第2卷 不等式的性质及解法（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建不等式性质及解法的方法体系与知识网络，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|性质/解法梳理|性质表格化呈现、解法步骤化归纳|从基本性质到各类不等式解法的概念生成| |真题精讲|5考点9真题|考点分类突破，结合图像与符号推理|原理应用于真题情境，强化几何直观| |举一反三|10变式题|变式迁移训练，聚焦易错点辨析|方法巩固，提升运算能力与推理严谨性| |拓展提升|10综合题|综合应用深化，渗透分类讨论思想|能力提升，构建“性质-解法-综合”知识链|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的性质及解法 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 ⇒ ac>bc　 注意c 的符号 ⇒ ac<bc　 同向可加性 ⇒ a＋c>b＋d　 ⇒ 同向同正 可乘性 ⇒ ac>bd　 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ an>bn　 (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 2.一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． （2）计算相应的 判别式　. （3）当 Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． （4）利用二次函数的图象与x轴的 交点　确定一元二次不等式的解集． 3.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有 两相异　实 根x1，x2 (x1<x2) 有 两相等　 实根x1＝x2 ＝－ 没有　 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或　 x<x1}　 {x|x∈R　 且x≠x1}　 R　 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|　 x1<x<x2}　 ∅　 ∅　 4.绝对值不等式 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 （1）|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；（2）|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 5.分式不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；（2）≥0(≤0)⇔ 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1.（2026·河北对口升学）实数，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024河北对口升学）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 考点02 二次不等式 3.（2025·河北对口升学）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（2024河北对口升学）若不等式的解集为，则________． 考点03 绝对值不等式 5.（2026·河北对口升学）求不等式的解集（ ） A. B. C. D. 6.（2025·河北对口升学样卷）不等式的解集是( ) A． B． C． D． 考点04 分式不等式 7.（2022河北对口升学）不等式的解集为_______________.（用区间表示） 考点05 集合不等式的综合应用 8.（2025·河北对口升学） 已知集合，，若且，求实数a 的取值范围. 9.（2024·河北对口升学）设集合，，若，求实数的取值范围. 【举一反三】 1.（2023河北对口升学）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2022河北对口升学）设,为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022河北对口升学）不等式的解集为，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 4.（2021河北对口升学）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 5.（2023河北对口升学）若不等式的解集为，则_______. 6．不等式的解集为 . 7．（2026·河北丰宁模拟）已知不等式组的解集不是空集，则a的取值范围是 . 8．（2026·河北职教模拟）不等式恒成立，则的取值范围为 ． 9.（2023·河北对口升学）已知集合集合，若求a的取值范围. 10.（2022·河北对口升学）设集合，，且，求实数a的取值范围. 【拓展提升】 一、选择题 1．若，是任意实数，且，则（   ） A． B． C． D． 2．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．若集合，则（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是，则等于（   ） A．2 B． C．3 D． 6．若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 7．已知不等式的解集是，则 . 8．关于的不等式的解集是，则的值为 . 三、解答题 9．已知，关于x的不等式的解集是． (1)求m，n的值； (2)解不等式． 10．已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的性质及解法 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 ⇒ ac>bc　 注意c 的符号 ⇒ ac<bc　 同向可加性 ⇒ a＋c>b＋d　 ⇒ 同向同正 可乘性 ⇒ ac>bd　 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ an>bn　 (n∈N，n≥1) a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> (n∈N，n≥2) a，b同为正数 2.一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． （2）计算相应的 判别式　. （3）当 Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． （4）利用二次函数的图象与x轴的 交点　确定一元二次不等式的解集． 3.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有 两相异　实 根x1，x2 (x1<x2) 有 两相等　 实根x1＝x2 ＝－ 没有　 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或　 x<x1}　 {x|x∈R　 且x≠x1}　 R　 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|　 x1<x<x2}　 ∅　 ∅　 4.绝对值不等式 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 （1）|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；（2）|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 5.分式不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；（2）≥0(≤0)⇔ 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1.（2026·河北对口升学）实数，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可判断结果. 【详解】已知，则，选项ACD正确. 当时，，选项B错误. 故选：B. 2.（2024河北对口升学）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，结合赋值法，即可求解. 【详解】选项A：当错误， 选项B：，错误， 选项C：，正确， 选项D：当错误， 故选：C 考点02 二次不等式 3.（2025·河北对口升学）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得或， 解集为或， 用数轴表示为 ， 故选：. 4.（2024河北对口升学）若不等式的解集为，则________． 【答案】- 【分析】利用二次不等式的解集即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的实数根， 则， 故答案为：-. 考点03 绝对值不等式 5.（2026·河北对口升学）求不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式得，解得，所以不等式的解集. 故选：A. 6.（2025·河北对口升学样卷）不等式的解集是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故答案为：D. 考点04 分式不等式 7.（2022河北对口升学）不等式的解集为_______________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形，转换成解一元二次不等式，即可求解. 【详解】解不等式即为解， 或， 故答案为： 考点05 集合不等式的综合应用 8.（2025·河北对口升学） 已知集合，，若且，求实数a 的取值范围. 【答案】. 【分析】根据题意结合元素与集合的关系列出不等式即可得解. 【详解】集合，，则，解得， 集合，，所以满足，即，解得，综上所述，，所以实数a 的取值范围为. 9.（2024·河北对口升学）设集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先解绝对值不等式与对数不等式化简集合，再利用集合交集的结果得到，进而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由，得，则， 所以， 因为在单调递增， 由，得，则， 所以， 因为，所以，易知， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【举一反三】 1.（2023河北对口升学）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A选项，当时，则有，所以A错误. B选项，当时，则有，所以B错误. C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确. D选项，由于为增函数， 当时，，且， 则，所以D 错误 故选：C. 2.（2022河北对口升学）设,为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由不等式的性质解答即可. 【详解】由于，不妨设，，此时，选项、、都错误； 选项由不等式性质可知，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变方向，因此正确. 故选： 3.（2022河北对口升学）不等式的解集为，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将含绝对值不等式求解即可. 【详解】，当时，， 又因为不等式的解集为，则，解得； 当时，， 则， 前后不一致，故舍.所以 故选：D 4.（2021河北对口升学）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据不等式的性质和对数函数的定义域即可求解. 【详解】对于A，，因为且， 所以，故A正确； 对于B，当时，则无意义，故B错误； 对于C，当时，无意义，故C错误； 对于D，若，满足，此时，显然，故D错误. 故选：A. 5.（2023河北对口升学）若不等式的解集为，则_______. 【答案】 【分析】根据不等式的解集可得方程的根，代入即可求解. 【详解】因为是不等式 的解集， 所以和是方程的两个根. 则，解得.所以. 故答案为：. 6．不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，同时满足分母具有意义，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 7．（2026·河北丰宁模拟）已知不等式组的解集不是空集，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求解不等式，根据不等式解集不是空集，即可求得参数范围. 【详解】由，可得，即， 因为不等式组的解集不是空集，所以，即a的取值范围是. 故答案为：. 8．（2026·河北职教模拟）不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题分类讨论即可求解. 【详解】由题意得，因为不等式恒成立， 所以当时，不等式不能恒成立，不符合题意； 当时，不等式不能恒成立，不符合题意； 当，要使不等式恒成立，则，解得. 综上，. 故答案为：. 9.（2023·河北对口升学）已知集合集合，若求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案. 【详解】， ， 因为，则， 所以或，且， 即或，且，所以. 故a的取值范围为：. 10.（2022·河北对口升学）设集合，，且，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由可知无解，即可解答. 【详解】由题分析可知，若那么方程组无解， 即无解， 即，那么有， 解得. 【拓展提升】 一、选择题 1．若，是任意实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质和指数函数的单调性结合举反例逐项分析即可. 【详解】对于A，已知，若，，故A错误， 对于B，若，则，故B错误， 对于C，若，则，故C错误， 对于D，因为在定义域上单调递减， 又因为，所以，故D正确， 故选：D. 2．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，可判断A错误；利用不等式的性质及中间量1，可判断B错误；利用作商法及指数函数的单调性，可判断C错误；利用对数函数的单调性、不等式的性质和换底公式，可判断D正确. 【详解】对A选项，因为，所以，又，所以，故错误； 对B选项，因为，，所以， ，， 此时，故错误； 对C选项，因为，，所以，. 所以，即，故错误； 对D选项，因为，，所以， 即，故，D正确. 故选：D 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的解集和根与系数的关系可得，从而得到不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， ，且和2是方程的两个根， 则，可得， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：A. 4．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法以及分式不等式的解法，分别求出集合和，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 集合， 所以. 故选：D. 5．不等式的解集是，则等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】不等式等价于或， 即或. 又因为解集是，所以. 解得，进而. 故选：B. 6．若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据因式分解法解不等式，再根据解集中恰有3个正整数，即可求解. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式无解，不符合， 当时，不等式的解为， 因为不等式解集中恰有3个正整数，则； 当时，不等式的解为， 因为不等式解集中到多只有两个正整数，此时不存在； 综上，实数m的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 7．已知不等式的解集是，则 . 【答案】8 【分析】利用绝对值不等式的解法，结合条件求出，进而求出． 【详解】因为不等式的解集是，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以． 故答案为：8． 8．关于的不等式的解集是，则的值为 . 【答案】7 【分析】根据二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是的两个根， 所以，， 解得. 所以. 故答案为：7. 三、解答题 9．已知，关于x的不等式的解集是． (1)求m，n的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解含参数的绝对值不等式，结合其解集，即可求解. （2）由（1）得到，代入不等式中，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）将不等式化为， 即， 又不等式的解集是，可得，解得． （2）由（1）可知， 即不等式可化为， 即，解得或， 故该不等式解集为或． 10．已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先解含绝对值不等式得到集合，再根据并集的定义求解； （2）由得，分为，两种情况讨论求解. 【详解】（1）集合或或， 若，则， ∴或. （2）或，， 若，则. 当时，，即，符合； 当时，由得或， 无解，由解得， 综上，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $