第05卷 函数的性质（教师讲解卷） 2027版河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河南对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，系统构建函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的认知与解题方法，精选近三年真题，实现从概念理解到综合应用的递进式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|3个核心概念|定义与图象结合的概念梳理|从概念定义到图象特征，构建性质认知基础| |真题精讲|3道考点真题|考点导向的解题步骤拆解|以真题为载体，建立性质应用的解题模型| |举一反三|4道变式训练|同类题型方法迁移|通过变式训练强化性质判定与应用能力| |拓展提升|15道综合提升题|多维度综合应用深化|综合考查性质综合运用，形成完整知识网络|

编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第05卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 考点01 判断函数的单调性 1．（2024·河南对口招生）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 考点02 判断函数的奇偶性和单调性 2.（2023·河南对口招生）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 考点03 函数的周期性 3.（2024·河南对口招生）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【举一反三】 1．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 2．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 4．（2021年·河南对口升学高考）已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 5．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 6．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 7．已知函数是偶函数，且，则等于（   ） A． B．1 C． D．5 8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 二、填空题 9．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 ． 10．函数是在上的奇函数，则 ． 11．函数在上的最大值为 ． 12．若函数是奇函数，则 ． 13．已知偶函数经过点，则 ． 三、解答题 14．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)求的值. 15．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河南省对口招生《数学真题同源卷》 第05卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 考点01 判断函数的单调性 1．（2024·河南对口招生）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D. 考点02 判断函数的奇偶性和单调性 2.（2023·河南对口招生）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 考点03 函数的周期性 3.（2024·河南对口招生）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【解析】 【小问1详解】 函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 【举一反三】 1．（2023年·河南对口升学高考第22题）求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 2．（2022年·河南对口升学高考第3题）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 3．（2022年·河南对口升学高考第20题）已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【答案】 【解析】解：由是奇函数，故有， 即 得，得； 由得，解得， 故. 4．（2021年·河南对口升学高考）已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数及反比例函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，函数，定义域为，，所以在区间上是减函数，故正确； 选项，函数，定义域为，，所以在区间上是增函数，故错误； 选项，函数，定义域为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上是增函数，故错误； 选项，函数，定义域为，，所以在区间上是增函数，故错误； 故选：. 2．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数为偶函数， 所以， 又因为在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A. 4．已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，函数为偶函数，所以是奇函数， 是偶函数，是奇函数，是偶函数，选项C正确， 故选：C. 5．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 【答案】B 【分析】根据奇函数的图象对称性列方程，结合函数单调性的概念取值即可. 【详解】已知奇函数的定义域是， 则，即， 解得或， 因为为定义域是的增函数， 由，可得，则， 经检验，满足题意，所以. 故选：B. 6．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为是二次函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为直线， 又函数在区间上是增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 7．已知函数是偶函数，且，则等于（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义结合题意即可求解. 【详解】由题意得，，则，又因为函数是偶函数， 所以，解得． 故选：D. 8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，∴， ∵当时，， ∴，， ，， ∴，，故A正确，B错误； 当时，，其对称轴，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误， 故选：A. 二、填空题 9．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数为减函数，由此列不等式求解即可. 【详解】已知函数为一次函数， 由其在上是减函数，得，解得， 所以m的取值范围为， 故答案为：. 10．函数是在上的奇函数，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是在上的奇函数， 所以，解得， 验证：当时，函数，此时，满足奇函数定义. 故答案为：5. 11．函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用二次函数的性质得出对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可. 【详解】函数的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 函数在上的最大值为10. 故答案为：10. 12．若函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即， ，， 因为， 所以，解得， 故. 故答案为：1 13．已知偶函数经过点，则 ． 【答案】4 【分析】根据函数的奇偶性，以及偶函数经过点，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 解得， 又因为偶函数经过点， 所以， 所以. 故答案为：4. 三、解答题 14．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可 （2）根据函数解析式求解函数值即可 【详解】（1） 当时，. 当时，， 所以. 又是偶函数，所以. 所以当时，函数. （2）由（1）得，当时，； 当时，， 所以， . 15．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析 【分析】（1）利用偶函数的性质和函数值易得答案. （2）利用增函数的定义易证答案. 【详解】（1） 函数为偶函数， ，即      又 ， ，即 ， 函数的解析式为：. （2）函数 在是增函数   理由：设，且 则 ，且 ，   即 ， 函数 在是增函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $