专题3 函数及其性质（讲义）-2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题3 函数及其性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的性质 定义域 2025-2 单选 4 分段函数 （考查分段函数的图像） 2025-12 单选 4 函数的应用 （考查函数的最值） 2025-15 单选 4 分段函数 （考查分段函数的值域） 2025-20 填空 4 函数的性质 （考查抽象函数的奇偶性） 2025-26 解得 12 函数的定义域 2024-2 单选 4 函数的性质（考查抽象函数求值） 2024-15 单选 4 函数的性质（偶函数中求参数） 2024-19 填空 4 二次函数（考查求弦长及恒成立问题） 2024-25 解答 12 函数的定义域 2023-2 单选 4 函数的应用/与函数图像有关 2023-11 单选 4 函数的性质（考查函数的奇偶性） 2023-15 单选 4 二次函数（考查二次函数的最值及恒成立问题） 2023-26 解答 12 命题轨迹透视： 函数及其性质是四川职教高考考查的重点和热点，知识点分布较广，主要考查函数的奇偶性、单调性、定义域、值域、图像、恒成立等问题；选择、填空、解得均有涉及，近3年分值稳定在20-28分左右. 【考点1：函数的定义域】 1. （2025年对口招生） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【解析】因为函数，所以，解得， 即函数的定义域为.故选：C. 2. （2024年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数定义域为与对数函数真数大于零可求定义域. 【解析】函数有意义， 则，，即，则函数的定义域是； 故选：C. 3. （2023年对口招生）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； 【解析】要使得函数有意义， 必须满足，∴，∴函数的定义域是. ∴选B. 【考点2：函数的函数值】 1. （2025年对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】； 【分析】画出和的图像，由此得到的最大值. 【解析】设，画出和的图像， 由图可知，当时，取得最大值，故答案为：. 【考点3：函数的性质】 1. （2025年对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）函数为偶函数 ； （2） 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意，所以， 当时，得， 即，整理得，所以函数为偶函数. （2）已知数列，当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为，前项中有个周期余两项， 所以. 2. （2024年对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【解析】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以， 因为，所以 . 故选：D. 3.（2024年对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【解析】函数是偶函数，则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即，则，即，解得； 则； 故答案为：2. 4. （2023年对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。 【解析】∵定义在上的函数是奇函数， ∴， ∴，∴，∴，分离常数得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是. ∴选D. 【考点4：二次函数】 1.（2025年对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【解析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为.故选：A. 2.（2024年对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【解析】（）由题意可设，，则与是方程的两根， 所以，，因为， 所以，整理得，解得或 （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 【考点5：函数的图像】 1. （2025年对口招生） 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【解析】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确.故选：C. 2. （2023年对口招生）已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由图象向右平移1个单位得出图象，再将图象关于x轴对称翻折得出图象.本题考查图象的平移变换及对称翻折变换. 【解析】由的图象向右平移1个单位得出图象，如图A所示，然后将的图象关于x轴对称翻折得出图象，如图B所示. ∴选B. （一） 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． （二）函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) （三）函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （四） 函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. （五） 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． （六）二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 【题型1：函数的定义域】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为_______. 3．已知函数的定义域为，则“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2：函数的函数值】 4．观察下表： 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（    ） A． B． C．3 D．5 5．设函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 6．若函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 7.已知函数，则_____________. 【题型3：函数的性质】 8．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知奇函数的定义域，且对于任意实数x都有成立，又，那么（　 　） A．3 B．2 C．0 D． 10．已知偶函数的定义域为，且在上单调递增，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知是定义域为的奇函数，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 12．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（    ） A． B． C． D． 13．已知为奇函数，那么（    ） A．1 B．2 C． D．9 14．设函数，若，则（　　） A． B．4 C． D．8 15．，则函数为（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 16．已知是定义在上的奇函数，满足，，则________. 17．已知奇函数是定义在R上的减函数，求： (1)写出的值; (2)解不等式． 18．已知是定义在上的增函数，且对任意的x都有，. (1)求； (2)若，求x的取值范围. 【题型4：函数的解析式】 19．已知，则的解析式为 （　　） A． B． C． D． 【题型5：二次函数】 20．已知函数， (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)当，求的最小值． 【题型6：函数的图像】 21．若某一商家乘船从甲地沿水路顺水航行前往乙地，途中因故障停留一段时间，到达乙地后逆水航行返回甲地，假设该船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从甲地出发后所用的时间为x（单位：h），与甲地的距离为y（单位：km），则下列各图中，能反映y与x之即大致关系的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   22．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 23．函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   24．函数的部分图象是（    ） A．   B．   C．   D．   1.【答案】C 【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于，计算即可. 【详解】因为函数是偶次根式，则被开方数， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 2.【答案】且 【分析】根据分母不为零及零次幂的底数不为零，列出不等式组即可得解. 【详解】要使函数有意义， 则解得且， 所以定义域为且， 故答案为：且. 3.【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】定义域D关于原点对称，函数图像不一定关于原点对称， 若的图像关于原点对称，则为奇函数，其定义域一定关于原点对称， 所以“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的必要不充分条件. 故选：B. 4.【答案】D 【分析】根据表格数据，先求内层函数值，再代入外层函数计算. 【详解】由表格可知，， 所以. 故选：D. 5.【答案】B 【分析】根据函数的解析式求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 故选：B. 6.【答案】A 【分析】根据函数的解析式，令，得出的解，进而求出. 【详解】令，得，所以. 故选：A. 7.【答案】24 【分析】根据函数的解析式求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 所以. 故答案为：24. 8.【答案】A 【分析】根据已知条件求出函数的周期，结合函数的周期性及奇函数的性质即可得解. 【详解】已知，令换，则， 所以函数的周期为， 则， 因为， 故选：. 9.【答案】C 【分析】利用函数周期性以及奇偶性求解即可. 【详解】由的函数周期为3，则根据奇偶性有，. 故选：C. 10.【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性将函数在不同区间的单调性进行转化，再比较自变量的大小关系. 【详解】因为是偶函数，所以． 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减． 又因为，则， 所以． 故选：A． 11.【答案】C 【分析】根据题意和函数的奇偶性可推出，从而推出得到函数的周期，然后根据周期性即可求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 令， 所以，即， 令， 所以，即， 所以， 所以为周期函数，最小正周期为， 所以 . 因为， 所以，， 所以. 因为， 所以. 故选：C. 12.【答案】A 【分析】先利用奇偶函数的定义域性质求得，进而得到的单调性，从而利用的奇偶与单调性解抽象不等式即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则，解得， 所以函数在上单调递增，则在上单调递减， 故由得，即，解得 故选：A. 13.【答案】A 【分析】由奇函数的定义，列式求解a，b，c的值，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 即， 整理得， 所以，即，解得. 所以. 故选：A. 14.【答案】B 【分析】将代入解析式中求，再的值即可. 【详解】由， 将代入可得，所以， 所以. 故选：B. 15.【答案】B 【分析】由，令，可求得和的关系，进而求得的奇偶性. 【详解】由， 令，可得，，， 令，可得，， 即， 所以， 所以为奇函数. 故选：. 16.【答案】 【分析】根据奇函数的性质确定该函数的周期，再由周期函数的性质求值即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数， 则，， 又，即， 则，得， 所以， 即，得是周期为4的函数， 且，，，， 所以， 所以， 故答案为：. 17.【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据奇函数的性质即可解答. （2）根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）是定义在R上的奇函数， 则. （2）因为奇函数是定义在R上的减函数， 由， 得， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 18.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的周期性分析求解即可； （2）利用函数得单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为函数对任意的x都有， 所以，所以， 因为， 所以函数的周期为，又因为， 所以. （2）因为，，所以， 又因为是定义在上的增函数， 所以， 解得：，所以x的取值范围为：. 19.【答案】A 【分析】根据函数解析式，利用换元法即可求解. 【详解】令，则， ∴， ∴. 故选：A. 20.【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得，对称轴为，开口向上，又因其在上单调递减，所以，解不等式可求解. （2）根据的对称轴为，开口向上，分，和三种情况讨论，并结合二次函数的图象可求解 【详解】（1）由题知，， 对称轴为，开口向上， 又函数在上单调递减， 故，解得； （2）由题知，的对称轴为，开口向上， ①当时，； ②当时，； ③时，； 综上所述，. 21.【答案】A 【分析】根据与的变化关系判断图像即可； 【详解】货船从甲地出发到途中故障这段时间，随着的增大而增大， 途中故障这段时间，随着的变化不变， 解除故障到乙地这段时间，随着的增大而增大， 从乙地返回甲地这段时间，随着的增大而减小， 故选：A 22.【答案】B 【分析】根据函数的定义，观察图像，并逐个确定其定义域和值域即可. 【详解】A选项，该图像表示的函数值域为， 定义域为不符合题意，故本选项错误， B选项，该图像表示的函数值域为， 定义域为符合题意，故本选项正确， C选项，该图像部分值有两个与之对应的值， 不符合函数的定义，故本选项错误， D选项，该图像表示的函数值域为， 定义域为不符合题意，故本选项错误， 故选：B. 23.【答案】B 【分析】根据指数函数的图像和性质即可求解. 【详解】函数在上是减函数，且过点， 而函数是偶函数，所以B满足条件． 故选：B 24.【答案】D 【分析】先分析得的奇偶性，从而排除AC，再利用区间上的正负性排除B，从而得解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除AC， 又当时，，，则，排除B， 而D选项的图象又满足上述性质. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $