第06卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，系统梳理指数函数与对数函数概念、性质及运算，精选近三年真题实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|指数/对数函数定义、图象、性质表格|梳理定义-图象-性质逻辑链，强化几何直观|从概念生成到性质推导，构建函数认知框架| |真题精讲|2考点4道真题|提炼指数对数运算法则应用技巧，培养运算能力|以真题为载体，实现知识到解题的转化| |举一反三|4道近三年真题|迁移核心考点（过定点、定义域），发展推理意识|强化考点变式训练，巩固知识应用| |拓展提升|15道综合题|综合应用函数性质解决比较大小、实际问题，提升模型意识|从单一知识点到综合应用，形成完整能力体系|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第06卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式：alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式：logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 考点01 指数的运算 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 2. 考点02 对数的运算 3.（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4.（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 2．（2023年·河南对口升学高考第3题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3．（2023年·河南对口升学高考第4题）（ ） A. B. C. D. 4．（2022年·河南对口升学高考第12题）将写成分数指数幂的形式为___________. 【拓展提升】 一、选择题 1．设函数为指数函数，且，则（   ） A． B． C． D．3 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 6．若和是方程的两个根，则等于（      ） A． B． C． D． 7．已知，则等于（    ） A． B． C．1 D．0 8．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数 （，且 ）是指数函数，则 的值为 ． 10．函数的值域为 . 11．当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 12．计算: ． 13．若函数在区间上的最大值与最小值的和为6，则 . 三、解答题 14．已知，， (1)求，的值； (2)用，表示. 15．已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第06卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式：alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式：logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 考点01 指数的运算 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 【答案】-2 【解析】 故 故答案为：-2． 2. 【答案】5 【解析】 故 应为 故答案为：5． 考点02 对数的运算 3.（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】根据对数运算法则以及，即可求解. 【详解】. 故选：C 4.（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【解析】. 故选:B. 【举一反三】 1．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【解析】当时，. 故，函数的图像必过一点是. 故答案为：. 2．（2023年·河南对口升学高考第3题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分母不为零和对数真数部分大于零列式求解即可. 【解析】由分母不为零可得：，即， 解得，且由对数真数部分大于零可知， 则函数定义域为：. 故选：A. 3．（2023年·河南对口升学高考第4题）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用对数的运算可求解. 【解析】. 故选：C. 4．（2022年·河南对口升学高考第12题）将写成分数指数幂的形式为___________. 【答案】 【解析】写成分数指数幂的形式为：， 故答案为：. 【拓展提升】 一、选择题 1．设函数为指数函数，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，将代入函数解析式，求得a的值，继而求得函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为函数为指数函数，且， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B. 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的解析式，结合对数与指数的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使对数函数以及根式都有意义，即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 5．已知，则的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性及与临界值“1”，“0”的比较即可得解. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以，而， 所以. 故选：B. 6．若和是方程的两个根，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理以及对数函数的运算求解即可. 【详解】因为和是方程的两个根，. 则，解得. 故选：D. 7．已知，则等于（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据对数的换底公式与运算公式求解对数函数值. 【详解】. 故选：A. 8．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出关于年平均增长率和月平均增长率有关的等式易得答案. 【详解】设该企业年初的生产总值为 a，年平均增长率为x， ∴， ∴. 故选：C． 二、填空题 9．若函数 （，且 ）是指数函数，则 的值为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的概念，结合题意，即可列式求解. 【详解】因为函数 （，且 ）是指数函数， 所以，解得， 所以. 故答案为：1. 10．函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为是定义域上的增函数， 所以当时，，所以， 故的值域为：. 11．当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【解析】当时，. 故，函数的图像必过一点是. 故答案为：. 12．计算: ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 13．若函数在区间上的最大值与最小值的和为6，则 . 【答案】5 【分析】由指数函数的单调性，分和讨论，即可得解. 【详解】由函数在区间上的最大值与最小值的和为6， 当时，指数函数在区间上单调递增，最大值为,最小值为, 所以，即，解得，符合题意； 当时，指数函数在区间上单调递减，最大值为,最小值为, 所以，即，解得，不符合题意. 故答案为：5. 三、解答题 14．已知，， (1)求，的值； (2)用，表示. 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数与对数的互化，结合对数的运算法则即可求得. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以 （2）因为，， 所以. 15．已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】（1）存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 （2） 【解析】 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【小问1详解】 若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数值域是. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $