第1卷 集合与充要条件 2027年重庆市（高职对口招生）《数学45分钟训练卷》A卷

**基本信息** 聚焦集合与充要条件，以“一考一讲”模式构建从概念辨析到综合应用的知识逻辑链，适配中职高考即时检测与巩固需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与充要条件|14题（8选择+3填空+3解答）|集合元素个数、子集、交补运算、不等式解集、充要条件判断及应用|从集合基本概念（元素、子集）到运算（交、补），结合不等式解集过渡到充要条件的逻辑推理，形成概念-运算-应用的递进链条，培养抽象能力与推理意识|

编写说明：2027年重庆市（高职对口招生）《数学45分钟训练卷》，以重庆市高职对口招生最新考试要求及历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 重庆市（高职对口招生）《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 A卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分). 1．已知集合，则集合的元素个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设集合，，则 （ ） A. {1,2,3,4} B. {1} C. {2,3} D. {3,4} 3．不等式的解集为 （ ） A. B. C. D. 4．已知全集，，则= （ ） A. {1,3} B. {2,4} C. {3,5} D. {1,5} 5．""是""的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．集合，，则 （ ） A. B. C. D. 7．设集合，则的真子集个数为 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8．已知，，，若，则的所有可能取值有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分). 9．已知，，则________ 10．集合的真子集个数为________ 11．设，，则是的________条件 三、解答题(本大题共3小题，共34分). 12．（本小题10分）已知集合，。用列举法表示集合和，并求。 13．（本小题12分）已知，。 (1) 若是的充分不必要条件，求的最小值； (2) 若是的必要不充分条件，求的取值范围。 14.（本小题12分）已知全集，，。 (1) 求； (2) 求。 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市（高职对口招生）《数学45分钟训练卷》，以重庆市高职对口招生最新考试要求及历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 重庆市（高职对口招生）《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 A卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分). 1．已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】解方程 ，因式分解得 (x - 1)(x - 2) = 0， 解得 x = 1 或 x = 2，因此 A = {1, 2}，元素个数为 2。 故选：B. 2．设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，A 和 B 的公共元素是 2 和 3， 所以 A ∩ B = {2, 3}。 故选：C. 3．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵2x - 1 > 3，移项得 2x > 3 + 1，即 2x > 4，两边同除以 2（不等号方向不变），得 x > 2。∴解集为 {x | x > 2}。 故选：A. 4．已知全集，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 3, 5}，从U中去掉元素 1、3、5，剩下的元素是 2、4， 所以 = {2, 4}。 故选：B. 5．""是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若 x = 1，则 x² = 1² = 1，充分性成立。必要性：若 x² = 1，则 x = 1 或 x = -1，不一定有 x = 1，必要性不成立。因此，"x=1"是"x²=1"的充分不必要条件。 故选：A. 6．集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | 0 < x < 4}，交集需同时满足：-1 ≤ x ≤ 3 且 0 < x < 4， 左端点取较大的：0 < x，右端点取较小的：x ≤ 3，所以 A ∩ B = {x | 0 < x ≤ 3}。 故选：A. 7．设集合，则的真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】集合 M = {a, b, c}，有 3 个元素，子集个数为 2³ = 8，真子集要去掉集合 M 本身，即 2³ - 1 = 8 - 1 = 7。 故选：B. 8．的所有可能取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】B = {0, 1, 2, 3}，m ∈ B，所以 m 可能为 0、1、2、3。又 A = {0, m}，A ⊆ B，即 A 的所有元素都在 B 中。 当 m = 1 时，A = {0, 1}，A ⊆ B，成立；当 m = 2 时，A = {0, 2}，A ⊆ B，成立；当 m = 3 时，A = {0, 3}，A ⊆ B，成立。当 m = 0 时，由集合元素的互异性，故 m ≠ 0。因此 m 的所有可能取值为 1、2、3，共 3 个。 故选：C. 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分). 9．已知，，则=________ 【答案】{2, 4} 【解析】A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {2, 4, 6}，A 和 B 的公共元素是 2 和 4， 所以 A ∩ B = {2, 4}。 10．集合的真子集个数为________ 【答案】15 【解析】集合 {a, b, c, d} 有 4 个元素，子集个数为 2⁴ = 16， 真子集个数为 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15。 11．设，，则是的________条件 【答案】充分不必要 【解析】充分性：若 x = 1，则 x² = 1，充分性成立。必要性：若 x² = 1，则 x = 1 或 x = -1，不一定有 x = 1，必要性不成立。 所以 p 是 q 的充分不必要条件。 三、解答题(本大题共3小题，共34分). 12．（本小题10分）已知集合，。用列举法表示集合和，并求。 【答案】A = {0, 2, 4}，B = {1, 3, 5}， A ∩ B = ∅ 【解析】由题意，A 中的元素为小于 6 的自然数中的偶数：x ∈ N，x < 6，且 x 为偶数，即 x = 0, 2, 4，所以 A = {0, 2, 4}。 B 中的元素为小于 6 的正整数中的奇数：x ∈ N*，x < 6，且 x 为奇数，即 x = 1, 3, 5，所以 B = {1, 3, 5}。 A 和 B 没有公共元素，故 A ∩ B = ∅。 13．（本小题12分）已知，。 (1) 若是的充分不必要条件，求的最小值； (2) 若是的必要不充分条件，求的取值范围。 【答案】(1) m 的最小值为 4； (2) m 的取值范围为 m ≥ 4。 【解析】(1) p 是 q 的充分不必要条件，即 p ⇒ q，但 q ⇏ p，等价于 p 对应的集合是 q 对应集合的真子集。 p：-2 < x < 4，q：x < m (m > 0)，要使 p ⇒ q，即所有满足 -2 < x < 4 的 x 都满足 x < m，只需 4 ≤ m，即 m ≥ 4。 因此 m 的最小值为 4。 (2) q 是 p 的必要不充分条件，即 p ⇒ q 且 q ⇏ p，等价于 p 对应的集合是 q 对应集合的真子集，同(1)的分析，需 4 ≤ m，即 m ≥ 4。 验证：当 m ≥ 4 时，p ⇒ q 成立（因为 x < 4 < m，当然有 x < m），q ⇏ p 也成立（例如 x = -3 < m，但 x = -3 不满足 -2 < x < 4）。 所以 m 的取值范围是 m ≥ 4。 14．（本小题12分）已知全集，，。 (1) 求； (2) 求。 【答案】(1) ； (2) 【解析】先求集合 A：x² - 5x + 6 = 0，因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0，解得 x = 2 或 x = 3，均在 U = {0, 1, 2, 3, 4} 中，所以 A = {2, 3}。 再求集合 B：x² - 2x = 0，因式分解得 x(x - 2) = 0，解得 x = 0 或 x = 2，均在 U 中， 所以 B = {0, 2}。 (1) A ∪ B 是 A 和 B 中所有元素组成的集合（去重），A = {2, 3}，B = {0, 2}， 所以 A ∪ B = {0, 2, 3}。 (2) ∁U A 是 U 中不属于 A 的元素，U = {0, 1, 2, 3, 4}，A = {2, 3}，所以 ∁U A = {0, 1, 4}。 (∁U A) ∩ B = {0, 1, 4} ∩ {0, 2} = {0}。 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $