培优专练+三年真题15 正弦定理、余弦定理-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理为核心，构建从基础应用到综合拓展的知识体系，覆盖10大考点，题型多样，注重数学思维与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦/余弦定理解三角形|3-5题/含真题|直接应用定理求边角，基础判断|从定理直接应用到边角互化，构建“定理-转化-计算”逻辑链| |边角互化/面积公式|3-5题/含多选|结合三角恒等变换，面积与边角关系|衔接三角公式，强化“边化角”“角化边”转化思想| |综合应用/最值范围|3-4题/含解答题|多定理联用，结合函数求范围|从单一应用到综合问题，培养数学建模与逻辑推理| |几何图形/实际应用|3-4题/含图表题|平面几何、立体几何及测量问题|体现数学语言表达现实世界，强化应用意识|

培优专练+三年真题15正弦定理、余弦定理 【考点一】正弦定理解三角形 【考点六】正余弦定理的综合应用 【考点二】正弦定理边角互化的应用 【考点七】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点三】三角形面积公式及其应用 【考点八】几何图形中的计算 【考点四】余弦定理解三角形 【考点九】正、余弦定理与立体图形几何 【考点五】余弦定理边角互化的应用 【考点十】正、余弦定理的实际应用 【题型一】正弦定理解三角形 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 2．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，，，则______ 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 5．（多选）（2024·全国·模拟预测）若的三个内角为，则下列说法正确的有（    ） A．一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 【题型二】正弦定理边角互化的应用 1.（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 4．（2025·四川成都·一模）已知分别为三个内角的对边，若，则______. 5.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【题型三】三角形面积公式及其应用 1.（2026·湖南长沙·三模）在中，，，为边上一点，且，，则边长为（    ） A． B． C． D．4 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 3．（2026·陕西渭南·二模）若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 4.（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的面积为 【题型四】余弦定理解三角形 1.（2026·重庆·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 2.（多选）（2026·青海西宁·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【题型五】余弦定理边角互化的应用 1.（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 3.（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【题型六】正余弦定理的综合应用 1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 3．（2026·陕西渭南·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若的外接圆半径为，，求的周长． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 【题型七】求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是______． 3．（2026·上海·一模）设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 4.（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【题型八】几何图形中的计算 1.（2026·河北廊坊·一模）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则______. 4.（2026·河南开封·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 【题型九】正、余弦定理与立体图形几何 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为________. 【题型十】正、余弦定理的实际应用 1.（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 2．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·上海·三模）某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 4.（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）． (1)求楼高MO和楼尖MN； (2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO． 参考数据：，，， 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________． 3．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 三、解答题 5．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 8．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 9．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题15正弦定理、余弦定理 【考点一】正弦定理解三角形 【考点六】正余弦定理的综合应用 【考点二】正弦定理边角互化的应用 【考点七】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点三】三角形面积公式及其应用 【考点八】几何图形中的计算 【考点四】余弦定理解三角形 【考点九】正、余弦定理与立体图形几何 【考点五】余弦定理边角互化的应用 【考点十】正、余弦定理的实际应用 【题型一】正弦定理解三角形 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 2．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，，，则______ 【答案】4 【详解】由正弦定理可得，故，所以. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 【答案】 【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【详解】根据正弦定理知，， 又，，， 所以. 5．（多选）（2024·全国·模拟预测）若的三个内角为，则下列说法正确的有（    ） A．一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 【答案】AD 【分析】根据题意，利用正弦定理和特例，结合构成三角形的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理得， 所以作为三条线段的长一定能构成三角形，所以A正确； 对于B中，例如：设中，， 可得，可得， 显然作为三条线段不一定构成三角形，所以B错误； 对于C中，例如：设中，， 可得，所以， 此时，所以作为三条线段不能构成三角形，所以C错误； 对于D中，由正弦定理得， 不妨设，则，且， 又由，即， 所以D正确. 故选：AD. 【题型二】正弦定理边角互化的应用 1.（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【详解】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C 2．（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 3．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 4．（2025·四川成都·一模）已知分别为三个内角的对边，若，则______. 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，再利用化简可得，再结合两角差的正弦公式求解即可． 【详解】， ， 由正弦定理得， ， ， ， 又，，，即，，， 又，， ，即. 故答案为：. 5.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 【题型三】三角形面积公式及其应用 1.（2026·湖南长沙·三模）在中，，，为边上一点，且，，则边长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为，，所以， 因为， ， ， 所以，， 解得. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 【答案】/ 【详解】由正弦定理 ，代入已知可得， ， 因为，三角形内角和为，所以，即由上可得， 所以， 则由三角形面积公式 3．（2026·陕西渭南·二模）若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 【答案】 【分析】先根据正弦定理和余弦定理求出三角形三条边和角的正弦值，进而根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为， 对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以. 根据正弦定理得，而， 所以，化简得①. 根据余弦定理得②， ①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为. 又，所以，所以. 所以该三角形的面积为. 4.（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的面积为 【答案】ABC 【分析】由正弦定理及计算可得，结合题意由辅助角公式化简计算得可判断AB，结合AB选项结果计算得可判断C，由正弦定理及三角形面积公式计算得可判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为， 所以， 即，因为， 所以，所以，即， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 则，解得，故选项AB正确； 因为， 所以，故选项C正确； 若，则由正弦定理，可得， 所以，故选项D错误． 故选：ABC 【题型四】余弦定理解三角形 1.（2026·重庆·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】8 【详解】 对于，由余弦定理得， 代入，，，且，得： ， 整理得，解得或， 由于三角形边长为正数，舍去负根，因此. 2.（多选）（2026·青海西宁·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AC 【详解】由余弦定理，得， 即，解得或． 3.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先根据面积公式求出，再根据余弦定理求出； （3）利用面积分割结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. （3）因为，平分，所以， 又， 则， 则. 【题型五】余弦定理边角互化的应用 1.（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 2.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得 或2. 故答案为：或2. 3.（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 【题型六】正余弦定理的综合应用 1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系，再通过余弦定理建立关于的等式，从而求解的值. 【详解】因为，所以. 根据正弦定理可得，所以. 因为，所以根据余弦定理，可得：， 化简可得，所以. 因为为的边，，所以. 故选：D. 2．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】， 由余弦定理可得：， ，， 由，及正弦定理可知，， . 3．（2026·陕西渭南·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若的外接圆半径为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）由（1）及已知，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出即可. 【详解】（1）在中，由，得 ，而，解得，而， 所以. （2）由及的外接圆半径为，得，则 由余弦定理，得， 解得，所以的周长. 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解. （2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得的值，最后检验是否符合题意. 【详解】（1）已知，，，由余弦定理得： 因为所以由同角三角函数关系得： 的面积 （2）由正弦定理，且，， 代入得，约去（），解得． 则． 由余弦定理，代入，， 得：， 整理得，解得或． 当时，，则，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故． 【题型七】求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简，利用三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 由解得. ， 由于三角形是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：A 2.（2024·广东·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是______． 【答案】3 【分析】依次由正弦定理、余弦定理边角互换得条件等式，代入所求式子即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为：3. 3．（2026·上海·一模）设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 4.（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 【题型八】几何图形中的计算 1.（2026·河北廊坊·一模）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】过点作，利用等腰三角形的性质得到，再由条件求出，在中建立等式，求解. 【详解】 如图，过点作， 因为，所以是中点，且 又因为为边上靠近点A的三等分点，所以， 又因为，所以， 则，. 又因为，联立， 因为，所以，解得 在中，由余弦定理得 ， 解得，所以 2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 3.（2025·河南·二模）若为等边内一点，，，，则______. 【答案】/ 【分析】在中，由正弦定理可得，再在中，利用正弦定理化简可得，进而可得与，即可得解. 【详解】 如图所示，设等边三角形的边长为， 又，，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 化简可得，即， 在中，由正弦定理， 化简可得，即， 又在中可知，， 则，， 即， 故答案为：. 4.（2026·河南开封·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系求出，再根据正弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，在和分别计算，列出等式，将代入，即可解出. 【详解】（1）已知，故， 根据正弦定理可得.又，故，解得. （2）已知面积，由面积公式，代入，解得， 根据余弦定理得，解得， 因为为的中点，在中，在中， 故，即， 将代入上式，化简得，故. 【题型九】正、余弦定理与立体图形几何 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 2．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 3．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【答案】/ 【分析】取BD的中点E，分别求得AE，CE，由，得到，结合从而平面，得到AE为三棱锥的高，然后由求解. 【详解】取BD的中点E，连接AE，CE， 因为，， 所以 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 所以， 则，所以， 因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， 因为， 所以. 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为________. 【答案】 【分析】由题意可知，圆锥的轴截面PAB是一个顶角为的等腰三角形，设内切球球心为O，半径为，连接AO，由内切球的表面积可求出，在中求出，从而可求出，由圆锥的结构特征可知，其轴截面的外接圆的半径等于该圆锥外接球的半径，利用正弦定理可求出，进而可求出该圆锥的外接球的体积 【详解】如图，由题意可知，圆锥的轴截面PAB是一个顶角为的等腰三角形， 设内切球球心为O，半径为，连接AO，则， 由，得，即， 又， 在中，，所以，所以， 所以， 由圆锥的结构特征可知，其轴截面的外接圆的半径等于该圆锥外接球的半径， 则，则， 所以该圆堆的外接球的体积 . 故答案为： 【题型十】正、余弦定理的实际应用 1.（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】作出平面图，作于于，由题意可得，，由求解即可. 【详解】如图，作于于， 则为矩形，， 则， 所以， 所以，， 所以（米）. 2．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度. 【详解】设，，，，，. 在中，，，. 由正弦定理， 即，所以. 在中，因为，， 所以. 由正弦定理， 所以，又因为， 所以， 所以 ， 所以隧道的长度为. 3.（2026·上海·三模）某长方体建筑可以近似看成长方体，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为m. 现测得长为m，在处测得点的仰角为， 点的仰角为. 若，则建筑物的高为______ m（答案精确到0.01） 【答案】 【分析】作，设出建筑物高度，然后用来表示，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求解出即可. 【详解】 设建筑物高为，. 在线段上截取，则四边形为矩形， 在线段上截取，则四边形为矩形且四边形为矩形. 在直角三角形中，，，. 同理. 在直角三角形中，记，，即，解得. 4.（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）． (1)求楼高MO和楼尖MN； (2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO． 参考数据：，，， 【答案】(1)， (2)FO为37．4m 【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，进而求得MO，进而求得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN； 法二：利用，，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN； （2）设，，，进而可得 ，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值． 【详解】（1）法一：，，∴． 在中，由正弦定理得，， 又，∴． ∴， ∴． （m）． ∴． ∵，∴，． 法二：，， ∴， 即，∴， ∴． m． ∴． ∵，∴，． （2）设，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立． ∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 二、填空题 2．（2026·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________． 【答案】 【分析】先由底面三角形的边长求面积；再由，可知点在底面上的投影为的外心，由此求出三棱锥的高. 【详解】 法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，. 在中，， 故底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 在中，由余弦定理得， 且，故. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得， 且，故，. 所以底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 3．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 三、解答题 5．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 6．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 8．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 9．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $