第09卷 三角计算与解三角形（教师讲解卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦三角计算与解三角形专题，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，构建公式推导与定理应用的递进体系，培养运算能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|5个核心知识点|公式体系构建（和差/二倍角/降幂/辅助角公式及正余弦定理）|从基础公式推导到定理应用，形成“公式-定理-应用”逻辑链| |真题精讲|2个考点（近3年真题）|考点解题策略（和差公式应用、正余弦定理综合运用）|典型真题示范公式与定理的实际解题转化| |举一反三|4道题|变式训练方法（公式逆用、条件转化）|通过变式巩固核心方法，强化推理能力| |拓展提升|15道题（8选择+5填空+2解答）|综合应用技巧（多公式联用、实际问题模型构建）|从单一知识点到综合问题，提升模型意识与应用能力|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第09卷 三角计算与解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）tan(α－β)＝； （6）tan(α＋β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin αcos α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 3.常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 4.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 5.三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （2）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 【真题精讲】 考点01 三角函数的和差公式 1．（2026年·河南对口升学高考第19题）已知 α 、β 都为锐角, 切满足 sinα= 求α+β的值。 考点02 解三角形 3.（2025年·河南对口升学高考第20题）在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 4.（2024年·河南对口升学高考第14题）在中，，则_________． 【举一反三】 1．（2023年·河南对口升学高考第13题） 的值为_________． 2．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 3．（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，且是第三象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角，均为锐角，且，，（   ） A． B． C． D．3 5．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 7．若，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的值为 ． 10．在中，，则 ． 11．已知角的终边与单位圆的交点为，则等于 ． 12．若为第三象限角，且，则的值是 ． 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 三、解答题 14．已知，求证：. 15．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，，求： （1）角B的大小； （2）边b的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第09卷 三角计算与解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）tan(α－β)＝； （6）tan(α＋β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin αcos α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 3.常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) 4.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 5.三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （2）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 【真题精讲】 考点01 三角函数的和差公式 1．（2026年·河南对口升学高考第19题）已知 α 、β 都为锐角, 切满足 sinα= 求α+β的值。 【答案】 【解析】因为α，β为锐角， ∴ ∴ ∴ 因 故 ∴ 考点02 解三角形 3.（2025年·河南对口升学高考第20题）在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据题目条件以及余弦定理求解. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 已知，根据余弦定理， 将代入可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，已知，，， 则， 因为，所以，， 那么， 所以的面积. 4.（2024年·河南对口升学高考第14题）在中，，则_________． 【答案】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【解析】因为在中，， 所以，则. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2023年·河南对口升学高考第13题） 的值为______． 【答案】## 【分析】根据三角函数半角公式和诱导公式计算. 【解析】根据三角函数的半角公式可知，， 故. 根据诱导公式可知，. 故答案为：. 2．已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，两边平方得， 即，， 故选：A. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：B. 4．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，且是第三象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数基本关系式与两角差的正弦公式求解即可； 【详解】因为是第三象限角，所以， . 故选：A 2．已知的面积为，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积为，， ， 即，解得. 故选：C. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据诱导公式得到，再根据二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以. 故选：B. 4．已知角，均为锐角，且，，（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据角的余弦值求出其正切值，再利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为角，均为锐角，且， 所以，则， 又，所以. 故选：D. 5．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在中，已知 所以， 又因为。 所以由正弦定理可得，所以． 故选：B 6．已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 7．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将等式两边同时平方，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系化简求值即可. 【详解】已知， 则， 即， 则有， 所以. 故选：B. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，即可求解. 【详解】因为， 根据正弦定理边角互化，得到， 即， 又，则，则， 显然， 所以，，得到. 故选：B. 二、填空题 9．的值为 ． 【答案】 【分析】逆用两角和的余弦公式还原后，求值即可. 【详解】 . 故答案为：. 10．在中，，则 ． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】在中，， 由，得． 又，． 故答案为：. 11．已知角的终边与单位圆的交点为，则等于 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求出的值，代入二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】角的终边与单位圆的交点为，且，所以， ， 故答案为：. 12．若为第三象限角，且，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式求得，再根据同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 因为为第三象限角，所以，， 所以， 因为，， 所以. 故答案为：. 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 . 【答案】 【分析】由题意，根据正弦定理可得，据此可求解. 【详解】由题意，根据正弦定理可得 ， ， . 故答案为： 三、解答题 14．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由得，移项合并得，所以，得证. 15．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，，求： （1）角B的大小； （2）边b的长度． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用正弦定理将中的边化为角，即可求解; （2）根据三角形面积公式，以及，再结合余弦定理即可求解. 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 又∵，∴，∴ 又∵是锐角三角形的内角，∴ 【小问2详解】 ∵，∴, 即，∴ 又∵，∴，∴ 由余弦定理， 得 即 ∴边b的长度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $