专题4 指数函数与对数函数（讲义）-2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数函数与对数函数 对数函数（对数的定义域） 2025- 2 单选 4 对数函数（对数函数的图像） 2025-12 单选 4 指数函数（指数函数的单调性） 2025-14 单选 4 对数函数（对数的运算） 2024-7 单选 4 指数函数（指数函数的单调性） 2024-11 单选 4 对数函数（对数的定义域） 2023-10 单选 4 对数函数（对数函数的图像） 2023-26 解答 12 命题轨迹透视： 四川职教高考对指数函数与对数函数的考查主要集中在选择题部分，分值在8-16分左右，在填空中也有可能涉及指对数的运算，在解答题中也有可能涉及指对数函数的图像与性质等知识点的考查. 【考点1：指对数的运算】 1.（2024年对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【解析】 . 故选：C 2. （2023年对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 【答案】A 【分析】本题考查指对互化及对数的运算法则，等公式及法则，是基础题. 【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴选A. 【考点2：指数函数与对数函数】 1.（2024年对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【解析】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 2. （2024年对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【解析】由题意得，因为幂函数在上是增函数，又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又，所以. 故选：C. 2. （2023年对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的最大值为4（2）实数的取值范围为. 【分析】本题主要考查对数的运算法则，复合函数的值域问题及函数恒成立问题, 综合考查了学生的数形结合思想，转化与化归思想，数学运算等核心素养，是综合题. 【解析】（1）∵， ∴ . ∵，∴，∴，∴， ∴，∴的最大值为4. （2）∵对任意，都有恒成立，∴， ∴， 解①：，∴， 解②：∵=，=，， ∴， 令，∴，∴，∴，∴.∵， ∴，∴，∴，∴，∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为. （一）、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 （二）、 对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【题型1：指对数的运算】 1．若，则（   ） A．6 B．8 C． D． 2．若（   ） A． B． C． D．2 3．（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．若和是方程的两个根，则等于（      ） A． B． C． D． 5．计算：________． 6．设函数则______. 7．已知，，则______. 【题型2：指数函数与对数函数的图像】 8．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   9．若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．当时,在同一坐标系下,函数与的图像可能是（　　） A． B． C． D． 11．函数且的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 12．函数（且）的图象必经过点______. 【题型3：指数函数与对数函数的性质】 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 16．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 17．已知指数函数 的图像过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．已知，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 20．函数在区间的最大值是_____． 21．已知函数在上为增函数，求实数的取值范围． 22．已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)当时，求函数的单调区间． 23．已知指数函数且的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)比较和的大小. 24．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 1.【答案】B 【分析】将对数式转换为指数式即可求解. 【详解】由得. 故选：B. 2.【答案】C 【分析】将进行变形得，结合对数的运算公式即可得解. 【详解】由， 所以． 故选：C． 3.【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可求解. 【详解】. 故选：B 4.【答案】D 【分析】根据韦达定理以及对数函数的运算求解即可. 【详解】因为和是方程的两个根，. 则，解得. 故选：D. 5.【答案】 【分析】根据对数的运算法则及指数幂的运算可得结果. 【详解】原式． 故答案为：. 6.【答案】1 【分析】分段函数先根据定义域选择对应法则,再由内而外代数求值. 【详解】∵ ∴， ∵ ∴ 故答案为:1. 7.【答案】3 【分析】将指数式化成对数式，再结合对数的运算法则计算即可. 【详解】由可得：， 且， 则. 故答案为：. 8.【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 9.【答案】C 【分析】将点代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，则，所以. 故选：C. 10.【答案】D 【分析】根据指数函数和一次函数的单调性作出判断. 【详解】，即函数在定义域内单调递增， AC选项错误， 的一次项系数为负， 即函数在定义域内单调递减，且时，， B选项错误，D选项正确， 故选：D. 11.【答案】B 【分析】根据指数性质零次幂恒等1求解. 【详解】函数指数时，，此时， 因此函数恒过点. 故选：B. 12.【答案】 【分析】求指数函数经过的定点，只需令“a”的幂指数为0即可求解. 【详解】由可知，当时，， 所以函数的图象经过定点， 故答案为：. 13.【答案】A 【分析】根据负数无对数，列不等式求解即可． 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得， 所以函数的定义域为， 故选：A． 14.【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，然后根据分段函数的单调性列不等式组，求解即可. 【详解】已知函数满足对任意，都有成立， 则函数是上的减函数， 所以有，即，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 15.【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义， 则且，解得且. 故函数的定义域为且. 故选：D. 16.【答案】D 【分析】由根式、分式及对数函数有意义的条件列式求解即可. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得，故或， 故函数的定义域为. 故选：D. 17.【答案】D 【分析】根据题意将点代入指数函数解析式中即可得解. 【详解】指数函数，则且，因为函数图像过点， 则，解得或（舍）， 故选：. 18.【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断大小关系即可. 【详解】∵，， 又∵函数在R上为增函数，且， ∴，即， ∵函数在上为增函数，且， ∴，即， ∴. 故选：A. 19.【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，结合对数函数的性质，分，和三种情况代入不等式，即可求解． 【详解】当时，，则，，则， 则函数的值域为，与题意不符舍去； 当时，，则， ，则， 要使函数的值域为，则，解得. 当时，，则， ，则， 则函数的值域不为，与题意不符舍去； 综上所述，实数的范围. 故选：D. 20．【答案】 【分析】首先确定指数函数的单调性，进而解得最大值. 【详解】由指数函数的性质可知，在区间上有定义且单调递增， 则在区间上的最大值是， 故答案为：. 21．【答案】 【分析】根据题意，结合复合函数的单调性，及对数函数、二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意，令，则， 因为的对称轴为，且在上为增函数， 所以，解得， 由题意知在内递增，所以， 又在上恒大于0，所以，即， 综上，，即实数a的取值范围是. 22．【答案】(1) (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）当时，可得出，求出的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数的值域； （2）当时，求出函数的定义域，再利用复合函数法可得出函数的增区间和减区间. 【详解】（1）解：当时，，则， 所以，，即函数的值域为. （2）解：当时，， 由可得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 所以，函数的增区间为，减区间为. 23.【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，即可求解析式； （2）利用指数函数单调性可比较大小. 【详解】（1）∵指数函数且的图象经过点， ，， ； （2），，所以函数为增函数， ， ∴. 24．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算求出，再根据与的关系求出通项公式即可. （2）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为点在函数的图像上， 所以，即， 当时，， 当时，， 则， 且符合题意， 故. （2）由（1）可知，， 则数列的前项和：， ， 则， 即， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $