第07卷 三角函数的概念及重要公式（教师讲解卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河南对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建三角函数专项突破体系，通过真题同源训练培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|5个核心概念|诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”|从终边相同角→弧度制→三角函数定义→同角关系→诱导公式，形成“概念-性质”逻辑链| |真题精讲|3个考点（含2026-2025年真题）|同角关系“平方+商数”联用，定义法求三角函数值|聚焦化简、求值等高频考法，示范公式应用路径| |举一反三|4题（2024-2022年真题）|象限符号判断技巧，弧长公式实际应用|通过真题变式巩固概念辨析与公式迁移能力| |拓展提升|15题（选择8+填空5+解答2）|综合应用三角函数性质解决实际问题|从基础计算到综合证明，实现“应用-提升”进阶|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第07卷 三角函数的概念及重要公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角： 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. 2. 弧长公式、扇形面积公式： 若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． 3. 任意角的三角函数： (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα 4. 同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． 5. 诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 三角函数的化简 1．（2026年·河南对口升学高考第22题）求证: 考点02 任意角的三角函数值 2.（2026年·河南对口升学高考第7题）任意角α满足 则α= （ ） A. B. C. D. 考点03 同角三角函数的基本关系、诱导公式 3.（2025年·河南对口升学高考第5题）已知角满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第5题）设第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 2．（2023年·河南对口升学高考第5题）钟表时针每6小时转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 3．（2023年·河南对口升学高考第6题）下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 4．（2022年·河南对口升学高考第13题）已知，是第四象限角，则___________. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，，则的终边在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．若是锐角，则 C．第一象限角都是锐角 D．小于的角都是锐角 3．已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 4．半径为6的圆中，圆心角的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 7．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，其终边过点，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9． . 10．在三角形ABC中，如果，则是 三角形. 11．已知，且是第二象限角，则 . 12．函数的定义域为 . 13．机械手臂旋转时，从初始位置旋转了弧度，若机械手臂长度为，则机械手臂端点划过的扇形面积为 . 三、解答题 14．已知，求证：. 15．已知角的终边与单位圆交于点. (1)求出，的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第07卷 三角函数的概念及重要公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角： 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. 2. 弧长公式、扇形面积公式： 若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． 3. 任意角的三角函数： (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα 4. 同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． 5. 诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 三角函数的化简 1．（2026年·河南对口升学高考第22题）求证: 【答案】证明见解析 【解析】证明：分子 等式成立． 考点02 任意角的三角函数值 2.（2026年·河南对口升学高考第7题）任意角α满足 则α= （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】则α在第三象限， 或 结合正切值， 得 故选：D． 考点03 同角三角函数的基本关系、诱导公式 3.（2025年·河南对口升学高考第5题）已知角满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【分析】利用齐次式法求得，再利用正切的诱导公式即可得解. 【详解】由，可得， 所以， 故选：D. 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第5题）设第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据角的正切值和同角三角函数的平方，以及角的范围，得到角的正弦值和余弦值，再根据诱导公式求解. 【解析】∵是第二象限角，∴. 而，即，故. 又∵，代入得到， 故，得到. . 故选：B. 2．（2023年·河南对口升学高考第5题）钟表时针每6小时转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据钟表转一圈的时长和弧度分析求解. 【解析】一个完整的圆周角的弧度是，钟表上的时针12小时内会完成一个完整的圆周，即转过弧度数为，∴时针在6小时内转过弧度数就是. 故选：D. 3．（2023年·河南对口升学高考第6题）下列选项中，正确的是（ ） A. 第一象限的角都是锐角 B. C. 三角函数，都是奇函数 D. 【答案】B 【分析】根据象限角的范围，诱导公式化简求值，三角函数奇偶性，同角三角函数平方关系逐项判断即可. 【解析】第一象限的角不一定是锐角，如角在第一象限，但不是锐角，A错误； ，B正确； 三角函数是奇函数，是偶函数，C错误； 角在第二象限，则，，D错误. 故选：B. 4．（2022年·河南对口升学高考第13题）已知，是第四象限角，则___________. 【答案】 【解析】，是第四象限角，则，， 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，，则的终边在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】在第二象限时，，， 故选：B. 2．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．若是锐角，则 C．第一象限角都是锐角 D．小于的角都是锐角 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义及任意角的相关定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，和角的终边相同，但，故A错误； 对于B，是锐角，即，故B正确； 对于C，是第一象限角，但不是锐角，故C错误． 对于D，，但不是锐角，故D错误． 故选：. 3．已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，两边平方得，即，， 故选：A. 4．半径为6的圆中，圆心角的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的面积公式即可得解. 【详解】依题意，圆的半径为，对应的圆心角为， 所以扇形的面积为. 故选：B． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，因此. 故选：C. 6．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解出的值，进而由即可求. 【详解】因为， 所以，， 因此， 故选：D. 7．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，其终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式以及三角函数的定义求解即可. 【详解】由诱导公式可得， 因为角终边过点， 所以， 所以， 故选：B. 8．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，同角三角函数的平方关系，结合各象限角的三角函数值符号即可求解. 【详解】因为，又因为，解得， 所以，则， 则. 故选：C. 二、填空题 9． . 【答案】1 【解析】因为，所以， 故答案为：1. 10．在三角形ABC中，如果，则是 三角形. 【答案】钝角 【分析】根据三角函数在各个象限的符号，即可求解. 【详解】，，， ，， ， 是钝角三角形. 故答案为：钝角. 11．已知，且是第二象限角，则 . 【答案】 / 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】，所以， 即，所以，代入， 得，则， 又是第二象限角，所以. 故答案为：. 12．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分式有意义，分母不为0,得出答案. 【详解】根据题意得,得,所以定义域为. 故答案为:. 13．机械手臂旋转时，从初始位置旋转了弧度，若机械手臂长度为，则机械手臂端点划过的扇形面积为 . 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式可求解. 【详解】由扇形面积公式，，，可得 . 故答案为： 三、解答题 14．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：根据诱导公式，，，，∵，∴， 原式左边右边， 即. 15．已知角的终边与单位圆交于点. (1)求出，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求解三角函数值；（2）先利用诱导公式进行化简，再结合第一问求得的结果求出，利用弦化切，最后求得结果. 【详解】（1）由题意得P为单位圆上一点，，且点在第一象限， 所以， （2）由（1）得：，，所以，所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $