第14卷不等式的应用（学生练习卷）-湖南省对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦不等式实际应用，通过销售利润、浓度稀释、几何面积等场景构建“问题情境-不等式建模-求解验证”逻辑链，强化用数学眼光观察现实、用数学语言表达问题的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|含销售定价、浓度稀释、几何面积等实际问题|从具体情境抽象不等关系，建立一元二次、分式等不等式模型| |填空题|4题|涉及采光优化、工程进度、成本控制|强化不等式在最值问题中的应用，体现数学思维的逻辑性| |解答题|4题|综合考查矩形绿化、利润计算等复杂场景|完整呈现“审题-建模-求解-检验”流程，提升数学语言表达能力|

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第14卷 不等式的应用（学生练习卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（    ） A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间 3．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则V的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌（不超过4.5 m），若想要安全通过隧道，则车子及所载货物高度（单位：米）满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 5．学校计划在靠墙的位置围出一块长方形的花坛，目前有可以垒出的围栏的材料，要使得花圃的面积不小于，与墙垂直的围栏的长度范围是（   ）m． A． B． C． D． 6．若现有质量分数为的酒精溶液，加入质量分数为的酒精溶液后，能稀释成质量分数不低于且不高于的酒精溶液，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某商品原价500元，出售时标价900元，要保持利润不低于26%，则最低可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 8．某机械零件合格标准的偏差值为，则合格尺寸偏差值的范围是（    ） A． B． C． D． 9．某水果商店购进一批橙子，若橙子的进价是1元，销售中估计有的损耗，商家至少要把价格定为多少元时，才能避免亏本?（    ） A．2 B．1 C．1.05 D．1.5 10．已知一个等边三角形的边长为2，一个正方形的边长为，若正方形的面积不小于等边三角形的面积，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米. 12．一个工程队规定要在天内完成立方米的工程，第天完成了立方米，现在要比原计划至少提前天完成任务，则以后几天平均每天要完成的立方米数应满足的不等式为______. 13．某产品的总成本（万元）与销售量（台）之间的函数关系是，若每台产品的售价为25万元，则企业不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低销售量是______台． 14．一个面积至少为 2400的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，设苗圃的宽为m，则苗圃的宽至少是______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围． 16．一个摩托车制造厂引进一条流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与产生的利润y（元）满足关系式，若这家工厂希望每天用这条流水线创造不低于8000元的利润，那么该流水线每天至少需要生产多少辆摩托车？ 17．某种小商品月销售量（件）与售价（元／件）的关系为，与生产成本（元）的关系为．当月销售量多大时，每月获得的利润不少于1300元？ 18．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖南省对口招生《数学考点双析卷》 第14卷 不等式的应用（学生练习卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组即可得解. 【详解】由题意可知，， 解得， 故选：. 2．若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（    ） A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间 【答案】B 【分析】由题意列出关系式，并解不等式. 【详解】设售价为，利润为， 则， 由题意， 即， 解得， 即售价应定为元到元之间， 故选：B. 3．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则V的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：B 4．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌（不超过4.5 m），若想要安全通过隧道，则车子及所载货物高度（单位：米）满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件直接列出不等式即可. 【详解】由题意，车子及所载货物高度（单位：米）满足的关系式为， 故选：C. 5．学校计划在靠墙的位置围出一块长方形的花坛，目前有可以垒出的围栏的材料，要使得花圃的面积不小于，与墙垂直的围栏的长度范围是（   ）m． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知列出一元二次不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】设墙垂直的围栏的长度为，则与墙相对的围栏为，， 由题意，则有，化简得，即，解得， 所以与墙垂直的围栏的长度范围是； 故选：A. 6．若现有质量分数为的酒精溶液，加入质量分数为的酒精溶液后，能稀释成质量分数不低于且不高于的酒精溶液，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合溶液浓度的计算公式列不等式，求解即可. 【详解】已知质量分数为的酒精溶液，质量分数为的酒精溶液， 由题意可得， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 7．某商品原价500元，出售时标价900元，要保持利润不低于26%，则最低可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】根据保持利润不低于26%，列不等式求解即可. 【详解】设打x折，由题意得 ，解得， ∴最多可打七折. 故选：B. 8．某机械零件合格标准的偏差值为，则合格尺寸偏差值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式即可得解. 【详解】解不等式， 因式分解得， 解得， 故合格尺寸偏差值的范围是. 故选：A. 9．某水果商店购进一批橙子，若橙子的进价是1元，销售中估计有的损耗，商家至少要把价格定为多少元时，才能避免亏本?（    ） A．2 B．1 C．1.05 D．1.5 【答案】C 【分析】根据不亏本这一条件建立不等式关系求解. 【详解】设商家把价格定为每千克元， 由题意，解得， 故选：C. 10．已知一个等边三角形的边长为2，一个正方形的边长为，若正方形的面积不小于等边三角形的面积，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知分别表示出等边三角形面积和正方形面积，并列出不等式即可解得. 【详解】由题，等边三角形边长为， 则等边三角形高为， 等边三角形面积为， 又知正方形边长为， 则正方形面积为， 正方形的面积不小于等边三角形的面积， 即，又， 则， 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米. 【答案】80 【分析】设改造前的窗户面积为平方米，将改造后的窗户面积与地板面积之比表达出，采用作差法，列出不等式，求出的范围，得到答案. 【详解】设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，则地板增加的面积为平方米，. 依题意得，即，解得：， 故改造前的窗户面积最大为80平方米， 故答案为：80 12．一个工程队规定要在天内完成立方米的工程，第天完成了立方米，现在要比原计划至少提前天完成任务，则以后几天平均每天要完成的立方米数应满足的不等式为______. 【答案】 【分析】现在要比原计划至少提前两天完成任务隐含着这样一个不等关系“后3天内完成的任务不小240立方米”，由此可得出不等式． 【详解】由题意，列出不等关系为， 化简为. 故答案为：. 13．某产品的总成本（万元）与销售量（台）之间的函数关系是，若每台产品的售价为25万元，则企业不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低销售量是______台． 【答案】 【分析】根据企业不亏本则总收入要大于等于总成本列出一元二次不等式，即可求解. 【详解】由题意知，要使企业不亏本则总收入要大于等于总成本， 又总收入为，总成本， ，解得或， 又，，，， 企业不亏本时的最低销售量是150台. 故答案为：150. 14．一个面积至少为 2400的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，设苗圃的宽为m，则苗圃的宽至少是______. 【答案】 【分析】根据实际结合题意即可求解. 【详解】由题意得，因为宽为，长比宽多，所以长为， 则，解得 或（不合题意，舍去）， 所以苗圃的宽至少是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围． 【答案】 【分析】首先表示出绿草坪的长、宽，即可得到草坪的面积，依题意得到关于的一元二次不等式，解得即可. 【详解】解：花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 草坪面积为， 总面积， 根据题意可得， 整理得，解得或． 由题意知，解得，所以不符合题意，舍去， 所以． 答：当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 16．一个摩托车制造厂引进一条流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与产生的利润y（元）满足关系式，若这家工厂希望每天用这条流水线创造不低于8000元的利润，那么该流水线每天至少需要生产多少辆摩托车？ 【答案】该流水线每天至少需要生产辆摩托车 【分析】由题意，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题意，得， 化简得， 即， 解得（舍去）或， 故该流水线每天至少需要生产辆摩托车. 17．某种小商品月销售量（件）与售价（元／件）的关系为，与生产成本（元）的关系为．当月销售量多大时，每月获得的利润不少于1300元？ 【答案】20到45件 【分析】由题意列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得月利润，，且.        要使每月获得的利润不少于1300元，则， 即，即，解得. ∴当月销售量在20到45件之间时，每月获得的利润不少于1300元． 18．某商店购进一批商品，单价为 50 元，计划以元的单价出售. (1)若要保证销售 100 件商品的利润为 2000 元，求售价； (2)为了保证销售量不少于 100 件，且销售总利润不少于 3000 元，求的取值范围. 【答案】(1)70元 (2) 【分析】（1）根据利润与售价的关系，列出等式，再求解即可. （2）根据利润公式，再结合题目中的数量限制条件列不等式组求解. 【详解】（1）因为利润=(售价-进价)×销售量，可列方程，解得. 所以售价为 70 元. （2）设销售量为，则 可列不等式组， 因为，所以根据第一个不等式. 因为，所以，解不等式，解得. 又因为，所以的取值范围是. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $