)+P(=). 临澧一中2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从，，，…，中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得．已知函数，，，，那么实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A． B． C． D． 8．设随机变量的分布列为，，，…，，且，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A． B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 10．某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②．则下列说法正确的有（ ） A．多面体的体积为 B．经过三个顶点，，的球的截面圆的面积为 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．球离球托底面的最小距离为 11．已知圆，，，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点（异于），若，则（ ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为_________． 13．已知是实数，若，则的值为_________． 14．定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为、、…、，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 16．已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 17．已知数列中，，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求． 18．设锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值； （3）若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围． 19．设集合，，．从中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作，，．定义随机变量 （1）若，求的分布列； （2）求； （3）若随机变量，证明：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $